Geometityada isbotlashga oid masalalar

1-masala: Aylanada shunday nuqta topilsinki, u berilgan ikki
nuqtadan teng masofada yotsin. Agar bizga A,B nuqtalar va ω aylana berilgan bo’lsa, izlanayotgan nuqta [AB] kesmaning o’rta perpendikulyari bilan aylana kesishgan nuqtasidan iborat bo’ladi. Ya`ni D va C nuqtalar.
Bir to’g’ri chiziqda yotmagan kesmalarning, masalan siniq chiziq bo’g’inlarining algebraik yig’indisiga teng kesma yasash, kesmalarni to’g’rilash deb ataladi. To’g’rilashdan foydalanib masala yechish –yasashda to’g’rilash metodi deyiladi.
Yasashga doir masaladagi ma’lum elementlar qatorida
izlanayotgan figura chiziqli noma’lum elementlarining yig’indisi yoki ayirmasi berilgan bo’lsa, bunday masala to’g’rilash metodi bilan oson yechiladi.
Geometrik almashtirishlardan foydalanib, geometrik masalalarni
yechish mumkin. Bu metod bilan masala yechishni analiz bosqichida, berilgan va izlangan figuralardan tashqari, berilgan figuraning yoki uning biror qismini u yoki bu geometrik almashtirishlar natijasida hosil qilingan figuralar ham qaraladi. Bu figura qaysi geometrik almashtirishni qo’llab hosil qilingan bo’lsa, yasashga doir masala o’sha metod bilan yechilgan deb ataladi. Jumladan, simmetriya metodi, parallel ko’chirish metodi, gomotetiya metodi, inversiya metodi va h.k. Masalan quyidagi ko’rinishdagi masalalar
1. MN to’g’ri chiziqning bir tarafida A va B nuqtalar joylashgan.
MN to’g’ri chiziqda shunday X nuqta topingki, bu nuqtadan A,B
nuqtalargacha bo’lgan masofalarning yig’indisi eng kichik bo’lsin
(simmetriya metodi).
2. Asoslari va diognallari bo’yicha trapetsiya yasang (parallel
ko’chirish metodi).
3. A va B burchaklari va C uchidan chiqqan bissektrisasi с b
bo’yicha uchburchak yasang (gomotetiya).
4. Berilgan M markazdan shunday aylana chizingki, uning
berilgan to`g`ri chiziqlar bilan kesishuvidan hosil bo`lgan vatarlarning yig`indisi berilgan kesmaga teng bo`lsin.(burish)
Bu metodda izlangan figura bilan masalada berilganlar orasidagi bog’lanishni bevosita aniqlamay, oldin ularga inversion mos figuralar orasidagi munosabat topiladi, so`ngra izlangan figuraga o’tiladi. Bu ish quyidagi tartibda bajariladi:
1. Masalada izlangan figura topildi deb, taxminan chizib qo’yiladi. Bayon qilingan geometrik metodlar bir talay konstruktiv
masalalar yechish yo`llarini ko`rsatsada, bazan ulardan foydalanish ishni g`oyat murakkablashtiradi, ayrim hollarda ulardan butunlay foydalanib bo`lmaydi. Bu kamchilikni yo`qotish yo`lidagi urinishlar natijasida algebraik metod vujudga kelgan.
Bu metodning boshqa metodlardan afzalligi shundaki, geometrik
metodlarda faqat geometrik nazariyadangina foydalanilsa, algebraik metodda geometrik nazariyalar bilan birga algebra qoidalari ham keng miqyosda ishlatiladi.
Geometrik nazariya bilan algebra qoidalarini birga ishlatish, ya`ni algebrani geometriyaga tadbiq etish, algebraik tushunchalar bilan geometrik tushunchalar orasidagi bog`lanishga asoslanadi. Shuning uchun algebraik metodni o`rganishni ana shu bog`lanish haqida bir ikki so`z aytishdan boshlaymiz.
Algebrada biror bir musbat sonni ifodalovchi a harfiga
geometriyada biror bir birlik bilan o`lchangan kesmaning uzunlig deb qarash mumkin. Shunday qilib, a harfi bir vaqtda ham sonni, ham kesmani uzunligini bildirishi mumkin.
2. Mo’ljallab shunday bir nuqtani inversiya markazi deb qabul
qilinadiki, bu nuqtani markaz qilib chizilgan aylanaga nisbatan
berilgan va so’ralganlarni inversion almashtirganda masala
yechishning osonroq yo’li topilsin, ya’ni masalada berilgan va
so’ralganlar orasidagi munosabatga qaraganda ularga inversion mos figuralar orasidagi munosabat soddaroq bo’lsin.
Bu shartni qanoatlantiradigan inversiya aylanasi chizib, masalada berilgan va so’ralganlar bu aylanaga nisbatan inversion almashtiriladi.
3. Chizilgan inversion figuralar orasidagi munosabatni o’rganib,
so’ralgan figuraga mos figurani yasash mumkinligi aniqlanadi, ya’ni berilgan masalaga nisbatan osonroq bo’lgan yordamchi masalani yechish yo’li belgilanadi. Shu bilan yechishning analiz bosqichi tugaydi. Yasashga doir masalalarni boshqa yasash asboblari vositasida yechish.
Shu vaqtgacha yechilgan yasashga doir masalalarda keltirilgan
ifodalarda berilgan kesmalarning ratsional funksiyalari, yo faqat
ularning kvadrat ildizlarini o’z ichiga olgan ifodalar ekanligini
ko’rdik. Bu hol tasodifiy emas. Masalaning sirkul va chizg’ich
vositasida yechilish belgisi (alomati) quyida berilmoqda: