Funksional qatorlar. Funksional qatorning tekis yaqinlashishi

n 1
yaqinlashuvchi deyiladi. Agar (1) qator to‘plamining har bir nuqtasida absolyut yaqinlashsa, u holda qator shu to‘plamda absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.

n 1 n !
2-misol.  c o s x qatorning yaqinlashish sohasini toping.
v n ( x ) 
x n
n !
x
v
vn
n  
n  
lim n  1  lim (
)  lim  0
x n 1 x n
( n  1)! n !
n   n  1
x n

n  1 n !

x n
n !
x n
n !
co s x 
ko‘ra berilgan qator x ning ixtiyoriy qiymatida yaqinlashuvchi bo‘ladi. Shunday qilib, qatorning yaqinlashish sohasi (   ;   ) oraliqdan iborat.
3-misol. Umumiy hadi un(x)=n3x2 bo‘lgan qatorning yaqinlashish sohasini toping. Yechish. x ni tayinlab olamiz, natijada umumiy hadi un=n3x2 bo‘lgan sonli qatorga ega
n
 v bo‘lganligi sababli, taqqoslash teoremasiga
n
n   n   n  
lim u  lim ( n 3 x 2 )  x lim n 3  
n
n   n  
S ( 0 )  lim S ( 0 )  lim 0  0 ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, qatorning yaqinlashish sohasi

n
(  1) n  1  x 
 
n  1 3 n  1  1  x 
4-misol. Ushbu 
Yechish: x ning ( x   1) har bir qiymatida sonli qator hosil bo‘ladi. Bunga Dalamber alomatini tatbiq qilamiz (absolyut yaqinlashishga tekshirishdagi kabi):
U holda l ( x )  lim
n  
yaqinlashadi. x=0 nuqtani alohida tekshirish lozim. x=0 da
qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Yechish: Dalamber alomatidan foydalanamiz:
yaqinlashishga tekshiring.
Yechish: Koshining radikal alomatidan foydalanamiz:
(  1) n  1
n  1
n
(  1) n  1  x 
u ( x ) 
,
n  1
 1  x 
n
u ( x ) 

3 n  2  1  x 

3 n  1  1  x 
 
 
3 n  1 1  x 1  x
 lim 
n   3 n  2 1  x 1  x
n
u ( x )
u n  1 ( x )
1  x
 1 shartni qanoatlantiruvchi x larda berilgan qator absolyut yaqinlashadi. l ( x )  1
1  x
shartni qanoatnlantiruvchi x larda qator uzoqlashadi. l ( x )  1 shartni qanoatlantiradigan x larda va l(x) aniqlanmagan nuqtalarda qatorni qo‘shimcha tekshirish lozim. Bu misolda x   1
bo‘lib, x=-1 da qator aniqlanmagan, x=1 da esa qator faqat 0 dan iborat bo‘ladi, absolyut
yaqinlashadi. l ( x )  1 tengsizlikni yechib, x>0 ni hosil qilamiz. Demak, qator (0,+) da
1 1 1 (  1) n
    ... 
2 5 7 3 n  1
 ...
2 n
x n
bo‘lib, bu qator shartli yaqinlashadi.
Shunday qilib, berilgan qator yaqinlashadi. Uning yaqinlashish sohasi [ 0 ;  ) dan
iborat.
Yuqoridagi misolni yechishda Koshining radikal alomatidan ham foydalanish mumkin.

n  1 1  x
5-misol. 
n  1
x
l ( x )  lim
n  
:
n
x
n
u ( x )
u ( x )