Funksiya differensiali uchun geometrik maʼnosi. Funksiya differensialining taqribiy hisobga tadbiqi reja

Differensial topish qoidalari. Funksiya differensiali ta`rifi va hosila topish qoidalaridan quyidagi tasdiqlarning o`rinli ekanligi kelib chiqadi:
a) Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig`indisining differensiali ularning differensiallari yig`indisiga teng.
Masalan, ikki funksiya yig`indisi uchun bu tasdiqni quyidagicha isbotlash mumkin: (I.4.1 ) formulaga ko`ra
d(u(x)+v(x))=(u(x)+v(x))`dx=(u`(x)+v`(x))dx==u`(x)dx+v`(x)dx =du+dv.
b) Quyidagi d(u(x)×v(x))= v(x)×du+u(x)×dv formula o`rinli.
Isboti. (I.4.2) va (2.2) formulalardan foydalanamiz. d(u(x)×v(x))=(u(x)×v(x))`dx=(u`(x)×v(x)+u(x)×v`(x))dx=
=(u`(x)dx)×v(x)+u(x)×(v`(x)dx)= v(x)×du+u(x)×dv.
v) Quyidagi d(Su(x))=Sdu formula o`rinli.
g) Bщlinmaning differensiali uchun quyidagi
d( )=
formula o`rinli.


2. Differensial formasining invariantligi.

Aytaylik y=f(x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo`lsin. Differensialning ta`rifiga ko`ra dy=y<sub>x</sub>`Dx, yoki erkli o`zgaruvchining orttirmasini dx kabi yozishga kelishganimizni e`tiborga olsak, dy=y_x`dx edi.

Endi x erkli o`zgaruvchi emas, balki t erkli o`zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi bo`lsin: x=j(t). U holda y=f(j(t))=g(t) funksiya t o`zgaruvchining murakkab funksiyasi va dy=y_t`dt tenglik o`rinli bo`ladi. Lekin y<sub>t</sub>`=y_x`x<sub>t</sub>`dt va dx=x_t`dt larni e`tiborga olsak, dy=y_x`dx formulaga ega bo`lamiz, ya`ni differensialning avvalgi ko`rinishiga qaytamiz.
Shunday qilib, differensial formasi o`zgarmadi, ya`ni funksiya differensialining formasi x erkli o`zgaruvchi bo`lganda ham, erksiz (oraliq) o`zgaruvchi bo`lganda ham bir xil ko`rinishda bo`ladi: differensial hosila va hosila qaysi o`zgaruvchi bo`yicha olinayotgan bo`lsa o`sha o`zgaruvchi differensiali ko`paytmasiga teng bo`ladi. Bu xossa differensial ko`rinishning invariantligi deyiladi. Shuni aytib o`tish lozimki, bu xossada faqat differensial formasining saqlanishi haqida gap boradi. Agar x erkli o`zgaruvchi bo`lsa, u holda dx=Dx; x erksiz o`zgaruvchi bo`lsa, u holda, umuman olganda, dx¹Dx bo`ladi.
Misol. berilgan. 1) x erkli o`zgaruvchi bo`lganda va 2) x=t⁵+t²-3 bo`lganda dy ni hisoblang.
Yechish. 1) (2.2) formulaga ko`ra

2) Differensial formasining invariantlik xossasidan foydalansak, bo`lib, ga ega bo`lamiz.

Yuqorida ta`kidlaganimizdek, x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun Dy»f`(x₀)dx, ya`ni Dy»dy taqribiy tenglik o`rinli. Shu taqribiy tenglik matematik analizning nazariy va tatbiqiy masalalarida muhim ahamiyatga ega bo`lib, differensialning mohiyatini belgilaydi. Yuqoridagi tenglikda Dy=f(x)-f(x<sub>0</sub>), Dx=x-x<sub>0</sub> deb olsak, quyidagi tenglikka ega bo`lamiz:

f(x)-f(x₀) »f`(x<sub>0</sub>)( x-x<sub>0</sub>) yoki
f(x) » f(x<sub>0</sub>)+f`(x₀)( x-x₀) (4.1)
(4.1) formula funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblashda keng qo`llaniladi.
Masalan, f(x)= funksiya uchun quyidagi
(4.2)
formula o`rinli. Agar f(x)= funksiyaning x=0,98 dagi qiymatini hisoblash talab qilinsa, (4.2) formulada x=1, Dx=-0,02 deb olish yetarli. U holda bo`ladi. Agar kalkulyatorda hisoblasak, uni 10<sup>-6</sup> aniqlikda 0,989949 teng ekanligi ko`rish mumkin. Demak, differensial yordamida hisoblaganda xatolik 0,001 dan katta emas. Umumiy holda differensial yordamida taqribiy hisoblashlardagi xatolikni baholash masalasini kelgusida o`rganamiz.