Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

chiziqlarda yotgan o‘tkir burchaklar o‘zaro 
teng bo‘ladi. 
1
a
b
c
d
B
A
1
Isbot.
 Aytaylik, ikkita 
A
 va 
B
 burchaklar o‘tkir bo‘lib, 
ularning mos tomonlari o‘zaro parallel 
a
 va 
b, c
 va 
d 
to‘g‘ri 
chiziqlarda yotgan bo‘lsin (1-rasm). U holda,
∠
A
 = 
∠1,  
Masala.
 O‘tkir burchak ichki sohasida joylashgan 
M
 nuqta orqali burchak 
tomonlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazing. Mos tomonlari parallel bo‘lgan 
burchaklarni ko‘rsating va ular orasidagi munosabatlarni aniqlang.
Yechilishi:
 
BAC
 o‘tkir burchak va uning ichki sohasida 
M
 nuqta berilgan bo‘lsin 
(2-rasm). 
BM
||
AC
 va 
AB
||
MC
 bo‘ladigan qilib 
BM
 va 
MC
 to‘g‘i chiziqlar o‘tkazamiz. 
Mos tomonlari parallel bo‘lgan 
a) o‘tkir burchaklar: 
∠
BAC,
 
∠
FME,
 
∠
BMC
, 
∠
GBM
,   
∠
HBA
, 
∠
MCD
, 
∠
ACK
. 
Ravshanki 1-teoremaga ko‘ra ular o‘zaro teng bo‘ladi.
b) o‘tmas burchaklar: 
∠
HBG
, 
∠
ABM, 
∠
ACM, 
∠
KCD
, 
∠
CME
, 
∠
BMF
. Ular ham 
2-teoremaga ko‘ra teng bo‘ladi. 
a) va b) ro‘yxatda keltirilgan bittasi o‘tkir ikkinchisi o‘tmas bo‘lgan ixtiyoriy burchaklar 
yig‘indisi 3-teoremaga ko‘ra 180°ga teng bo‘ladi.
2-teorema.
 Mos tomonlari parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotgan o‘tmas 
burchaklar o‘zaro teng bo‘ladi. 
3-teorema.
 Mos tomonlari parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotgan, biri o‘tkir, 
ikkinchisi esa otmas bo‘lgan burchaklar yig‘indisi 180°ga teng bo‘ladi.
chunki ular 
a
 va 
b
 parallel to‘g‘ri chiziqlarni 
c
 kesuvchi bilan kesganda hosil bo‘lgan mos 
burchaklardir. Shuningdek
∠
B 
= 
∠1,
chunki ular 
c
 va 
d
 parallel to‘g‘ri chiziqlarni 
b
 kesuvchi bilan kesganda hosil bo‘lgan 
mos burchaklardir.
Bu ikki tenglikdan 
∠
A
 = 
∠
B
 tenglikka ega bo‘lamiz. 
Teorema isbotlandi.
Mos tomonlari parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotgan burchaklar haqida yana ikkita 
teoremani keltiramiz. Ularni mustaqil isbotlang.

107
a
b
1 2
3
4
5 6
7
8
5
Savol, masala va topshiriqlar
1. 
ABCD
 kvadratda mos tomonlari parallel 
bo‘lgan burchaklar juftlarini ayting. 
2. Agar 3-rasmda 
a
||
b
 va 
c
||
d
 bo‘lsa, mos 
tomonlari parallel bo‘lgan burchaklarni 
yozing. 
3. Agar 4-rasmda 
a
||
b,  c
||
d 
va 
∠1= 50° 
bo‘lsa, 
∠2 = ?, ∠3 = ?
4. Agar 5-rasmda 
a
||
b 
va 
∠2 =30° bo‘lsa, 
qolgan yetti burchakdan birortasi 70° 
ga teng bo‘la oladimi? Javobingizni tu-
shuntiring.
5.  Mos tomonlari parallel to‘g‘ri chiziqlarda 
yotgan burchaklar ayirmasi 40° ga teng. 
Bu burchaklarni toping.
6.  Mos tomonlari parallel to‘g‘ri chiziqlarda 
yotgan ikki burchak yig‘indisi 146° ga 
teng. Bu burchaklarni toping.
7.  Mos tomonlari parallel to‘g‘ri chiziqlarda 
yotgan ikki burchakdan biri ikkinchisidan 
uch marta katta. Bu burchaklarni toping.
2
H
A
C
M
B
G
K
E
F
D
1 2
3
4
5
6 7
8
15 14
16 13
12
11
10
9
3
a
b
c
d
a
b
c
d
1
2
3
4
Mos tomonlari o‘zaro perpendikular bo‘lgan burchaklar
44
Isbot.
 Aytaylik, 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 o‘tkir bur-
chaklar bo‘lib, ularning mos tomonlari o‘zaro 
perpendikular to‘g‘ri chiziqlarda yotgan, ya’ni 
AB
⊥
A
1
B
1
 va 
BC
⊥B
1
C
1
 bo‘lsin (1-rasm). 
B
 
1-teorema.
 Mos tomonlari perpen-
dikular to‘g‘ri chiziqlarda yotgan o‘t-
kir burchaklar o‘zaro teng bo‘ladi. 
1
A
B
C
A
1
B
1
C
1
C
2
A
2

108
Quyida mos tomonlari perpendikular burchaklar haqida yana ikkita teoremani 
keltiramiz. Ularni mustaqil isbot qiling.
2-teorema.
 Mos tomonlari perpendikular to‘g‘ri chiziqlarda yotgan o‘tmas 
burchaklar o‘zaro teng bo‘ladi.
3-teorema.
 Mos tomonlari perpendikular to‘g‘ri chiziqlarda yotgan biri o‘tkir, 
ikkinchisi esa o‘tmas bo‘lgan burchaklar yig‘indisi 180° ga teng bo‘ladi.
1.  Mos tomonlari perpendikular bo‘lgan burchaklar qanday xossaga ega?
2.  Mos tomonlari perpendikular bo‘lgan qanday burchaklar teng bo‘ladi?
3.  Mos tomonlari perpendikular bo‘lgan qanday burchaklarning yig‘indisi 180°ga teng 
bo‘ladi?
4.  Mos tomonlari perpendikular bo‘lgan burchaklarning: 
 
a) ikkalasi ham o‘tkir, 
 
b) ikkalasi ham o‘tmas, 
Savol, masala va topshiriqlar
Masala.
 2-rasmdagi noma’lum burchaklarni 
toping.
Yechilishi:
 
∠
ABC
 va 
∠
ADC
 — mos tomonlari 
perpendikular bo‘lgan burchaklar ekanligini ko‘rish qiyin 
emas: 
BA
⊥
DA
, 
BC
⊥
DC
. U burchaklar bir-biriga teng 
emas. Demak, 3-teoremaga ko‘ra, 
∠
B
+
∠
D
=180°, ya’ni 
7
x
+11
x
=180°, 18x =180°. Unda x =10°, 
∠
B
= 7
x
= 70°, 
∠
D
= 110° bo‘ladi.    
Javob:
 
∠
B
= 70°, 
∠
D
=110°.
A
C
11
x
7x
2
nuqtadan B
1
A
1
 va B
1
C
1
 tomonlarga parallel 
BA
2
 va 
BC
2
  nurlarni  o‘tkazamiz.  U  holda,           
∠
A
1
B
1
C
1
 = 
∠
A
2
BC
2
     
chunki bu burchaklarning mos tomonlari o‘zaro paralleldir. Bir tomondan, 
AB
 
⊥ 
A
2
B
 
 
bo‘lgani uchun 
∠
ABC
 + 
∠
CBA
2
 = 90°. Bundan 
∠
ABC
 = 90° – 
∠
CBA
2
. Ikkinchi tomondan, 
CB
 
⊥ 
BC
2
 
 bo‘lgani uchun 
∠
CBA
2
 + 
∠
A
2
BC
2
 
= 90°. Bundan 
∠
A
2
BC
2 
= 90° – 
∠
CBA
2
.
Demak, 
∠
ABC
 = 
∠
A
2
BC
2
. Shuning uchun 
∠
ABC
 = 
∠
A
1
B
1
C
1
. 
Teorema isbotlandi.
B
D

109
x
72°
a)
a)
6.  Quyidagi rasmda noma’lum 
x
 burchakni toping.
55°
x
b)
b)
a)
x
3x
x
y
x : y = 11 : 25
b)
 
c) biri o‘tkir, ikkinchisi o‘tmas bo‘lganda, ular orasida qanday munosabat o‘rinli 
bo‘ladi?
5.  Quyidagi rasmda mos tomonlari perpendikular burchaklarni ko‘rsating va noma’lum 
burchaklarni toping.
B
C
A
D
E
A
B
C
E
D
7.  Mos tomonlari perpendikular bo‘lgan burchaklarni aniqlang.
8.  Mos tomonlari perpendikular to‘g‘ri chiziqlarda yotgan ikki burchakning biri 
ikkinchisidan 3 marta katta. Shu burchaklarni toping.
9.  Mos tomonlari perpendikular to‘g‘ri chiziqlarda yotgan burchaklardan biri 70°. Ik-
kinchi burchakni toping.
10. Mos tomonlari perpendikular to‘g‘ri chiziqlarda yotgan ikki burchak yig‘indisi 168° 
ga teng. Bu burchaklarni toping.

110
Bilimingizni sinab ko‘ring
45
1. Bo‘sh qoldirilgan joylarni mantiqan to‘g‘ri so‘zlar bilan to‘ldiring.
1.  To‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqta orqali unga perpendikular bo‘lgan ........... o‘tkazish 
mumkin.
2.  Agar ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi bilan kesganda hosil bo‘lgan ............. teng bo‘lsa, 
bu to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi.
3.  Tekislikdagi ikki to‘g‘ri chiziq ................. , ular parallel to‘g‘ri chiziqlar deyiladi.
4.  Ikki parallel to‘g‘ri chiziqdan birini kesib o‘tgan to‘g‘ri chiziq .............. .
5.  To‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali unga parallel bo‘lgan ............... to‘g‘ri chiziq 
o‘tadi.
6.  To‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi orqali ................ faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish 
mumkin.
7.  To‘g‘ri burchak ostida kesishgan to‘g‘ri chiziqlar ................. deb ataladi.
8.  Bitta to‘g‘ri chiziqqa ................ ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro paralleldir.
9.  Agar ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi bilan kesganda hosil bo‘lgan bir tomonli burchaklar 
................. to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi.
10. Parallel to‘g‘ri chiziqlarni kesuvchi bilan kesganda hosil bo‘lgan mos .......... .
2. Quyida keltirilgan jumlalarda xato bo‘lsa, xatoni toping va uni to‘g‘rilang.
1.  To‘g‘ri chiziqning faqat bitta nuqtasidan unga perpendikular to‘g‘ri chiziq o‘tkazish 
mumkin.
2.  Berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan faqat bitta nuqtadan shu to‘g‘ri chiziqqa 
perpendikular tushirish mumkin.
3. 
AB
 va 
AK 
parallel to‘g‘ri chiziqlarning biriga perpendikular bo‘lgan to‘g‘ri chiziq 
ikkinchisiga ham perpendikular bo‘ladi.
4.  Ikki to‘g‘ri chiziqning kesuvchi bilan kesilishidan hosil bo‘lgan almashinuvchi 
burchaklari teng bo‘ladi.
5.  Agar ikki kesma kesishmasa ular parallel kesmalar deb ataladi.
6.  Mos tomonlari parallel bo‘lgan burchaklar teng bo‘ladi.
7. Agar
 a
⊥
b
, 
b
⊥
c
 bo‘lsa, 
a
⊥
c
 bo‘ladi.
8.  Mos tomonlari perpendikular bo‘lgan burchaklarning yig‘indisi 180° ga teng.
9.  Agar ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi bilan kesilishidan hosil bo‘lgan bir tomonli burchaklar 
teng bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi.
10. Perpendikular to‘g‘ri chiziqlarga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar ham o‘zaro parallel 
bo‘ladi.
11. Agar 
a
||
b
, 
b
||
c
 bo‘lsa, 
a
||
c
 bo‘ladi. 

111
4. Birinchi ustunda berilgan geometrik tushunchaga ikkinchi ustundan tegishli 
xossa yoki talqinni mos qo‘ying.
1.  Umumiy nuqtaga ega bo‘lmagan to‘g‘ri chiziqlar
2.  To‘g‘ri burchak ostida kesishadi
3.  Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa faqat bitta tushirish mumkin
4.  Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa istagancha tushirish mumkin
5.  Shart va xulosa qismi almashgan
6.  Ikkita to‘g‘ri chiziqni kesuvchi bilan kesishganda hosil bo‘ladigan 
burchaklar
3. Jadvalda keltirilgan xossalar va talqinlarga mos keluvchi geometrik 
tushunchalarni toping.
Geometrik tushuncha
1.  Parallel to‘g‘ri chiziqlar
2. Perpendikular 
to‘g‘ri 
chiziqlar
3.  Kesuvchi ikki to‘g‘ri chiziqni 
kesganda
4. Almashinuvchi 
burchaklar
5. Teskari 
teorema
6.  Bir tomonli burchaklar 
Xossalar, talqinlar
A.  Har doim ham to‘g‘ri emas.
B. Kesishmaydi.
C.  Kesishganda to‘g‘ri burchaklar hosil qiladi.
D.  Almashinuvchi, mos va bir tomonli burchaklar 
hosil bo‘ladi.
E.  Bitta yarim tekislikda yotadi.
F.  Teng bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi.
5. Testlar.
1.  Berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali unga parallel bo‘lgan nechta to‘g‘ri 
chiziq o‘tkazish mumkin?
A) 1;  
B) 2; 
 
D) 4; 
 
E) istalgancha.
2. Agar 
a||b, b
⊥c, c⊥d bo‘lsa, quyidagi javoblarning qaysilari to‘g‘ri?
A) 
a
⊥
d
, 
b
⊥
d
 
  B) 
a
⊥
c
, 
b||d
  
 
D) 
a||c, a
⊥
d
     
 
E) 
a
⊥
c
, 
a
⊥
d, b
⊥
d
.
3.  Tekislikda berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali shu to‘g‘ri chiziqqa 
nechta perpendikular to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin?
A) 1;  
B) 2; 
 
D) 4; 
 
E) istalgancha.
4.  Mos tomonlari perpendikular bo‘lgan burchaklarning biri ikkinchisidan 90° ga katta. 
Shu burchaklarni toping.
A) 90°, 90°;   
  B) 60°, 150°; 
        D) 30°, 120°; 
   
E) 45°, 135°.

112
5. 1-rasmda 
a||b 
bo‘lsa
, x
=?
A) 100°;     B) 110°; 
D) 130°;    E) 140°.
6. 2-rasmda 
a||b 
bo‘lsa
, x
=?
A) 30°;     B) 45°; 
D) 60°;      E) 36°.
7. 
x
=? (3-rasm)
A) 96°;     B) 108°; 
D) 112°;     E) 78°.
8. 
x
=? (4-rasm)
A) 96°;     B) 86°; 
D) 94°;       E) 74°.
9. 5-rasmda 
a||b 
va
 α−β
=70° bo‘lsa, 
α=?
A) 30°;     B) 125°; 
 D) 75°;       E) 36°.
1
a
b
x
40°
86°
2
a
b
x
α
2α
3
82°
98°
112°
x
4
x
5
a
b
β
α
1. 1-rasmda mos tomonlari perpendikular bo‘l-
gan burchaklarni aniqlang va o‘zaro teng 
bo‘lganlarini ko‘rsating.
2. Agar 2-rasmda 
OA
⊥
OC
, 
OD
⊥
OB 
bo‘lsa,
 
x
=?.
3.* 3-rasmda nechta mos tomonlari perpen-
dikulyar bo‘lgan burchaklar bor?
4. 
α+β
=? (4-rasm)
5. 
x =
? (5-rasm)
6.* 
ABC
 uchburchakning 
AD
 bissektrisasi o‘rta-
sidan 
AD
ga perpendikular qilib o‘tkazilgan 
to‘g‘ri chiziq 
AC
 tomonni 
M
 nuqtada kesadi. 
MD
||
AD
 ekanligini isbotlang.
6. Masalalar.
A
B
C
D
E
F
O
1

113
A
B
C
D
O
66°
x
2
5
x
72°
108°
125°
a
b
3
A
B
C
D
O
α
β
4
5-nazorat ishi
46
1
D
C
B
A
2
1
a
b
c
d
Namunaviy nazorat ishi ikki qismdan iborat: 
I. 111– 112-betdagi testlarga o‘xshash 5 ta test;
II. Quyidagi masalalarga o‘xshash 3 ta masala 
(4-masala yaxshi o‘zlashtirayotgan o‘quvchilar 
uchun).
1.  Ikki parallel to‘g‘ri chiziq kesuvchi bilan 
kesilganda hosil bo‘lgan burchaklardan biri 
34°ga teng. Qolgan burchaklarni toping.
2. Agar 1-rasmda 
BC||AD 
va 
AB||CD
 bo‘lsa, 
AB=CD
 ekanligini isbotlang.
3. Agar 2-rasmda 
a||b, c||d 
va
 
∠1= 48° bo‘lsa, 
qolgan burchaklarni toping.
4. 
ABC 
uchburchakning 
A 
uchidan o‘tkazilgan 
bissektrisa 
BC
 tomonni 
D
 nuqtada kesib 
o‘tadi. 
D
 nuqtadan o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 
AC
 
tomonni 
E
 nuqtada kesib o‘tadi. Agar 
AE=DE 
bo‘lsa,
 DE||AB
 ekanligini isbotlang.

114
Uchburchak ichki burchaklarining yig‘indisi haqidagi teorema
Faollashtiruvchi mashq.
2.   Bir varaq qog‘ozga ixtiyoriy 
ABC
 uch-
burchakni chizing va burchaklarini 1, 2 va 3 
raqamlar bilan belgilang. Uning burchak-larini 
1-rasmda ko‘rsatilgandek qilib yirtib oling va 
yonma-yon qo‘ying. Bundan qanday xulosa 
chiqarish mumkin?
Uchburchaklar
∆ABC
∆MNK
∆PQR
∠2 ∠3 ∠1+∠2+∠3
A
B
C
1
2
3
N
T
L
1
2
3
P
Q
R
1
2
3
1
2
3
1
1
1
2
3
Endi geometriyaning eng muhim teore-
malaridan biri – uchburchak  burchaklari yig‘in-
disi haqidagi teoremani isbot qilamiz.
Uchburchak burchaklarining yig‘indisi 180° 
ga teng.
Isbot.
 A uchdan BC tomonga parallel a to‘g‘ri chiziq 
o‘tkazamiz (2-rasm).
2
A
B
C
a
1
2
3
4
5
47
∠1
        ΔABC
∠A + ∠B + ∠C =  180°
1.  Quyidagi rasmda tasvirlangan 
ABC
 
uchburchakning uchala burchaklarini 
transportir yordamida o‘lchang va ularning 
yig‘indisini hisoblang. Xuddi shu ishni 
MNL 
va 
PQR
 uchburchaklar uchun ham bajaring. 
Natijalar asosida jadvalni to‘ldiring. Qanday 
xossani aniqladingiz? Uni bitta jumla bilan 
ifodalang.

115
∠1 = ∠4, chunki bu burchaklar,
 a
 va 
BC
 parallel to‘g‘ri chiziqlarni 
AB
 kesuvchi bilan 
kesganda hosil bo‘lgan almashinuvchi burchaklardir.
∠3 = ∠5 , chunki bu burchaklar, 
a
 va 
BC
 parallel to‘g‘ri chiziqlarni 
AC
 kesuvchi bilan 
kesganda hosil bo‘lgan almashinuvchi burchaklardir.
2-masala.
 Uchburchak burchaklari 2:3:7 kabi nisbatda bo‘lsa, ularning gradus 
o‘lchovini toping.
Yechilishi:
 Shartga ko‘ra, uchburchak burchaklarini 2
x,
 3
x 
va 7
x
. deb bergilaymiz. 
U holda uchburchak burchaklari yig‘indisi haqidagi teoremaga ko‘ra 2
x
+ 3
x
+7
x
=180° 
tenglikka egamiz. Undan 
x
=15° ekanligini topamiz.
Demak, uchburchak burchaklarining gradus o‘lchovi 30°, 45° va 105° ga teng 
ekan.  
 
 
Javob:
 30°, 45°, 105°.
1-masala.
 3-rasmda berilgan ma’lumotlardan foy-
dalanib noma’lum burchak x ni toping.
Yechilishi:
 
Δ
ABC
—teng yonli uchburchak bo‘lgani 
uchun, 
∠
ACB
=
∠
A
=40°. Vertikal burchaklar xossasiga ko‘ra, 
∠
DCE
=
∠
ACB
=40°. Shartga ko‘ra 
Δ
CED
 ham teng yonli. Shu 
bois, 
∠
DCE
=
∠
DEC
=40°.
Demak, uchburchak burchaklarining yig‘indisi haqidagi 
teoremaga ko‘ra, 
Δ
CDE
 da: 40°+ 40°+
x
=180°, yoki
 x
=100°.
Javob:
 100°.
3
A
B
C
D
E
40°
x
∠4 + ∠2 + ∠5  = 180°, chunki  bu burchaklar umumiy 
uchga ega va yoyiq burchakni tashkil qilayapti. Hosil bo‘lgan 
bu uchta tenglikdan,
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, ya’ni ∠
A
 + 
∠
B
 + 
∠
C
 = 180° ekan-
ligini hosil qilamiz.   
Teorema isbotlandi.
  
Savol, masala va topshiriqlar
1.  Uchburchak burchaklarining yig‘indisi haqidagi teoremani keltiring va rasmda 
izohlang.