Reja: Skalyar argumentli vektor funksiya. Vektor funksiyaning hosilasi. O`rta qiymat haqidagi teoremalar Ferma teoremasi, Roll teoremasi Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi Skalyar argumentli vektor funksiya

Teorema (Koshi teoremasi). Agar [a,b] kesmada f(x) va g(x) berilgan bo`lib,
1) [a,b] da uzluksiz;
2) (a,b) intervalda f`(x) va g`(x) mavjud, hamda g`(x)¹0 bo`lsa, u holda hech bo`lmaganda bitta shunday c (a) nuqta topilib,
(1.4)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isbot. Ravshanki, (1.4) tenglik ma`noga ega bo`lishi uchun g(b)¹g(a) bo`lishi kerak. Bu esa teoremadagi g`(x)¹0, xÎ(a;b) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo`lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror cÎ(a;b) nuqtada g`(c)=0 bo`lar edi. Bu esa "xÎ(a;b) da g`(x)¹0 shartga ziddir. Demak, g(b)¹g(a).
Endi yordamchi
funksiyani tuzaylik.
Shartga ko`ra f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] da uzluksiz va (a,b) intervalda differensialanuvchi bo`lgani uchun F(x) birinchidan [a,b] kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan (a,b) intervalda

hosilaga ega.
So`ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)=F(b)=0. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasiinng barcha shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo`lmaganda bitta shunday c (a) nuqta topiladiki, F`(c)=0 bo`ladi.
Shunday qilib,

va bundan (1.4) tenglikning o`rinli ekani kelib chiqadi. Isbot tugadi.
Isbotlangan (1.4) tenglik Koshi formulasi deb ham ataladi.
Endi Koshi teoremasining geometrik ma`nosini aniqlaymiz. Aytaylik x=j(t), y=f(t), a£t£b tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasi bo`lsin. Shuningdek chiziqda t=a ga mos keluvchi nuqtani A(j(a),f(a)), t=b ga mos keluvchi nuqtani B(j(b),f(b)) kabi belgilaylik. (22-rasm).
U holda (1.4) formulaning chap qismi AB vatarning burchak koeffitsientini, o`ng tomoni esa egri chiziqqa parametrning t=c qiymatiga mos keladigan nuqtasida 22-rasm
o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini anglatadi. Demak, Koshi formulasi AB yoyning AB vatarga parallel bo`lgan urinmasining mavjudligini ta`kidlaydi ekan.
Misol. Ushbu f(x)=x<sup>2</sup> va j(x)= funksiyalar uchun [0,4] kesmada Koshi formulasini yozing va s ni toping.
Yechish. berilgan funksiyalarning kesma uchlaridagi qiymatlari va hosilalarini topamiz: f(0)=0, f(4)=16, j(0)=0, j(4)=2; f`(x)=2x, j`(x)= . Bulardan foydalanib Koshi formulasini yozamiz:
, bundan 4s =8 yoki s =2. Demak s= .