Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

2-Xossa.
 Agar mos burchaklar teng bo‘lsa, bir tomonli burchaklar yig‘indisi 
180° ga teng bo‘ladi.
3
1
2
4
3
5 6
8
7
1.   Ixtiyoriy ikkita to‘g‘ri chiziq chizing. Ularni uchinchi to‘g‘ri chiziq — kesuvchi bilan 
kesing. Bir tomonli, almashinuvchi va mos burchaklarni chizmadan ko‘rsating.
2.   4-rasmdagi burchaklardan qaysilari vertikal va qaysilari qo‘shni burchak bo‘ladi?
3.  
Agar 
5-rasmda 
∠2 =∠6 = 63° bo‘lsa, qolgan burchaklarni toping.
Savol, masala va topshiriqlar

98
Ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatlari
39
Faollashtiruvchi mashq.
 
Ikki to‘g‘ri chiziqning parallelligini qanday usullar bilan aniqlash mumkin? Quyidagi, 
ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatlari deb nomlangan teoremalar shu savolga ja-
vob beradi.
1
1
a
b
c
2
4 3
5 6
8 7
4
5
1 2
3 4
5 6
7
8
1
2
3
4
5 6
7
8
4.   Agar ikki to‘g‘ri chiziqni uchinchi to‘g‘ri chiziq bilan 
kesganda hosil bo‘lgan burchaklardan biri 82° va yana 
biri 110° bo‘lsa, qolgan burchaklarni toping.
5.  
5-rasmda 
∠3=∠5 bo‘lsa, ∠4=∠6 bo‘ladimi? Agar 
∠1=∠7 bo‘lsa, ∠2=∠8,  ∠3=∠5,  ∠4=∠6 tengliklar 
bajariladimi? Javobingizni asoslang. 
6.   Bir tomonli burchaklar o‘zaro teng bo‘lishi mum-
kinmi?
7.*   Almashinuvchi burchaklar teng bo‘lsa, bir tomonli 
burchaklarning yig‘indisi 180° ga tengligini ko‘rsating. 
Teskari tasdiq ham to‘g‘rimi?
8.*   Agar ikki to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan bir juft 
mos burchaklar o‘zaro teng bo‘lsa, ikkinchi juft mos 
burchaklar ham teng bo‘lishini isbotlang.
1-rasmda 
a
 va 
b
 parallel to‘g‘ri chiziqlar va 
c
 kesuvchi 
tasvirlangan. Quyidagi topshiriqlarni bajaring va savollarga 
javob bering.
1.  Barcha almashinuvchi burchaklar juftlarini yozing va 
ularni transportirda o‘lchang. Har bir juft almashinuvchi 
burchaklarning gradus o‘lchovlari haqida nima deya 
olasiz?
2.  Barcha bir tomonli burchaklar juftlarini yozing va ularni transportirda o‘lchang. Har 
bir juft bir tomonli burchaklar gradus o‘lchovlarining yig‘indisi haqida nima deya 
olasiz?
3.  Barcha mos burchaklar juftlarini yozing va ularni transportirda o‘lchang. Har bir juft 
mos burchaklarning gradus o‘lchovlari haqida nima deya olasiz?
4.  Yuqorida aniqlangan xususiyatlar hamma vaqt ham o‘rinli bo‘laveradimi?

99
Teorema. 
Agar ikki to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil 
qilgan almashinuvchi burchaklar teng bo‘lsa, u 
holda bu ikki to‘g‘ri chiziq parallel bo‘ladi.
Isbot.
 1) Oldin 
∠1 va ∠2 to‘g‘ri burchak bo‘lgan holni 
qaraymiz (2-rasm): Bu holda 
AB
 to‘g‘ri chiziq 
a
 va 
b
 to‘g‘ri 
chiziqlarga perpendikular bo‘ladi. Unda 
a
 va 
b
 to‘g‘ri chiziqlar 
bir to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo‘lgan ikki to‘g‘ri chiziq 
haqidagi teoremaga asosan o‘zaro parallel bo‘ladi (95-bet-
ga qarang).
2) Endi 
∠1 va ∠2 to‘g‘ri burchak bo‘lmagan holni 
ko‘ramiz: 
AB
 kesmani o‘rtasi (
AO
=
BO
) 
O
 nuqtadan 
a
 
to‘g‘ri chiziqqa 
OC
 perpendikular tushiramiz (3-rasm). 
b
 
to‘g‘ri chiziqqa 
B
 nuqtadan uzunligi 
AC
 ga teng 
BD
 kesma 
qo‘yamiz. 
AOC
 va 
BOD
 uchburchaklarni qaraymiz:
Ularda
1. yasashga ko‘ra: 
AC
=
BD
; 
2. yasashga ko‘ra: 
AO
=
BO
;
3. shartga ko‘ra: 
∠1 = ∠2.
Unda uchburchaklar tengligining TBT alomatiga ko‘ra 
Δ
AOC
 = 
Δ
BOD
 bo‘ladi. Xususan, 
∠3 = ∠4 va ∠5 = ∠6 
bo‘ladi.
∠3 = ∠4 ekanligidan 
D
 nuqta 
CO
 nurning davomida 
yotishi, ya’ni 
C
, 
O
 va 
D
 nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotishi 
kelib chiqadi.
∠5 = ∠6 ekanligidan, ∠6 ham ∠5 kabi to‘g‘ri burchak 
ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, 
a
 va 
b
 to‘g‘ri chiziqlar 
bitta 
CD
 to‘g‘ri chiziqqa perpendikular ekan. Demak, ular 
o‘zaro parallel bo‘ladi. 
Teorema isbotlandi.
2
a
b
A
B
1
2
3
a
b
C
D
A
B
1
2
3
4
5
6
O
Masala.
  Agar 1-rasmda 
∠2=55° va ∠5=125° bo‘lsa, 
a
 va 
b
 to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel bo‘ladimi?
Yechilishi:
 
∠2 va ∠4 vertikal burchaklar bo‘lgani uchun 
∠4 = ∠2 = 55°. ∠5 va ∠6 qo‘shni bo‘lgani uchun ∠6 =180°–
–
∠5=180°–125°= 55°. Natijada, almashinuvchi burchaklar 
o‘zaro teng ekanligini aniqlaymiz: 
∠4=∠6. Demak, yuqorida 
isbotlangan ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatiga ko‘ra  
a
 va 
b
 to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi.   
Javob:
 Ha.
5
a
b
65°
65°
4
a
b
60°
60°

100
Ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatlari (davomi)
40
Teoremadan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadigan xossaga 
natija deb aytiladi. Oldingi mavzuda isbotlangan teoremadan 
va 38-mavzuda isbotlangan 2-3-xossalardan quyidagi 
natijalar kelib chiqadi.
1-natija.
 Agar ikki to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil 
qilgan mos  burchaklar teng bo‘lsa, u holda bu ikki 
to‘g‘ri chiziq parallel bo‘ladi (1-rasm).
2-natija.
 Agar ikki to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil 
qilgan bir tomonli burchaklar yig‘indisi 180° ga teng 
bo‘lsa, u holda bu ikki to‘g‘ri chiziq parallel bo‘ladi 
(2-rasm).
Masala.
  3-rasmdagi to‘g‘ri chiziqlarning qaysilari 
parallel?
Yechilishi:
 Vertikal burchaklar tengligidan, 
∠1 = 105°, ∠2 = 125°, ∠3 = 115°. 
a
 va 
b
 to‘g‘ri chiziqlar parallel emas, chunki 
∠1 + 65° = 105° + 65°
≠
180°.
a
||
d
 bo‘ladi, chunki, 
∠1 + 75° = 105°+ 75° = 180° (2-natijaga qarang). 
1
b
a
2
1
∠1 = ∠2  ⇒  a||b
2
b
a
2
1
∠1 + ∠2 = 180°  ⇒  a||b
1.  Ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatini izohlang.
2. 4-rasmda 
a
||
b
 bo‘lishini ko‘rsating.
3. 5-rasmda 
a
||
b
 bo‘lishini ko‘rsating.
4. 6-rasmda 
a
||b bo‘lishini ko‘rsating.
5. Agar 1-rasmda: a) 
∠1=132°,  ∠8 = 48° b) ∠2 = 36°, 
∠5 = 144° c) ∠3 = 113°,  ∠6 = 77° d) ∠1 + ∠7 = 180° 
bo‘lsa, 
a
||
b
 bo‘ladimi?
6.  Agar: 7-rasmda: a) 
∠3=∠4, 
BD
=
CE
, 
AB
=
EF
;                
b) 
∠1=∠2,  ∠3=∠4, 
BD
=
CE
; c) 
AB
=
EF
,
  BD
=
EC
, 
AC
=
FD
 bo‘lsa, 
Δ
ABC
=
Δ
EFD
 ekanligini ko‘rsating.
7. 
a
 to‘g‘ri chiziq va unda yotmagan 
K
 nuqta berilgan. 
K
 nuqta orqali to‘rtta to‘g‘ri chiziq o‘tkazildi. Bu to‘g‘ri 
chiziqlardan nechtasi a bilan kesishadi.
Savol, masala va topshiriqlar
a
b
6
70°
110°
7
A
B
C
D
E
F
1
2
4
3

101
3
105°
65°
125°
75°
115°
a
b
c
d
e
1
2
3
5
50°
30°
a)
b)
x
x
a
a
b
b
Savol, masala va topshiriqlar
1.  Ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatlarini ayting.
2. 5-rasmda 
a
 va 
b
 to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lishi uchun 
noma’lum burchak necha gradus bo‘lishi kerak?
3.  6-rasmdagi noma’lum burchakni toping.
4. Agar 
7-rasmda 
a) 
∠1=∠5=105°; b) ∠3=60°, ∠8=120° 
bo‘lsa, qolgan burchaklarni toping.
5.  8-rasmdagi to‘rtburchakning qaysi tomonlari parallel 
bo‘ladi?
6.  Ikki to‘g‘ri chiziqning kesuvchi bilan kesishishidan 
hosil bo‘lgan burchaklardan biri 32°, unga mos bo‘lgan 
burchak esa 33° ga teng bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziqlar 
parallel bo‘ladimi?
7. 
a
 va 
b
 parallel to‘g‘ri chiziqlarni 
c
 to‘g‘ri chiziq bilan 
kesishdan hosil bo‘lgan almashinuvchi burchaklarning 
bissektrisalari parallel ekanligini ko‘rsating (9-rasm).
a)
7
2
1
3
4
6
5
7
8
b)
2
1
3
4
6
5
7
8
6 B
A
D
C
116°
64°
x
64°
a
b
c
l
1
l
2
9
8 B
A
D
C
114°
66°
65°
4
a
b
36°
x
α
4x
Masala.
  4-rasmda a||b  bo‘ladimi?
Yechilishi:
 Vertikal burchaklarning xossasiga ko‘ra 
x
= 36°. Unda 
α
= 4
x
= 4
⋅36°=144° bo‘ladi. Bir tomonli 
burchaklar yig‘indisi 
x
+
α
=36°+144°=180°. Demak, 2-na-
tijaga ko‘ra 
a
||
b
 bo‘ladi.
Xuddi shunday 
b
||
e
 bo‘ladi, chunki 65°+
∠3 = 65°+  
+105° = 180°. 
a
, 
c
 va 
e
 to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel emas, chunki 
ularning mos burchaklari teng emas (1-natijaga qarang). 
Xuddi shunday 
b
  va 
d
 to‘g‘ri chiziqlar ham parallel 
emas, chunki mos burchaklar teng emas: 65°
≠
75°.
Javob: 
a
||
d
, 
b
||
e
.

102
Teskari teorema
41
To‘g‘ri teorema:
  Agar                            bo‘lsa,                                bo‘ladi.
A tasdiq 
o‘rinli
B tasdiq 
o‘rinli
Teskari teorema:
 Agar                             bo‘lsa,                               bo‘ladi.
Qisqacha: A 
⇒ B
Qisqacha: B 
⇒ A
B tasdiq 
o‘rinli
A tasdiq 
o‘rinli
Agar teoremaning sharti va xulosalarining o‘rni almashtirilsa, yangi jumla (ya’ni 
tasdiq) hosil bo‘ladi. Agar bu jumla ham to‘g‘ri bo‘lsa (ya’ni uni isbotlab bo‘lsa), u berilgan 
teoremaga teskari teorema deb ataladi. 
Misol. “Agar uchburchak teng yonli bo‘lsa, uning asosidagi burchaklari teng bo‘ladi” — 
degan teoremaga teskari teorema quyidagidan iborat: “Agar uchburchakning ikkita 
burchagi teng bo‘lsa, u teng yonli uchburchak bo‘ladi”.
1-mashq.
 Yuqorida keltirilgan teskari teorema "Uchburchakning teng yonli bo‘lish 
alomati", deb yuritiladi. Uning to‘g‘riligini mustaqil isbotlang.
Shuni aytib o‘tish lozimki, har doim ham berilgan to‘g‘ri teoremaga teskari bo‘lgan 
tasdiq o‘rinli bo‘lavermaydi.
Masalan, “Agar burchaklar vertikal bo‘lsa, ular teng bo‘ladi”, degan teoremaga teskari 
“Agar burchaklar teng bo‘lsa, ular vertikal bo‘ladi” degan tasdiq to‘g‘ri emas.
2-mashq.
 
1.  “Agar yomg‘ir yog‘sa, osmonda bulut bo‘ladi”, degan tasdiqqa teskari tasdiqni tuzing. 
Hosil bolgan teskari tasdiqning har doim ham to‘g‘ri bo‘lish-bo‘lmasligini izohlang.
2.  Quyidagi to‘g‘ri teoremalarga teskari teoremalarni yozib chiqing. Har bir teskari 
teoremada ifodalangan tasdiqlarning to‘g‘ri yoki noto‘g‘riligini tekshiring.
 
1) Bir to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo‘lgan ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro kesishmaydi.
 
2) Agar ikki uchburchak teng bo‘lsa, ularning mos tomonlari teng bo‘ladi.
 
3) Agar qo‘shni burchaklar o‘zaro teng bo‘lsa, ular to‘g‘ri burchak bo‘ladi.
 
4) Bir to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan ikki to‘g‘ri chiziq paralleldir.
1.   Teskari teorema bilan to‘g‘ri teoremaning qanday farqi bor?
Savol, masala va topshiriqlar

103
A
B
C
D
2
3 1
2 4
3
3
1
A
B
C
F
E
4
A
B
C
D
O
5
6
A
B
C
P
1
P
2
P
3
2.   To‘g‘ri teoremaga teskari bo‘lgan teorema har doim 
ham o‘rinli bo‘ladimi?
3.   To‘g‘ri teoremani isbotlab,unga teskari teoremani 
isbotsiz qabul qilsa bo‘ladimi?
4.   Teskari teoremaga teskari bo‘lgan teorema qanday 
nomlanadi.
5.   Quyidagi teoremalarning sharti va xulosasini 
yozing. Bu teoremalarga teskari teoremalarni 
ifodalang va ularning to‘g‘riligini tekshiring: 
1) Agar 2-rasmda 
AC
=
BD
 bo‘lsa, 
AB
=
CD
 
bo‘ladi.
2) Agar 3-rasmda 
∠1=∠2 bo‘lsa, ∠3=∠4 bo‘-
ladi.
3) Agar 4-rasmda 
EF ||AC
 bo‘lsa, 
∠1=∠3.
4) Agar 5-rasmda 
AO =OB
 va CO = OD bo‘lsa, 
Δ
AOD
=
Δ
BOC
 bo‘ladi.
6.   
A
 va 
B
 nuqtalarda  mahkamlangan bloklar orqali 
o‘tgan ipda 
P
1
 va
  P
2
 jismlar osilgan (6-rasm). 
P
3
 jism esa shu ipning
  C
 nuqtasida osilgan 
bo‘lib,
  P
1
 va 
P
2
 jismlarni muvozanatda saqlab 
turibdi. 
AP
1
||BP
2
||CP
3
 ekanligi ma’lum bo‘lsa, 
∠
ACB
=
∠
A
+
∠
B
 bo‘lishini isbotlang. 
7.   Quyidagi teoremalarga teskari teoremalarni ifo-
dalang va ularning to‘g‘riligini tekshiring:
1)  Ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi bilan kesishishidan 
hosil bo‘lgan mos burchaklar teng bo‘lsa, u 
holda bu to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi.
2) Uchinchi to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan ikki 
to‘g‘ri chiziq parallel bo‘ladi.
3) Teng tomonli 
8.   Uchburchaklarning tenglik alomatlariga teskari 
teoremalarni ayting. Bu teskari teoremalar to‘g‘-
rimi?

104
Ikki parallel to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan burchaklar  
42
Quyida ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatlariga teskari bo‘lgan teoremalar ustida 
to‘xtalamiz.
1-teorema.
  Ikki parallel to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan almashi-
nuvchi burchaklar o‘zaro teng bo‘ladi.
 
a||b
, 
c
 – kesuvchi (1-rasm)
             
∠1=∠2
Isbot. 
Teskarisini faraz qilamiz: 
∠1≠∠2 bo‘lsin. 
AB
 nurga 
∠2 ga teng bo‘lgan 
CAB
 burchak qo‘yamiz 
(
∠
CAB
=
∠2). U holda, 
CA
 va
 b
 to‘g‘ri chiziqlarni 
AB
 
kesuvchi bilan kesganda, bir biriga teng (yasashga 
ko‘ra) almashinuvchi 
∠
CAB
 va 
∠2 burchaklarga 
ega bo‘lamiz.
1
a
b
c
2
1
C
A
B
2-teorema.
  Ikki parallel to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan mos 
burchaklar o‘zaro teng bo‘ladi.
3-teorema.
 Ikki parallel to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan bir tomonli 
burchaklar yig‘indisi 180° ga teng bo‘ladi.
Teoremalarni mustaqil isbotlashga urinib ko‘ring.
102°
78°
48°
z
x
y
a
b
x
2
Masala.
  2-rasmdagi noma’lum burchaklarni toping.
Yechilishi:
 Bir tomonli burchaklar yig‘indisi 
78°+102°=180° bo‘lgani uchun a||b bo‘ladi. 
Demak, 1-teoremaga ko‘ra 
z
 = 48° va 
x
 = 
y
 
bo‘ladi. 
x + x +
 48° = 180° bo‘lgani uchun (yoyiq 
burchaklar kattaligi), 
x
 = 66°. Demak, 
y
 = 66°.
Javob:
 
x
 = 66°; 
y
 = 66°; 
z 
= 48°.
Demak, 
CA
 va 
b
 to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel. Shunday qilib, 
A 
nuqtadan 
b
 to‘g‘ri 
chiziqqa parallel bo‘lgan ikkita (
CA
 va 
a
) to‘g‘ri chiziqqa egamiz.
Bu esa parallellik aksiomasiga zid. Demak, farazimiz noto‘g‘ri, 
∠1=∠2 ekan.
 
Teorema isbotlandi.
Natija.
  Agar to‘g‘ri chiziq parallel to‘g‘ri chiziqlardan biriga perpendikular 
bo‘lsa, ikkinchisiga ham perpendikular bo‘ladi.
Natija tariqasida keltirilgan tasdiqning to‘g‘ri ligini mustaqil tekshirib ko‘ring.

105
Masala.
 3-rasmda 
a b
, 
c
||
d
. Quyidagi tengliklardan qaysilari to‘g‘ri?
1) 
∠1 =∠15;       2) ∠3 =∠13;        3) ∠4=∠16;      4) ∠4 =∠8; 5) 
∠1=∠12;
6) 
∠7 =∠10;       7) ∠8 =∠16;        8) ∠8 =∠11;      9) ∠4+∠13=180°;    
10) 
∠6 +∠14 = 180°;         11) ∠7+∠12=180°;       12) ∠8+∠9=180° 
3
1 2
3
4
5 6
7
8
15 16
13
14
9 12
11
10
a
b
c
d
1.  4-rasmda 
AC = CB
 ekanligini ko‘rsating.
2.  Berilgan kesmaning o‘rtasini topishda 1-ma-
saladan qanday foydalanish mumkin?
3. 5-rasmda
 BC ||AD, AO=OD
 ekanligi ma’lum. 
a) 
BO = OC
;  b) 
AC=BD
; c) 
Δ
AOB=
Δ
COD
; 
d) 
Δ
ABD=
Δ
ACD 
tengliklarni isbotlang.
4. 6-rasmda 
BC ||AD 
va
  AB ||CD 
bo‘lsa, 
Δ
ABD =
Δ
CBD 
ekanligini isbotlang.
5.  7-rasmda 
a||b 
bo‘lsa
, x=?
Savol, masala va topshiriqlar
4
A
B
B
1
A
1
C
5
A
B
C
O
D
Yechilishi:
 3) 
∠4=∠2  (vertikal burchaklar 
xossasiga ko‘ra), 
∠2 va ∠16 – mos burchaklar 
bo‘lgani uchun 
∠2=∠16. Demak, ∠4=∠16 tenglik 
to‘g‘ri.
5) 
∠12=∠7 (mos burchaklar xossasiga ko‘ra) 
va 
∠7=∠5 (vertikal burchaklar). ∠5 va ∠1 mos 
burchaklar. 
a b
, shuning uchun 
∠1
≠
∠5=∠7=∠12, 
ya’ni 
∠1=∠12 tenglik noto‘g‘ri. 
9) 
∠4=∠2,  ∠13=∠15  (vertikal burchaklar), 
c
||
d,
 
∠2 va ∠15 – bir tomonli burchaklar bo‘lgani 
uchun, 
∠2+∠15=180°. Demak, ∠4+∠13 =180° 
tenglik to‘g‘ri. 
11) 
c
||
d 
bo‘lgani uchun 
∠7=∠10 (almashinuvchi 
burchaklar xossasiga ko‘ra) va 
∠10=∠12 (vertikal 
burchaklar). Demak, 
∠7=∠12. 
Shuning uchun 
∠7+∠12 = 180° tenglik faqat 
∠7=∠12= 90° bo‘lganda o‘rinli bo‘ladi. 
Qolgan tengliklarni shu tariqa o‘zingiz mustaqil 
ravishda tekshirib chiqing.
6
A
C
B
D
7
a
b
135°
3
x

106
Mos tomonlari o‘zaro parallel bo‘lgan burchaklar
43
1-teorema.
 Mos tomonlari parallel to‘g‘ri