Funksiyanın törəməsi. Törəmənin həndəsi mənası. Funksiya qrafikinə nöqtədə toxunanın tənliyi

Funksiyanın törəməsi. Törəmənin həndəsi mənası. Funksiya qrafikinə nöqtədə toxunanın tənliyi.
törəmə -funksiyanin hər hansı verilmiş bir nöqtədə dəyişmə sürətini göstərir. y=f(x) funksiyası hər hansı a nöqtəsində kəsilməzdirsə, arqumentin sonsuz kiçilən artımına funksiyanın da sonsuz kiçilən artımı uyğun olur ki, bu təklifin əksi də doğrudur. Yəni arqumentin a nöqtəsindəki sonsuz kiçilən artımına funksiyanın da bu nöqtədə sonsuz kiçilən artımı uyğundursa, funksiya bu nöqtədə kəsilməzdir. Arqument artımı sifra yaxınlaşdıqda funksiya artımının arqument artımına nisbətinin limiti varsa, bu limitə f(x) funksiyasının a nöqtəsində törəməsi deyilir.
İndi isə funksiyanın törəməsinin həndəsi mənasına keçək
Fərz edək ki, (a,b) intervalında törəməsi olan y = f (x) funksiyası
verilmişdir. Bu intervaldan hər hansı bir 0 x nöqtəsini götürək. y= f (x) işarə
edək. x-ə 0 x nöqtəsində elə x artımı verək ki, 0 x + x nöqtəsi də (a,b) intervalına
daxil olsun. x-in x0 qiymətinə y = f (x) funksiyasının qrafiki üzərində M x f x, 0 x + x qiymətinə isə P( x0 + x ,f ( x0 + x )) nöqtəsi uyğundur.
Funksiya qrafikinin şaquli və maili asimptotlarının tərifləri. Funksiya qrafikinin maili asimptota malik olmasının zəruri və kafi şərt teoremi.
Əgər və limitlərindən heç olmazsa biri - və ya + olarsa, onda x=a düz xəttinə y=f ( x) funksiyasının saquli asimptotu deyilir.
Əgər y = f (x) funksiyası
f (x) = kx+ b +a(x)
şəklində göstərilə bilərsə, onda
Y = kx+ b düz xəttinə y =f (x) funksiyasının qrafikinin x şərtində maili asimptotu deyilir.
İkidəyişənli funksiyanın xüsusi, tam artımları və xüsusi törəmələri.
Çoxdəyişənli funksiyanın verilmiş nöqtədə bütün xüsusi törəmələrinin varlığından bu funksiyanın həmin nöqtədə kəsilməzliyi çıxmır.
Çoxdəyişənli funksiyasının yüksək tərtibli xüsusi törəmələrindən də danışmaq olar.
Sadəlik xatirinə yüksək tərtibli xüsusi törəmə anlayışını ikidəyişənli funksiyası üçün verək. Ola bilər ki,
funksiyalarının da x və y-ə nəzərən xüsusi törəmələri
funksiyasının x-ə nəzərən xüsusi törəməsi varsa, bu xüsusi törəməyə
z = f (x, y) funksiyasının x-ə nəzərən ikinci tərtib xüsusi törəməsi deyilir
İkidəyişənli funksiyanın tam diferensialları.
u =f (M) funksiyasının M nöqtəsindəki tam artımını A_{m m}+a₁x1+a2 +….+a_{m m}
şəklində göstərmək mümkün olarsa, onda u = f (M) funksiyasına M nöqtəsində
diferensiallanan funksiya deyilir.
Nöqtədə diferensiallanan funksiya həmin nöqtədə kəsilməyəndir.
Əgər 2-dəyişənli z = f (x, y) funksiyasının birinci tərtib tam diferensialı özü
də diferensiallanan funksiya olarsa, onun tam diferensialına z = f (x, y)
funksiyasının 2-ci tərtib tam diferensialı deyilir və d z 2 ilə işarə olunu
İkidəyişənli funksiyanın lokal ekstremumu və onun zəruri şərt teoremi.
Lokal maksimum və lokal minimuma birlikdə lokal ekstremum deyilir.
M nöqtəsinin ətrafına daxil olan bütün nöqtələr üçün
u < 0 ( u > 0)
olduqda, u =f (M) funksiyası 0 M nöqtəsində lokal maksimuma (minimuma)
malikdir.
Tutaq ki, u=f(x1,x2…xn) funksiyası 0 M nöqtəsində lokal ekstremuma malikdir. Onda bunöqtədə birinci tərtib xüsusi törəmələr varsa, onlar hamısı bu nöqtədə sıfra
bərabərdirlər. Fərz edək ki, u  f (x, y) funksiyası 0 M nöqtəsinin müəyyən ətrafında iki dəfə
diferensiallanandır və bu nöqtədə bütün ikinci tərtib xüsusi törəmələr
kəsilməyəndirlər, 0 M bu funksiyanın mümkün ekstremum nöqtəsidir. Onda d > 0
olarsa, u = f (x, y) funksiyası bu nöqtədə lokal ekstremuma malikdir, a₁₁ <0
olduqda 0 M nöqtəsində lokal maksimum a₁₁<0 olduqda isə lokal minimum var. d < 0 olduqda 0 M nöqtəsində lokal ekstremum yoxdu.