Reja: Skalyar argumentli vektor funksiya. Vektor funksiyaning hosilasi. O`rta qiymat haqidagi teoremalar Ferma teoremasi, Roll teoremasi Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi Skalyar argumentli vektor funksiya

Vektor funksiya. Vektor funksiya hosilasi va differensiali
Reja:

1. 
   Skalyar argumentli vektor funksiya.
   
2. 
   Vektor funksiyaning hosilasi.
   
3. 
   O`rta qiymat haqidagi teoremalar
   
4. 
   Ferma teoremasi, Roll teoremasi
   
5. 
   Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi
   

1. Skalyar argumentli vektor funksiya.


Ta`rif: Agar E sohadan olingan har bir haqiqiy t songa biror qoidaga ko`ra bittadan (t) vektor mos qo`yilgan bo`lsa, E to`plamda t haqiqiy o`zgaruvchining vektor funksiyasi berilgan deyiladi.
Agar R³ fazodagi bazis ( , , ) bo`lsa, u holda vektor funksiyani
(t)=x(t) +y(t) +z(t) (10.1)
ko`rinishda yozish mumkin. Bunda x(t), y(t), z(t) lar vektorning koordinata o`qlaridagi proeksiyalaridir. Vektor funksiyaning berilishi bilan uchta skalyar funksiya x(t), y(t), z(t) larning berilishi teng kuchlidir.
A gar (t) vektoring boshlang`ich nuqtasi koordinatalar boshiga joylashtirilsa
(bunday vektor radius-vektor deb ataladi),
u holda (t) vektor uchlarining geometrik 14-rasm
o`rni vektor funksiyaning godografi deyiladi. Godografning fizik ma`nosi shundan iboratki, agar t parametr vaqt deb olinsa, (t) radius-vektorning godografi harakatdagi nuqtaning traektoriyasini bildiradi. (14-rasm)


2. Vektor funksiyaning hosilasi.

Agar t=t₀ nuqtada x(t), y(t), z(t) funksiyalar limitga ega bo`lsa, (t) vektor funksiyaning t=t₀ nuqtadagi limiti

(10.2)
bo`ladi.
Agar bo`lsa, vektor-funksiya t=t₀ da uzluksiz deyiladi.
Endi (t) vektor-funksiyaning hosilasi haqidagi masalaga o`tamiz.
D vektorning boshi koordinatalar boshida deb faraz qilamiz. Bu holda (t) vektor-funksiyaning godografi parametrik ko`rinishda x=x(t), y=y(t), z=z(t) tengliklar bilan berilgan fazoviy egri chiziqdan iborat bo`ladi. O`zgaruvchi t ning shu egri chiziqdagi M₀ nuqtaga mos keladigan t=t₀ qiymatini olib, unga Dt orttirma beramiz. U vaqtda
=
vektorni hosil qilamiz, bu vektor egri chiziqda biror M nuqtani aniqlaydi.( 2- rasm).
Vektor-funksiya orttirmasini tuzamiz va uning skalyar argument orttirmasiga nisbatini qaraymiz:

2 - rasm

(10.3)
Ta`rif. Agar Dt®0 da nisbatning chekli limiti mavjud bo`lsa, u limit (t) vektor-funksiyaning t=t₀ nuqtadagi hosilasi deyiladi va `(t<sub>0</sub>) yoki orqali belgilanadi.
(10. 4)
Hosila vektorning yo`nalishini aniqlash maqsadida chizmaga e`tibor bersak, t®t<sub>0</sub> da M nuqta M<sub>0</sub> ga, M<sub>0</sub>M kesuvchi esa urinmaga intiladi. Demak, hosila vektor parametrning o`sish tomoniga urinma bo`ylab yo`nalgan vektor bo`ladi.
Ravshanki, (10.3) tenglikdan `(t₀)= ekanligi, bundan esa hosilani hisoblashning asosiy qoidalari vektor-funksiyalar uchun ham o`z kuchida qolishi kelib chiqadi.
Masalan: vektor-funksiyalar yig`indisining hosilasi qo`shiluvchi vektor-funksiyalar hosilalarining yig`indisiga teng.
Xususan, ikki vektor-funksiyalar yig`indisi uchun
(10.5)
ko`rinishdagi formula o`rinlidir.
Shunga o`xshash, O`zgarmas son ko`paytuvchisini hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin:
(10.6)
Endi vektor-funksiyalarga xos amallar bilan bog`liq bo`lgan hosilani hisoblashning ba`zi qoidalarini keltiramiz. Bu qoidalarning isbotini o`quvchilarga mashq sifatida qoldiramiz.
1. Vektor-funksiyalarning skalyar ko`paytmasidan olingan hosila ushbu formula bilan ifodalanadi:
(10.7)
2. Agar f(t) skalyar funksiya va (t) vektor-funksiya bo`lsa, f(t) × (t) ko`paytmaning hosilasi ushbu formula bo`yicha hisoblanadi:
(10.8)

3. ₁(t) va ₂(t) vektor-funksiyalarning vektor ko`paytmasining hosilasi

(10.9)
formula bo`yicha topiladi.

1.