Funksional qatorlar. Funksional qatorning tekis yaqinlashishi

n  1

 lim 
n    1  x 2 n  2

 
1  x 2 n 


1  x 2 n
2 n  2
 x ,
 lim x 
n  
 1,
1  x
а га р
а га р
а га р x  1,
x  1,
x  1




 1 ,
 x
x
l(x) uchun hosil qilingan ifodalardan x  1 va  1 da berilgan qatorning yaqinlashishi kelib
chiqadi. x=0 bo‘lganda Dalamber alomatidan foydalanib bo‘lmaydi. Ammo bu holda qatorning barcha hadlari 0 dan iborat, qatorning yaqinlashishi o‘z-o‘zidan ravshan. l ( x )  1  x   1 da
qator umumiy hadi absolyut qiymati 0,5 ga teng, demak, qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan qator x  1 , x  1 shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalarda absolyut
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
n  1
tg n x

6-misol. Qatorni 
n
 lim
n  
tg n x
tg x
n n
 tg x
n
l ( x )  lim n
n  
(1)
nuqtalarni x>-1 da tekis yaqinlashishga tekshiring.
ekanligini yuqorida ko‘rdik. Demak
va masala shartiga ko‘ra x+1>0, shu sababli
tengsizlik o‘rinli.
Endi ixtiyoriy >0 son uchun n0=[1/] (yoki agar >1 bo‘lsa, 1) topiladiki, barcha n> n0 da
tengsizlik bajariladi. Bundan barcha x>-1 da
ekanligi kelib chiqadi.
(2)
l ( x )  1 da, ya’ni tg x  1 da qator absolyut yaqinlashadi. Bu tengsizlik yechimi
4 4
yaqinlashuvchi, o‘ng uchlarida uzoqlashuvchi bo‘lishini tekshirish qiyin emas.
2. Tekis yaqinlashuvchi funksional qator.
Aytaylik,
 
(    n ,   n ) , n  Z . Bu intervallarning chap uchlarida berilgan qator shartli
u 1 ( x )  u 2 ( x )  ...  u n ( x )  ...
funksional qator berilgan bo‘lsin.
(1) qatorning dastlabki n ta hadi yig‘indisini S n ( x ) bo‘lsin. Agar bu qator x ning biror qiymatida yaqinlashsa, u holda
S ( x ) = S n ( x ) + rn ( x )
bo‘ladi, bu yerda S ( x ) - qatorning yig‘indisi.
rn ( x ) = u n  1 ( x )  u n  2 ( x )  ... - qatorning qoldig‘i deyiladi.
x ning barcha qiymatlari uchun qatorning D yaqinlashish sohasida
lim S n ( x ) = S ( x )
n  
n  
munosabat o‘rinli, shu sababli lim ( S ( x ) - S n ( x ) )=0 yoki lim rn ( x ) =0, ya’ni
n  
1
yaqinlashuvchi qatorning qoldig‘i n   da nolga intiladi.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy  musbat son uchun  ga bog‘liq, shunday n 0 (  )  0 son topilib,
barcha n  n 0 da D sohaga tegishli x lar uchun
| rn ( x ) | S ( x )  S n ( x )  
tengsizlik bajarilsa, (1) qator D sohada tekis yaqinlashuvchi qator deyiladi.

n  1 ( n  x )( n  x  1)
Yechish. Berilgan qator x>-1 da yaqinlashadi. Bu qator uchun
7-misol. 
1
1 1
S ( x ) 
, S n ( x ) 

1  x n  x  1
1  x
1
rn ( x ) 
n  x  1
1
n
rn ( x ) 
 
1 1
n
rn ( x )   
n
Demak, berilgan qator x>-1da tekis yaqinlashadi ekan.