Funksiyaning hosilasi, hosilaning ta'rifi. Uning gеomеtrik va mеxanik ma'nosi. Hosila olish qoidalari. Asosiy elеmеntar funksiyalarning hosilalari

5. Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi.
Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar X (a,b) nuqtada u'(x) va v'(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda ularning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va bo’linmasi shu x nuqtada hosilaga ega bo’lib, quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:
(u±v)'=u'±v';
(uv)'=u'v+uv'
‘=
Isboti. [u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x) ekanligini ko’rsataylik. y=u(x)+v(x) deb x ga x orttirma bersak u(x), v(x) funksiyalar ham orttirma oladi: au=u(x+ax)-u(x)
u=u(x+ x)-u(x)
y=y(x+Ax)-y(x)=[u(x+Ax)-u(x)]+[v(x+ x)-v(x)]= u+ v teoremaning shartiga ko’ra u(x), u(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo’lgani uchun
u’(x)+v’(x) u(x)+v(x)|'=u'(x)+v'(x)
Qolganlari ham shunga o’xshash isbot qilinadi.
6. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.
1. y=xⁿ (x>0) darajali funksiyamng hosilasini topaylik³. Funksiya hosilasining ta'rifiga ko’ra y=(x+ x)ⁿ-xⁿ=xⁿ ,

= n ajoyib limitni e’tiborga olsak

.
2.y=a^x (a>0, a≠\) ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi.
,
ajoyib limitga ko’ra
Demak, y'=(a^x)'=a^xlna
3. y= log_ax (a>0, a≠ 1) logarifmik funksiyaning hosilasi ham y'=(log_ax)'= log_ae formula bilan topiladi.
Agar log_ae= ; log_ea=lna; log_ex=lnx; log_xe= . ekanligini e’tiborga olsak y'=(log_ax)'= kelib chiqadi.
Agar a=e desak lna=lne=l bo’lib, y=lnx; y'=(1nx)'= bo’ladi.
4. y=sinx funksiyaning hosilasini topish uchun x ga orttirma bersak, ham orttirma olib =sin(x+ x)-sinx=2sin cos


xuddi shuningdek o’rta maktab dasturidan bizga ma'lum bo’lgan boshqa trigonometrik funksiyalarning hosilalarini hisoblash mumkin:

5. Endi y=arcsinx teskari trigonometrik funksiyaning hosilasini hisoblashni ko’raylik.
y=arcsinx funksiya x=siny funksiyaga teskari funksiya bo’lgani uchun, teskari funksiyalarning hosilalariga ko’ra

Xuddi shuningdek (arccosx) '
6. y=lnx bo’lsa, y' Agar y=lnu bo’lib u=f(x) bo’lsa,
Agar y=u^v(x)(x) bo’lsa, lny=vlnu - bundan hosila olsak