Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

3.  Uchburchakning balandligi uning tomonlaridan  
har doim kichik bo‘ladimi?
4.  Katta tomoni 36 ga teng bo‘lgan uchburchakning 
burchaklari 1:2:3 kabi nisbatda bo‘lsa, shu 
uchburchakning kichik tomonini toping.
5. Uchburchakning asosiga tushirilgan balandlik 
uning yon tomonlari bilan 27° va 36° li burchak-
lar tashkil qiladi. Uchburchakning burchaklarini 
toping.
6. To‘g‘ri burchakli 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1 
uchburchak-
larda 
A
 va 
A
1
 
to‘g‘ri burchaklar, 
BD 
va 
B
1
D
1
 
bissektrisalar va 
∠B =∠B
1
,  BD = B
1
D
1
 bo‘lsa, 
Δ
ABC =
Δ
A
1
B
1
C
1
 
ekanligini isbotlang.
Qobiliyatli o‘quvchilar uchun qo‘shimcha topshiriq.
«Geometriya –7» elektron darsligining tegishli bobi sahifalari bilan tanishib 
chiqing. Mazkur bobga kiritilgan mavzularga oid interaktiv animatsiya ilovalarida berilgan 
topshiriqlarni bajarib va test topshiriqlarini yechib, o‘z bilimingizni sinab ko‘ring.

GEOMETRIYANING AKSIOMATIK
QURILISHI
V BOB
Bu bobni o‘rganib chiqqach quyidagi bilim va amaliy ko‘nikmalarga 
ega bo‘lasiz:
Bilimlar:
—  planimetriyaning aksiomatik qurilishi haqida tasavvurga ega bo‘lish;
—  parallellik aksiomasini bilish;
—  parallellik aksiomasiga teng kuchli jumlalarni bilish;
—  parallellik aksiomasining tarixini va ahamiyati to‘g‘risida tushunchaga ega 
bo‘lish.
Ko‘nikmalar:
—  isbotlashga doir masalalarda va teoremalarni isbotlashda aksiomalarini 
o‘rnida qo’llay olish;
—  aksiomalarni teoremalardan ajrata olish.
F
B
A
M
F
1
B
1
M
1
A
1

136
Shu paytgacha tekislikdagi yassi geometrik shakllarning xossalarini o‘rganish 
davomida qator aksiomalarga tayandik. Bu aksiomalarning ko‘pchiligi: nuqta, to‘g‘ri 
chiziq va tekislikning xossalari haqida bo‘lib, ularni biz to‘g‘ridan-to‘g‘ri isbotsiz qabul 
qildik.
Shuni aytish lozimki, yo‘l-yo‘lakay yassi geometrik shakllarning xossalarini 
ixchamroq bayon etish va ularni o‘rganishni yengillashtirish maqsadida planimet-
riyaning ba’zi aksiomalarini alohida aytmagan bo‘lsakda, ulardan foydalanib keldik.
Endi bilimingiz to‘liq bo‘lishi uchun bu aksiomalarning hammasini sanab 
o‘tamiz:
Birinchi uchta aksiomalar to‘g‘ri chiziq va nuqtalarning o‘zaro joylashuvi 
haqida:
1.
  Har bir to‘g‘ri chiziqqa kamida ikkita nuqta tegishli.
2.
  Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan kamida uchta nuqta mavjud.
3.
  Istalgan ikkita nuqta orqali faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
 
Biz to‘g‘ri chiziqda yotgan nuqtalar uchun "orasida yotadi", "turli tomonda yotadi 
va "bir tomonda yotadi" degan tushunchalardan foydalandik. Bu tushunchalarga 
oid xossalar quyidagi aksiomalarda ifodalangan.
4.
  To‘g‘ri chiziqdagi uchta nuqtadan faqat bittasi qolgan ikkitasining orasida yotadi.
5.
  To‘g‘ri chiziqning har bir 
O
 nuqtasi uni ikki qismga (ikki nurga) ajratadi. Bitta 
nurning istalgan ikkita nuqtasi 
O
 nuqtadan bir tomonda yotadi. Turli nurlarda 
olingan ikki nuqta esa 
O
 nuqtaning turli tomonida yotadi.
6.
 Har 
bir 
a
 to‘g‘ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi. Bitta yarim tekislikda 
olingan ixtiyoriy ikki nuqta 
a
 to‘g‘ri chiziqdan bir tomonda, turli yarim tekisliklarda 
olingan ixtiyoriy ikki nuqta esa 
a
 to‘g‘ri chiziqning turli tomonida yotadi.
 
    Quyida keltirilgan aksiomalar geometrik shakllarni bir-birini "ustiga qo‘yish" 
va geometrik shakllarning tengligi tushunchasiga doir. Geometrik shakllarni 
bir-birini ustiga qo‘yishni ko‘rgazmali ko‘rinishda bayon qilgan bo‘lsak-da, uni 
tekislikni o‘zini-o‘ziga akslantirish ma’nosida tushunish kerak.
7.
  Agar ikkita kesmani ustma-ust qo‘yganda ularning uchlari ustma-ust tushsa, 
kesmalar ham ustma-ust tushadi.
8.
  Istalgan nurga uning boshidan berilgan kesmaga teng yagona kesmani qo‘yish 
mumkin.
9.
   Istalgan nurdan tayin yarim tekislikka berilgan yoyiqmas burchakka teng yagona 
burchakni qo‘yish mumkin.
10.
  AOB burchakni unga teng bo‘lgan 
A
1
O
1
B
1
 
burchak bilan ikki usulda ustma-ust 
qo‘yish mumkin: 1) 
OA
 nur 
O
1
A
1
 nur bilan, 
OB
 nur esa 
O
1
B
1
 nur bilan ustma-ust 
tushadi; 2) 
OA
 nur 
O
1
B
1
 nur bilan, 
OB
 nur esa 
O
1
A
1
 bilan ustma-ust tushadi.
Planimetriyaning aksiomatik qurilishi
57

137
11.
  Har bir shakl o‘z-o‘ziga teng. 
12.
 Agar 
F
1
 shakl 
F
2
 shaklga teng bo‘lsa, 
F
2
 shakl 
F
1
 shaklga teng bo‘ladi.
13.
 Agar 
F
1
 shakl 
F
2
 shaklga teng, 
F
2
 shakl esa 
F
3
 shaklga teng bo‘lsa, 
F
1
 shakl 
F
3
 
shaklga teng bo‘ladi.
14.
  Tanlangan o‘lchov birligida har bir kesmaning uzunligi tayin musbat son bilan 
ifodalanadi.
15.
  Tanlangan o‘lchov birligida har bir musbat son uchun uzunligi shu songa teng 
bo‘lgan kesma mavjud.
16.
  To‘g‘ri chiziqda yotmagan nuqta orqali berilgan to‘g‘ri chiziqqa faqat bitta parallel 
to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
Bu aksiomalar birgalikda planimetriyaning asosini tashkil qiladi. Mazkur darslik 
materiallari ana shu aksiomalar asosiga qurilgan, ya’ni darslikda keltirilgan barcha 
teoremalarni shu aksiomalardan foydalanib isbotlash mumkin.
Mazkur aksiomalardan foydalanib, uchburchaklar tengligining TBT alomati 
isbotini namuna sifatida keltiramiz.
Teorema.
 (Uchburchaklar tengligining TBT alomati). Agar bir uchburchakning 
ikki tomoni va ular orasidagi burchagi, ikkinchi uchburchakning ikki 
tomoni va ular orasidagi burchagiga mos ravishda teng bo‘lsa, bunday 
uchburchaklar o‘zaro teng bo‘ladi.
 Δ
ABC 
 va   Δ
A
1
B
1
C
1 
,
 AB = A
1
B
1
,  
AC = A
1
C
1
, 
∠
A = 
∠
A
1
Δ
ABC  =  
Δ
A
1
B
1
C
1
Agar 
AB
=
A
1
B
1
, 
AC
=
A
1
C
1
 va 
∠
A
=
∠
A
1
 
bo‘lsa, 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 
uchburchaklarning 
teng ekanligini ko‘rsatamiz. Shu maqsadda 
ABC
 uchburchakning 
A
 uchini 
A
1
 
nuqtada, 
AB
 va 
AC
 tomonlarini esa 
A
1
C
1 
va 
A
1
B
1
 nurlarda yotadigan qilib ustma-ust 
qo‘yamiz. 10-aksiomaga ko‘ra, bunday ustma-ust qo‘yish mavjud. 8-aksiomaga 
ko‘ra,
 A
1
B
1
 
nurda 
A
1
 nuqtadan 
AB
 kesmaga teng yagona kesmani qo‘yish mumkin. 
Teorema shartiga ko‘ra, 
AB
=
A
1
B
1
, shuning uchun bunday ustma-ust qo‘yishda 
B
 
nuqta 
B
1
 nuqta bilan, 
C
 nuqta 
C
1
 nuqta bilan ustma-ust tushadi.
Unda, 7-aksiomaga ko‘ra, 
B
1
C
1
 
tomon bilan 
BC
 tomon ustma-ust tushadi. Demak, 
ABC
 uchburchak 
A
1
B
1
C
1
 uchburchak bilan to‘liq ustma-ust tushadi. Bundan, 
ABC 
va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklar o‘zaro teng degan xulosa chiqarish mumkin.
Teorema isbotlandi.
1.  Aksiomaning teoremadan farqi nima?
2.  Planimetriya aksiomalarini ayting.
Savol, masala va topshiriqlar

138
Tarixiy lavhalar.
 
Sodda geometrik ma’lumotlarni o‘z ichiga olgan birinchi asarlar  bizga 
Qadimgi Misrdan yetib kelgan. Ular  eramizdan avvalgi XVII  asrga dahldordir. 
Geometriyaning fan sifatida shakllanishi yunon olimlari Fales(taxminan eramizdan 
oldingi 625–547 y.), Pifagor  (taxminan eramizdan avvalgi 580–500 y.),  
Yevdoks (e.a. 406–355), Yevklid (eramizdan avvalgi III  asr) va boshqalarning 
nomi bilan bog‘liq. YYevklid mashhur  “Negizlar” asarida shu davrgacha to‘plangan 
geometrik bilimlarni jamladi va bu fanda tugallangan aksiomalar  sistemasini berishga 
harakat  qildi. Kitob shunchalik yaxshi yozilgan ediki, 2000 yil davomida hamma 
joyda geometriya o‘sha kitobning tarjimasidan yoki unchalik katta farq qilmaydigan qayta 
ishlangan nashrlaridan o‘qitildi.  
Parallellik aksiomasi tarixi va unga teng kuchli jumlalar
Biz salkam bir yil davomida geometriyaning planimetriya deb ataluvchi qismini 
o‘rgandik, ko‘plab tushunchalar, shakllar va ularning xossalari bilan tanishdik. Bunday 
xossalardan muhimlari teorema deb atalishini va ular isbotlanishini bildik.
Juda qadim zamonlardan odamlar o‘zlarining turli ehtiyojlari uchun geometrik 
shakllarning foydali xossalari borligini payqashgan. Birgina misol keltiraylik. Odatda 
binolarning tarxi to‘g‘ri to‘rtburchak shaklida olinadi. Shuning uchun bino qurishga 
mo‘ljallangan joy tekislanib, aynan to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi poydevor qo‘yilishi 
lozim. Aks holda bino qiyshiq chiqadi yoki devori og‘ib qoladi. Xo‘sh bunday holatda 
58–59
3. Aksiomalarni 
sharhlang.
4.  Yuqorida keltirilgan aksiomalar tizimida kiritilgan qaysi aksiomalar bilan darslik 
sahifalarida tanishgansiz? Qaysilari sizga notanish?
5.  Sizga notanish bo‘lgan aksiomalarni sharhlashga urinib ko‘ring.
6.  Keltirilgan aksiomalardan foydalanib, quyidagi teoremalarni qayta isbotlang. Isbotning 
qaysi joyida qanday aksiomalarning ishlatilayotganiga e’tibor qarating.
 
a) Uchburchaklar tengligining TBT alomati;
 
b) Uchburchaklar tengligining BTB alomati;
 
d) Uchburchaklar tengligining TTT alomati;
 
e) Uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi haqidagi teorema.

139
me’mor qanday yo‘l tutishi lozim? Albatta geometriya xossalariga 
murojaat etishi kerak.
Dastlab geometrik shakllarning xossalari "to‘g‘riga o‘xshaydi" 
kabi faraz va mulohazalar bilan izlangan, to‘g‘riligiga esa 
asosan o‘lchash vositasida qayta-qayta tekshirib ko‘rib ishonch 
hosil qilingan. Yillar o‘tib ancha-muncha xossa yig‘ilib qolgan. 
Matematika tarixi bilan shug‘ullanadigan olimlar fikricha, mil.avv. 
V – VI asrlarda yashagan Fales ismli faylasuf geometriyadagi 
ayrim xossalarni o‘lchab yoki boshqa taqribiy usulda tekshirib 
emas, balki sof mantiqiy mulohaza bilan isbotlash mumkinligini 
payqagan. Jumladan, u "teng yonli uchburchakning asosiga 
yopishgan burchaklari teng bo‘ladi", "diametr aylanani teng 
ikkiga bo‘ladi" kabi xossalarning to‘g‘riligini ana shunday mantiqiy 
mushohada bilan asoslab bergan.
Shundan so‘ng yunon matematiklari geometrik xossalarni 
o‘lchab ko‘rish bilan emas, isbotlash yo‘li bilan to‘g‘riligini o‘rnatish 
lozim, degan xulosaga kelganlar. Axir, har qanday o‘lchash 
taqribiy-da.
Endi fikr qilaylik. Teoremaning isboti bu — ma’lum bir xossani 
mantiqiy mushohada bilan to‘g‘riligini ko‘rsatish. Lekin faqat 
mantiqiy mulohazaning o‘zi bilan xossa isbotlanib qolmaydi. 
Aslida muayyan bir xossa to‘g‘riligi avvaldan ma’lum boshqa 
xossalardan keltirib chiqariladi. Bu jarayon g‘ishtdan binoning 
devorini qurishga o‘xshaydi — har bir g‘isht devorning bitgan 
qismi ustiga qo‘yiladi.
Boshqacha qilib aytganda, bir xossa, uni A xossa deb ataylik, 
B va C xossalardan keltirib chiqariladi, B va C xossalarning isboti 
boshqa xossalarga asoslanadi, o‘z navbatida ularning tagida ham 
qandaydir tasdiqlar yotadi va hokazo.
Binoning g‘ishtlarini yuqorisidan boshlab ko‘chirib chiqsak, 
oxiri tosh yoki beton poydevorga borib taqalganday, geometriyada 
ham hamma xossani isbotlab bo‘lmaydi, qandaydir xossalarga 
yetganda to‘xtash kerak. Ana shunday, ya’ni geometriya uchun 
"poydevor" vazifasini o‘taydigan xossalar aksiomalar deb ataladi. 
Aksiomalar asosida mantiqiy fikrlash yo‘li bilan boshqa xossalar 
keltirib chiqariladi.
Isbotlangan xossalardan muhimlari yoki biror xususiyati bilan 
diqqatga sazovorlari teorema degan "sharaf"ga muyassar bo‘ladi. 
Umar Hayyom
N.I.Lobachevskiy
Yanosh Boyayi
F.Gauss

140
Shuning uchun ham teoremalar isbotiga alohida e’tibor qaratiladi — u yoki bu sabab 
isbotga yanglish mulohaza kirib qolmasligi lozim.
Qadimgi yunon olimi Yevklid geometriyadagi xossalarning aksiomasini aksiomaga, 
teoremasini teoremaga ajratib chiqishga bel bog‘laydi. Buning asosiy sababi — bir 
matematik A xossani aksioma qilib olib, undan B xossani keltirib chiqargan bo‘lsa, boshqa 
bir matematik B xossaga aksioma sifatida qarab, A xossani isbotlar edi. Natijada qaysi 
xossa aksiomayu, qaysi biri teorema — aralash-quralash bo‘lib ketgan edi.
Yevklid o‘z tadqiqotini yakunlab, "Negizlar" degan asar yozadi. Bu asar asosan 
geometriyaga bag‘ishlangan bo‘lib, unda nuqta, to‘g‘ri chiziq kabi tushunchalar 
boshlang‘ich sifatida olingan, geometriyaning boshqa tushunchalari esa ular orqali 
ta’riflangan. Geometrik tushunchalar orqali esa shakllarning xossalari bayon qilinadi, 
albatta. Yevklid ana shunday xossalardan ba’zilarini isbotsiz, ya’ni aksioma sifatida qabul 
qiladi va ulardan qat’iy mantiqiy mushohada yo‘li bilan, tartib bilan uning davrigacha 
aniqlangan boshqa xossalarning isbotini beradi.
"Negizlarda"da bayon qilingan bu mantiqiy mukammallik uni juda mashhur qilib 
yuboradi. Asar uni o‘qib-o‘rgangan har bir kishini mukammalligi bilan o‘ziga shaydo 
qilgan. Shu bois u qariyb ikki ming yil davomida ham geometriyadan darslik vazifasini 
o‘tagan, ham boshqa olimlar uchun namuna bo‘lib xizmat qilgan.
Tarixda Yevklidning "Negizlar" asariga tanqidiy yondoshib, uning nuqsonlarini top-
gan olimlar ham bo‘lgan. Masalan ... olimi Pash geometriyaga mana bunday aksioma 
qo‘shmasa bo‘lmasligini asoslagan: agar to‘g‘ri chiziq uchburchakning bir tomonini kesib 
o‘tsa, u uchburchakning yana bir tomonini albatta kesadi.
Ayniqsa Yevklidning "5-postulat" 
deb atalgan aksiomasi juda ko‘p e’tiroz 
tug‘dirgan. U shunday ta’riflanadi (biz 
biroz ixchamlab bayon qilamiz): tekis-
likdagi ikki to‘g‘ri chiziqni uchinchi bir 
to‘g‘ri chiziq kesib o‘tsin va bunda hosil 
bo‘lgan bir tomonli burchaklar yig‘indisi 
yoyiq burchak, ya’ni 180°dan kichik 
bo‘lsin. U holda berilgan ikki to‘g‘ri chiziq 
o‘zaro kesishadi (1-rasm).
"Nahotki bu xossani isbotlab bo‘lmasa?" — ajablanishgan olimlar. Va yeng shimarib, 
isbotini izlashga tushib ketganlar. Isbotni "topganlar" ham ko‘p bo‘lgan, ammo faqat ...
Diqqat qilinsa, topilgan isbotlarning barchasida mantiqiy xatolik chiqavergan. 
Masalan, 5-postulatning bir isboti ma’lum teoremaga borib taqalar ekan. lekin bu 
teoremaning isboti aslida o‘sha 5-postulatdan keltirib chiqariladi. Bunaqa mulohaza 
xato bo‘lib, u "mantiqiy xalqa" deb ataladi.
4
a
b
c
O

141
Xullas, bir olim Yevklidning 5-postulatini isbotini topdim deb kitob yozsa, uning izdoshi 
kitobda "mantiqiy xalqa" borligini payqab, boshqa isbot izlashga kirishgan.
Bunda asosan quyidagicha fikr yuritilgan. Faraz qilaylik, 5-postulat noto‘g‘ri bo‘lsin. 
So‘ng bu farazga asoslanib mulohaza yuritamiz — yangi xossalarni keltirib chiqaramiz, 
ulardan yana yangilarini hosil qilamiz va hokazo, bir joyga borganda "noto‘g‘riligi ochiq-
oydin" xossaga yetib kelamiz. Masalan, agar 5-postulatni noto‘g‘ri deb faraz qilsak, 
"burchaklari mos ravishda teng uchburchaklar teng bo‘ladi" degan xulosaga kelib, "bu 
esa ziddiyatdir, demak, teskarisini faraz qilish usuliga muvofiq, 5-postulat isbotlandi", 
deya hukm chiqarishimiz mumkin edi. Bunday qarasa, mulohaza to‘g‘riga o‘xshaydi — 
axir burchaklari teng, ammo o‘zaro teng bo‘lmagan uchburchaklar borligiga kim ham 
shubha qiladi? Lekin gap shubhalanishda emas, qat’iy isbotda. Haqiqatda esa bunday 
burchaklarning mavjudligi 5-postulatga asoslanar ekan.
Matematikada unisi bunisidan, bunisi esa unisidan kelib chiqadigan tasdiqlar o‘zaro 
tengkuchli deb ataladi. Asrlar davomidagi izlanishlar 5-postulatga tengkuchli juda ko‘p 
xossalar yig‘ilib qoladi. Masalan, ruboiylari bilan dong taratgan O‘rta Osiyolik matematik 
Umar Hayyom 
A
 va 
B
 burchaklari to‘g‘ri, 
AD
 va 
BC
 tomonlari teng to‘rtburchakni qaraydi 
va uning 
C
 va 
D
 burchaklarini o‘rganadi. Dastavval u 
∠
C
=
∠
D
 bo‘lishini isbotlaydi. So‘ng 
bu ikki burchak ham to‘g‘ri ekanligini isbotlashni niyat qiladi. Shu maqsadda 
∠
C
 va 
∠
D
 
burchaklar to‘g‘ri burchakdan katta bo‘lsin deb faraz qilib, qiynalmay ziddiyat hosil qiladi. 
So‘ng, ular to‘g‘ri burchakdan kichik bo‘lsin deb faraz qilib, ziddiyat keltirib chiqarishga 
undaydi. Ammo Umar Hayyom uzoq mulohaza yuritib ham aniq ziddiyatga kelmaydi. 
Keyinchalik Umar Hayyom mulozahalarini italiyalik olim Sakkeri takrorlagan. 
AB
 = 
CD
. 
∠
A
=
∠
B
= 90° bo‘lgan 
ABCD
 to‘rtburchakni Sakkeri to‘rtburchagi deb ataganlar.
Qarangki, uchburchak burchaklarining yig‘indisi yoyiq burchakdan kichik, degan 
tasdiq ham 5-postulatga teng kuchli ekan.
5-postulatga tengkuchli tasdiqlar orasida mana bu xossa ham bor edi: Tekislikda 
ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq berilgan va undan tashqarida istalgan bir nuqta olingan bo‘lsin. U 
holda olingan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallel faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish 
mumkin.
Bu tasdiq parallellik aksiomasi deyiladi va nisbatan ixchamligi tufayli ko‘pincha 
geometriyada u Yevklidning 5-postulati o‘rniga olinadi.
5-postulatni isbotlashga urinishlar XIX asrga kelib ikki muhim natija bilan yakunlandi. 
Birinchidan, Yevklidning negizlarida sanalgan aksiomalardan bir nechtasining isboti 
topilib, teoremalar qatoriga o‘tkazildi va aksincha. Pash aksiomasi singari Yevklid hisobga 
olmagan yana bir necha aksioma qo‘shilishi lozimligi oydinlashdi.
XIX asr oxirida nemis matematigi D. Gilbert Yevklid boshlagan ishni davom ettirib, 
geometriyaning boshlang‘ich tushunchalari va aksiomalarining mukammal ro‘yxatini 
tuzdi.

142
Qobiliyatli o‘quvchilar uchun qo‘shimcha topshiriq.
1. «Geometriya –7» elektron darsligining tegishli bobi sahifalari bilan tanishib chiqing. 
Mazkur bobga kiritilgan mavzularga oid interaktiv animatsiya ilovalarida berilgan 
topshiriqlarni bajarib va test topshiriqlarini yechib o‘z bilimingizni sinab ko‘ring.
2. Shuningdek, 10-betda keltirilgan internet resurslaridan mazkur bobga tegishli 
materiallarni toping va o‘rganib chiqing.
1.  Qanday tasdiqlar o‘zaro teng kuchli deyiladi?
2.  Parallellik aksiomasiga teng kuchli bo‘lgan jumlalarga misol keltiring.
3.  Darslikda qabul qilingan 16-aksiomani «Uchburchak ichki burchaklarining yig‘indisi 
180° ga teng» degan jumlaga teng kuchli ekanligini isbotlang.
4.  5-postulatni isbotlashga urunishlar qanday ikki natijaga olib kelgan?
5.  Lobachevskiy geometriyasida Yevklid geometriyasidagidan farqli qanday xossalarga 
duch kelish mumkin?
Savol, masala va topshiriqlar
Ikkinchidan, N. Lobachevskiy, F. Gauss, Ya. Bolyayi kabi matematiklar 5-postulat 
(yoki baribir, parallellik aksiomasi) o‘rniga "to‘g‘ri chiziqqa undan tashqaridagi nuqtadan 
kamida ikkita to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin" degan aksioma qabul qilinsa, xuddi 
Yevklidning "Negizlar"ida bayon qilingan geometriya kabi "yangi geometriya" vujudga 
kelishini ko‘rsatdilar. U hozir Lobachevskiy geometriyasi deb ataladi. Bunday aksioma 
g‘alatiroq bo‘lgani uchun, Lobachevskiy geometriyasida ham Yevklidnikidan farqli 
xossalar o‘rinli bo‘ladi. Masalan, Hayyom-Sakkeri to‘rtburchagida 
C
 va 
D
 burchaklar 
o‘tkir bo‘ladi, uchburchak burchaklarining yig‘indisi doim yoyiq burchakdan kichik bo‘ladi 
va hokazo.
Albatta, maktab o‘quvchilarini geometriya bilan nafaqat Gilbert aksiomalari 
asosida, hatto Yevklid bayon qilgan tarzda ham barcha tafsilotlari bilan tanishtirish, 
jumladan, barcha aksiomalarni sanab chiqish maqsadga muvofiq bo‘lmaydi. Shuning 
uchun bu darslikda planimetriyaning aksiomatik qurilishi ancha soddalashtirib bayon 
qilindi. Shunda qaramay, u geometriya deb ataladigan fanning "tarxi" ham, "binosi" 
ham naqadar mukammalligini his etish — geometriya aksiomalar, teoremalar va isbot 
tushunchasiga asoslanishini bilish uchun kifoyadir. Bunday bilim esa tafakkuringiz va 
fikrlash qobiliyatingizni o‘stirishda juda-juda foydali.