Differensiallanuvchi bo`lishining zaruriy va yetarli sharti Teorema. f(x)funksiya x=x0 nuqtada differensiallanuvchi bo`lishi uchun uning shu nuqtada chekli f`(x0) hosilasi mavjud bo`lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zaruriyligi. Funksiya x=x0 nuqtada differensiallanuvchi bo`lsin. U holda funksiyaning orttirmasiini (1.1) ko`rinishda yozish mumkin. Undan Dx¹0 da ni yozish mumkin. Bundan Dx®0 da , demak xnuqtada hosila mavjud va f`(x)=A ekanligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Chekli f`(x0) hosila mavjud bo`lsin, ya`ni . U holda , bu yerda a(Dx) Dx®0 da cheksiz kichik funksiya. Demak,
Dy=f`(x0)×Dx+a(Dx)Dx (1.2)
yoki Dy=A×Dx+a(Dx)Dx, bu yerda A=f`(x0).Shunday qilib x=x0nuqtada f(x) funksiya differensiallanuvchi va A=f`(x0) ekan.
Bu teorema bir o`zgaruvchili funksiya uchun differensiallanuvchi bo`lish hosilaning mavjud bo`lishiga teng kuchli ekanligini anglatadi. Shu sababli hosilani topish amali funksiyani differensiallash, matematik analizning hosila o`rganiladigan bo`limi differensial hisob deb ataladi.
Shunday qilib, avvalgi 1-ta`rif bilan ekvivalent bo`lgan ushbu ta`rifni ham berish mumkin:
Ta`rif: Agar f(x) funksiya x=x0 nuqtada chekli f`(x0) hosilaga ega bo`lsa, u holda f(x) funksiya x=x0 nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.
Funksiya differensiali, uning geometrik va fizik ma`nolari.
f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan bo`lib, xÎ(a;b) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsin. Ya`ni funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini
(2.1)
ko`rinishda yozish mumkin bo`lsin, bunda Dx®0 da a(Dx)®0.
Ta`rif. x nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiya orttirmasi (2.1) ning bosh qismi f`(x)Dx berilgan f(x) funksiyaning shu nuqtadagi differensiali deyiladi va dy yoki df(x) orqali belgilanadi, ya`ni dy=f`(x)Dx.
Masalan, y=x2 funksiya uchun dy=2xDx ga teng.
Agar f(x)=x bo`lsa, u holda f`(x)=1 va df(x)=1×Dx, ya`ni dx=Dx bo`ladi. Shuni hisobga olgan holda argument orttirmasini, odatda, dx bilan belgilashadi.
Buni nazarga olsak, f(x) funksiya differensialining formulasi
dy=f`(x)dx yoki dy=y`dx (2.2)
bo`ladi.
