Reja: Skalyar argumentli vektor funksiya. Vektor funksiyaning hosilasi. O`rta qiymat haqidagi teoremalar Ferma teoremasi, Roll teoremasi Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi Skalyar argumentli vektor funksiya

O`rta qiymat haqidagi teoremalar

Matematik analiz kursida o`rganiladigan asosiy va amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ega bo`lgan funksiyalar sinflaridan (to`plamlaridan) biri-bu uzluksiz funksiyalar sinfi hisoblanadi. Oldingi bobda biz differensiallanuvchi funksiyalar sinfi uzluksiz funksiyalar sinfining qismi bo`lishini ko`rsatgan edik. Differensiallanuvchi funksiyalar o`ziga xos ahamiyatga ega, chunki ko`pgina tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni o`rganishga keltiriladi. Bunday funksiyalar ba`zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida o`rta qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga ega. Ushbu teoremalar [a;b] kesmada o`rganilayotgan funksiya uchun u yoki bu xossaga ega bo`lgan [a;b] kesmaga tegishli s nuqtaning mavjudligini ta`kidlaydi.

2. Ferma teoremasi, Roll teoremasi


Teorema. (Ferma teoremasi) Agar f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va biror ichki c nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga yerishsa va shu nuqtada chekli f`(c) hosila mavjud bo`lsa, u holda f`(c)=0 bo`ladi.
Isbot. f(c) funksiyaning eng katta qiymati bo`lsin, ya`ni "xÎ(a;b) da f(x) ≤ f(c) tengsizlik o`rinli bo`lsin. Shartga ko`ra bu s nuqtada chekli f`(c) hosila mavjud.
Ravshanki,

Ammo x bo`lganda va x>s bo`lganda bo`lishidan f`(c)=0 ekani kelib chiqadi.
Eng kichik qiymat holi shunga o`xshash isbotlanadi.
F erma teoremasi sodda geometrik ma`noga ega. U f(x) funksiya grafigiga (c;f(c)) nuqtada o`tkazilgan urinmaning Ox o`qiga paralell bo`lishini ifodalaydi ( 19-rasm).
1- eslatma. Ichki s nuqtada f`(s)=0 bo`lsa ham bu nuqtada f(x) funksiya eng katta (eng kichik) qiymatni qabul qilmasligi mumkin. Masalan, f(x)=2x<sup>3</sup>-1, xÎ(-1;1) da berilgan bo`lsin. Bu funksiya uchun f`(0)=0 bo`ladi, lekin 19-rasm
f(0)=-1 funksiyaning (-1;1) dagi eng katta yoki eng kichik qiymati bo`lmaydi.
Teorema (Roll teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada aniqlangan bo`lib, quyidagi
1) [a;b] da uzluksiz;
2) (a;b) da differensiallanuvchi;
3) f(a)= f(b)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda f`(c)=0 bo`ladigan kamida bitta c (a) nuqta mavjud bo`ladi.
Isbot. Ma`lumki, agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda funksiya shu kesmada o`zining eng katta M va eng kichik m qiymatlariga yerishadi. Qaralayotgan f(x) funksiya uchun ikki hol bo`lishi mumkin.
1. M=m, bu holda [a,b] kesmada f(x)=sonst va f`(x)=0 bo`ladi. Ravshanki, f`(s)=0 tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida "cÎ(a;b) ni olish mumkin.
2. M>m, bu holda teoremaning f(a)=f(b) shartidan funksiya M yoki m qiymatlaridan kamida birini [a,b] kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik uchun f(c)=m bo`lsin. Eng kichik qiymatning ta`rifiga ko`ra "xÎ[a,b] uchun f(x)³ f(c) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
Endi f`(c)=0 ekanligini ko`rsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga ko`ra f(x) funksiya (a;b) intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o`rinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. Bundan f`(c)=0 ekanligi kelib chiqadi.
f(c)=M bo`lgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi.
Roll teoremasiga quyidagicha geometrik talqin berish mumkin
( 20-rasm). Agar [a,b] kesmada uzluksiz, (a,b) intervalda differensiallanuvchi f(x) funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilsa, u holda f(x) funksiya grafigida abssissasi x=c bo`lgan shunday C nuqta topiladiki, shu nuqtada funksiya grafigiga o`tkazilgan urinma abssissalar o`qiga parallel bo`ladi.
Eslatma. Roll teoremasining shartlari yetarli bo`lib, zaruriy
shart emas. Masalan, 20-rasm
1) f(x)=x³, xÎ[-1:1] funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi.
(f(-1)=-1¹1=f(1)), lekin f`(0)=0 bo`ladi.
2) funksiya uchun Roll teoremasining barcha shartlari bajarilmaydi, lekin (-1;0) ning ixtiyoriy nuqtasida f`(x)=0 bo`ladi.