Funksiyanın kəsilmə nöqtələri və onların təsnifatı Funksiyanın ????

Funksiyanın kəsilmə nöqtələri və onların təsnifatı
Funksiyanın 𝑥₀ nöqtəsində kəsilməzliyinin tərifindəki şərtlərdən hər hansı biri pozulduqda, onda 𝑥₀ nöqtəsi funksiyanın kəsilmə nöqtəsi adlanır. Yəni:
𝑓(𝑥₀ + 0) = 𝑓(𝑥₀ − 0) = 𝑓(𝑥₀)
bərabərliyinin hər hansı biri pozulduqda və eləcə də 𝑥₀ nöqtəsində funksiya təyin olunmadıqda, ya da birtərəfli limitlərdən hər hansı biri olmadıqda və ya ∞-a bərabər olduqda 𝑥₀ nöqtəsi funksiyanın kəsilmə nöqtəsi adlanır.
Funksiyanın kəsilmə nöqtələri iki növə bölünür:

1. 
   𝑥₀ nöqtəsində sonlu birtərəfli limitlər var, belə ki, ya
   

𝑓(𝑥₀ + 0) ≠ 𝑓(𝑥₀ − 0);
ya da


𝑓(𝑥₀ + 0) = 𝑓(𝑥₀ − 0) ≠ 𝑓(𝑥₀).
Bü cür 𝑥₀ kəsilmə nöqtələri I növ kəsilmə nöqtələri adlanır.
Xüsusi halda,
𝑓(𝑥₀ + 0) = 𝑓(𝑥₀ − 0) ≠ 𝑓(𝑥₀)
şəklində kəsilmə nöqtələri aradan qaldırıla bilən kəsilmə nöqtələri adlanır.
Parçada kəsilməz funksiyanın xassələri
(a,b) intervalının bütün nöqtələrində kəsilməz 𝑓(𝑥) funksiyasına bu intervalda kəsilməz funksiya deyilir. [𝑎, 𝑏] parçasının 𝑎 ucunda sağdan, 𝑏 ucunda isə soldan kəsilməz, (𝑎, 𝑏) intervalında isə kəsilməz 𝑓(𝑥) funksiyasına [𝑎, 𝑏] parçasında kəsilməz funksiya deyilir.
Parçada kəsilməz funksiyanın bir sıra mühüm xassələri vardır. Bu xassələri isbatsız olaraq qeyd edək:
(Veyerştrass). [𝒂, 𝒃] parçasında kəsilməyən 𝒇(𝒙) funksiyası bu parçada məhduddur:
𝒎 ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝑴.
(a,b) intervalının bütün nöqtələrində kəsilməz 𝑓(𝑥) funksiyasına bu intervalda kəsilməz funksiya deyilir. [𝑎, 𝑏] parçasının 𝑎 ucunda sağdan, 𝑏 ucunda isə soldan kəsilməz, (𝑎, 𝑏) intervalında isə kəsilməz 𝑓(𝑥) funksiyasına [𝑎, 𝑏] parçasında kəsilməz funksiya deyilir.
Parçada kəsilməz funksiyanın bir sıra mühüm xassələri vardır. Bu xassələri isbatsız olaraq qeyd edək:
(Veyerştrass). [𝒂, 𝒃] parçasında kəsilməyən 𝒇(𝒙) funksiyası bu parçada məhduddur:
𝒎 ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝑴.
(Veyerştrass). [𝒂, 𝒃]parçasında kəsilməyən funksiya həmin parçada özünün ən böyük və ən kiçik qiymətlərini alır, yəni
𝐢𝐧𝐟 𝒇(𝒙) = 𝒎 , 𝒔𝒖𝒑 𝒇(𝒙) = 𝑴 ,
𝒙∈[𝒂.𝒃] 𝒙∈[𝒂.𝒃]
olarsa, ∃𝒄, 𝒅 ∈ [𝒂. 𝒃] nöqtələri var ki,
𝒇(𝒄) = 𝒎, 𝒇(𝒅) = 𝑴.
(Koşi). [𝒂, 𝒃] parçaında kəsilməyən
𝒇(𝒙) funksiyası bu parçanın uclarında müxtəlif işarəli qiymətlər alarsa, yəni 𝒇(𝒂) ∙ 𝒇(𝒃) < 𝟎 olarsa, onda bu parçanın daxilində elə 𝒄 ∈ (𝒂, 𝒃) nöqtəsi var ki, bu nöqtədə 𝒇(𝒄) = 𝟎.
Bu xassə “kəsilməz funksiyanın sıfırları haqqında teorem” adlanır.
Həndəsi olaraq bu o deməkdir ki, kəsilməyən funksiyanın qrafiki Ox oxuna nəzərən bir tərəfdən digər tərəfə keçirsə, onda onun qrafiki 𝑂𝑥 oxunu hökmən kəsir.


(𝑲𝒐ş𝒊).𝒇(𝒙) funksiyası [𝒂, 𝒃] parçasında kəsilməyəndirsə və onun uclarında müxtəlif qiymətlər alırsa,
𝒇(𝒂) = 𝑨, 𝒇(𝒃) = 𝑩, 𝑨 ≠ 𝑩,
onda bu parçada 𝑨 və 𝑩 arasında yerləşən bütün qiymətləri alır:
𝑨 < 𝑪 < 𝑩, 𝒇(𝒄) = 𝑪.
Bu xassə parçada kəsilməz funksiyanın aralıq qiymətləri haqqında teorem adlanır.
Parçada kəsilməz funskiyanın daha bir mühüm xassəsi var, bunu vermək üçün əvvəlcə aşağıdakı kimi mühüm anlayışı verək:

Tutaq ki, 𝑓(𝑥) funksiyası hər hansı 𝒳 aralığında təyin olunmuş funksiyadır. ∀ε > 0 ədədinə qarşı ∃δ > 0 ədədi tapmaq mümkün olarsa ki, 𝒳 aralığının |𝑥₁ − 𝑥₂| < δ şərtini ödəyən ixtiyari 𝑥₁, 𝑥₂ ∈ 𝒳 nöqtələri üçün |𝑓(𝑥₁) − 𝑓(𝑥₂)| < ε şərti ödənilsin, onda 𝑓(𝑥) funksiyasına 𝒳 aralığında müntəzəm kəsilməz funksiya deyilir.
Məsələn, asanlıqla yoxlamaq olar ki, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥,
𝑦 = cos 𝑥 və s. funksiyaları bütün həqiqi oxda müntəzəm kəsilməzdir.
Tərifdən aydındır ki, hər bir müntəzəm kəsilməz funksiya həm də kəsilməzdir, lakin, bunun tərsi doğru olmaya da bilər. Yəni ola bilər funksiya kəsilməz olsun, lakin müntəzəm kəsilməz olmasın. Məsələn, 𝑦 = 𝑥² funksiyası bütün həqiqi oxda kəsilməzdir, lakin müntəzəm kəsilməz deyil.
Kəsilmə nöqtələrinin təsnifatı.
Məlumdur ki, lim f (x) = f (a) olarsa, onda f (x) -ə a nöqtəsində kəsilməyən funksiya deyilir. Bu şərt ödənilmədikdə f (x) -ə a nöqtəsində kəsilən funksiya, a nöqtəsinə isə f (x) -in kəsilmə nöqtəsi deyilir.Bu şərt müxtəlif səbəblərə görə ödənilməyə bilər. Həmin səbəblərə əsasən kəsilmə nöqtələrini aşağıdakı kimi təsnif edirlər.
1. Əgər f (x) funksiyasının a nöqtəsində limit qiyməti varsa, lakin a
nöqtəsindəki xüsusi qiymətinə bərabər deyilsə və yaxud f (x) funksiyası a nöqtəsində təyin olunmamışdırsa, onda a-ya f (x) funksiyasının aradan qaldırıla bilən kəsilmə nöqtəsi deyilir. Əgər f (x) funksiyasının a nöqtəsində sonlu sağ, sol limitləri varsa, lakin bir-birinə bərabər deyilsə və f (x) funksiyası a nöqtəsində təyin olunmuşdursa, onda a-ya f (x) funksiyasının birinci növ kəsilmə nöqtəsi deyilir.