Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

TAKRORLASH
VI BOB
Bu bobni o‘rganib chiqqach quyidagi bilim va amaliy ko‘nikmalarga 
ega bo‘lasiz:
Bilimlar:
—  Geometrik masalalarni yechish bosqichlarini bilish;
—  geometrik masalalar turlarini farqlay olish;
—  masalalar yechishda uchraydigan ba’zi xatoliklarni bilish.
Ko‘nikmalar:
—  Geometrik masalalarni turlarga ajratish va yechish bosqichlariga ko‘ra 
faoliyatni tashkil qilish;
—  masalalar  yechishda uchraydigan xatolarni oldini olish;
—  planimetriya bo‘yicha yillik yakuniy nazorat ishiga tayyor bo‘lish.
A
B
C
M
N
L
60°
60°
60°

144
Geometrik masalalarni yechishda quyidagilarga e’tibor berish kerak:
1.  Geometriyaning asosiy tushunchalari, ularning xossalarini yaxshi bilish va yodda 
tutish;
2.  Turli geometrik shakllarning xossalari haqidagi teoremalarni isbotlash usullarini 
egallash;
3.  Berilgan geometrik masalaning mohiyatini tushinib yetish;
Odatda geometrik masalalarni yechish jarayoni quyidagi bosqichlardan iborat 
bo‘ladi:
1-bosqich.  Masalani tushunish. Bu bosqichda masalaning sharti va xulosasi  
alohida ajratib olinadi. Nimalar berilgan, nimani topish, isbotlash yoki yasash lozimligi 
aniqlanadi. Masalaga oid chizma chiziladi. Chizmaning katta va aniq bo‘lishi maqsadga 
muvofiq. Berilgan barcha ma’lumotlar chizmada belgilanadi.
2-bosqich.  Rejalashtirish. Bu bosqichda masalani yechish usuli tanlanadi. Uni 
qo‘llash uchun qanday qo‘shimcha ma’lumotlar zarurligi aniqlanadi. Yordamchi shakllar 
chiziladi.
3-bosqich. Yechish. Bu bosqichda masala bevosita, berilgan reja asosida 
yechiladi.
4-booqich.  Tekshirish. Bu bosqichda masalaning topilgan yechimi bevosita 
tekshiriladi. Yechish jarayoniga tanqidiy nazar tashlanadi. Agar xato aniqlansa, u 
tuzatiladi. Tuzatishning imkoni bo‘lmasa, masalani yechishning boshlang‘ich bosqichiga 
qaytiladi va hamma ish yangidan boshlanadi.
Masala yechishni o‘rganish uchun ko‘proq masala yechish kerak.
Masalaga oid chizmani to‘g‘ri chizish – masalani 
yarmini yechish demakdir.
Geometrik masalalar qo‘yilishi va mohiyatiga qarab uch xil turda bo‘lishi mumkin:
1.  Hisoblashga doir masalalar
2.  Isbotlashga doir masalalar
3.  Yasashga doir masalalar
Geometrik masalalar yechish faqat qandaydir geometrik shaklning xossasini 
o‘rganishdan iborat faoliyat emas, albatta. U to‘g‘ri fikrlash, mantiqiy mulohaza yuritish 
va ular asosida to‘g‘ri va oqilona qarorlar qabul qilish, xulosa chiqarish ko‘nikma va 
60
Geometrik masalalarni yechish

145
malakalarini ham shakllantiradi. Bunday ko‘nikma va malakalar nafaqat matematikada, 
balki kundalik turmushda uchraydigan muammolarni hal qilishda ham qo‘l keladi.
Albatta masalani yechish - bu faqat to‘gri javobni topish degani emas. Masalalar 
yechish davomida ma’lum xossalarni, teoremalarni va ularning natijalarini qo‘llay olish, 
turli usullardan foydalana olishni bilish zarur bo‘ladi.
Quyidagi masalaning yechilish jarayonini kuzataylik.
Masala.
  Uchlari teng tomonli uchburchak tomonlarining o‘rtalari bo‘lgan 
uchburchakning teng tomonli ekanligini isbotlang. 
1. Masalani tushunish bosqichi.
Masala shartlari asosida chizma chizib olamiz (1-rasm).
2. Rejalashtirish bosqichi. Teng tomonli uchburchakning xossasidan va 
uchburchakning TBT alomatidan foydalanamiz.
3.  Yechish bosqichi. Shartga ko‘ra,
LA
=
AK
=
KB
=
BN
=
NC
=
CL
 va 
∠
A
=
∠
B
=
∠
C
= 60°. Unda 
Δ
LAK
 ning 
AL
, 
AK
 
tomonlari va 
A
 burchagi 
Δ
KBN
 ning 
BK
, 
BN
 tomonlari va 
B
 burchagiga hamda 
Δ
NCL
 
ning 
CN
, 
CL
 tomonlari va 
C
 burchagiga mos ravishda teng. 
Demak, 
Δ
LAK
=
Δ
KBN
=
ΔNCL
. U holda bu uchburchaklarning uchinchi tomonlari 
ham o‘zaro teng bo‘ladi: 
KL
=
KN
=
NL
.
Demak, 
Δ
KNL
 — teng tomonli.
Δ
ABC
 — teng tomonli, 
M
 — 
AB
 tomon o‘rtasi, 
N
 — 
BC
 tomon o‘rtasi, 
L — AC
 tomon o‘rtasi
Δ
MNL
 — teng 
tomonli
1
A
B
C
K
N
L
60°
60°
60°
30°
M
B
D
N
2
4. Tekshirish bosqichi.
Masalaning yechilish jarayonini yana bir bor ko‘zdan 
kechirib, unda har bir mulohaza mantiqan to‘g‘ri olib 
borilganini tekshiramiz.
Bu masalani boshqa usulda ham yechish mumkin. 
Bunda uchidagi burchagi 60° bo‘lgan teng yonli 
uchburchakning xossasidan foydalanamiz. 
Δ
KBN
 teng 
yonli uchburchakning 
BD
 balandligini tushiramiz (2-rasm). 
BD
 bissektrisa ham bo‘lgani uchun 
∠
KBD
= 60°/2 = 30° 
va 
∠
BKD
=
∠
BND
= 90° – 30° = 60° bo‘ladi. 
Demak, 
Δ
KBN
 teng tomonli uchburchak ekan. Shu 
tariqa 
Δ
KAL
 va 
Δ
NCL
 lar ham teng tomonli uchburchak-
lar ekanligi aniqlanadi va 
BK = KN = NL = LN
 ekanligi 

146
Hisolashga doir masalalar arifmetik va algebraik masalalarga o‘xshab ketadi. Turli 
geometrik formulalar yordamida, berilgan sonli kattaliklar asosida ketma-ket hisob kitob 
ishlari bajariladi va izlanayotgan kattalik topiladi.
Bu masalalarda ko‘pincha chizmani to‘g‘ri chizib olish va kerakli belgilashlarni kiritish 
ishni ancha osonlashtiradi.
1-masala.
  Qo‘shni burchaklardan birining bissektrisasi ikkinchi burchakning 
tomonlaridan biri bilan 20° li burchak hosil qiladi. Shu burchaklarni toping.
Yechilishi.
  Masala shartini chizmada tasvirlaymiz 
(1-rasm). Bundan 
OE
 bissektrisa o‘tkir burchakning 
bissektrisasi ekanligi ma’lum bo‘ladi. Demak, 
∠
BOC
= 2
⋅ 20°= 40°, ∠
AOB
=180°– 40° =140° bo‘ladi.
2-masala.
 
ABC
 to‘g‘ri burchakli uchburchakda 
∠
C
 – to‘g‘ri burchak, 
A
 uchidagi 
tashqi burchak 120° ga teng. Agar 
AC
+
AB
= 18 sm bo‘lsa, uchburchakning 
gipotenuzasini toping.
Yechilishi.
  Masala shartiga binoan chizmani 
tasvirlaymiz (2-rasm). Uchburchak tashqi burchagining 
ta’rifidan, 
∠
A
= 180°- 120° = 60°, 
∠
B
= 90° -
∠
A
= 30° 
ekanligini aniqlaymiz. 
AC
=
b
, 
AB
=
c
 bo‘lsin. U holda 
b
+
c
= 18.  O‘tkir burchagi 30° ga teng bo‘lgan to‘g‘ri 
burchakli uchburchakning xossasiga ko‘ra, 
c
= 2
b
 
3-masala.
 
ABC
 uchburchakda 
AB
=1, 
A
 burchakning bissektrisasi 
B
 uchdan 
tushirilgan medianaga perpendikulyar. Agar 
BC
 tomonning uzunligi butun son 
bilan ifodalansa, uchburchakning perimetrini toping.
1
A
O
C
E
B
20°
2
A
C
B
60°
30°
120°
b
c
ma’lum bo‘ladi. Bundan esa 
Δ
KNL
 ning nafaqat teng tomonli uchburchak, balki, 
Δ
KNL
=
Δ
KBN
=
Δ
NCL
=
Δ
KAL
 ekanligi ham ma’lum bo‘ladi.
61
Hisoblashga doir masalalar
bo‘ladi. Bundan 
b
+
c
=
b
+ 2
b
= 18, ya’ni 
b
= 6. Unda 
c
= 12 ekanligi ma’lum bo‘ladi.  
Javob: 
12.

147
1. 
AB
 kesma uzunliklari 1: 2 : 3 : 4 kabi nisbatdagi kesmalarga (shu ketma-ketlikda) 
ajratilgan. Agar chetki kesmalarning o‘rtalari orasidagi masofa 15 
sm
 ga teng bo‘lsa, 
AB
 kesmaning uzunligini toping.
2. 
∠
ABC
= 160° bo‘lgan burchakning uchidan shu burchak tomonlari orasida yotuvchi 
BO
 va 
BE
 nurlar chiqarilgan. Agar 
BO
 nur berilgan 
burchakni teng ikkiga, 
BE
 nur esa 3 : 5 kabi nisbatta 
bo‘lsa, 
OBE
 burchakni toping.
3. 
AOB
 burchak 
OC
 nur orqali biri ikkinchisidan 30° 
ga katta bo‘lgan ikkita burchakka ajratilgan. Berilgan 
burchak bissektrisasi bilan 
OC
 nur orasidagi bur-
chakni toping. 
4.  Teng yonli uchburchakning asosidagi burchagi 
30° ga teng. Shu uchburchakning yon tomoni va 
ikkinchi yon tomoniga tushirilgan balandligi orasidagi 
burchakni toping. 
5.  Uchburchakning bir tashqi burchagi 100°, unga 
qo‘shni bo‘lmagan burchaklar nisbati 2:3 kabi. 
Uchburchakning burchaklarini toping.
6. 
A
, 
B
, 
C
, 
D
 nuqtalar ko‘rsatilgan tartibda bir to‘g‘ri 
chiziqda yotadi va 
AB
=
BC
= 1, 
CD
= 2. 
K
 nuqta 
BC
 kesmada shunday joylashganki, 
BC
 va 
AD
 
kesmalarning uzunliklarini bir xil nisbatda bo‘ladi: 
BK : KC = AK : KD
. Bu nisbatlarni toping.
Yechilishi.
 Masala shartini chizmada tasvirlaymiz (3-rasm): 
AK
=
KC
. 
AN
⊥
BK
. 
Δ
ANB
=
Δ
ANK
 ekanligini aniqlaymiz, chunki 
AN
 katet umumiy va bittadan burchaklari 
teng (katet va unga yopishgan o‘tkir burchak bo‘yicha). Bundan esa 
AB
=
AK
=
KC
= 1, 
ya’ni 
AC
= 1 + 1= 2 ekanligi ma’lum bo‘ladi. 
BC
=
x
 – butun son, uchburchak tengsizligiga ko‘ra 
2 + 1>
x
  va 
x
+ 1> 2,  yoki 
x
< 3  va 
x
> 1, ya’ni l <
x
< 3 
bo‘lishi kerak. 1 bilan 3 ning orasida bitta butun son 
bor: 2. Demak. 
BC
= 2 va P
ABC
= 1 + 2 + 2 = 5. 
Javob:
 5
Savol, masala va topshiriqlar.
3
A
C
B
N
M
4
A
C
B
D
E
F
O
5
B
C
A
D
x
α
α

148
7.  Uchburchak ikkita burchagining bissektrisalari kesishgandan hosil bo‘lgan burchak 
128° ga teng.Uchburchakning uchinchi burchagini toping.
8.  Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi 96° ga teng. Asosidagi burchaklarning 
bissektrisalari kesishishidan hosil bo‘lgan o‘tkir burchakni toping.
9.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagidan bissektrisa va balandlik 
6
B
C
A
D
21°
x
Isbotlashga doir masalalar
Isbotlashga doir masalalar o‘ziga xos kichkina teoremalardir. Ularni yechish masalada 
keltirilgan tasdiqni isbotlashdan iborat bo‘ladi. Misol tariqasida quyidagi masalalarni 
qaraylik.
1-masala.
 Qo‘shni burchaklarning bissektrisalari o‘zaro perpendikular ekan-ligini 
isbotlang.
2-masala.
  2.a-rasmda tasvirlangan 
ABCD
  to‘rtburchakda 
∠
D
=
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
 
ekanligini isbotlang.
62
Isboti.
 
OO
1
 va 
OO
2
 bissektrisalar ajratgan bur-
chaklarni mos ravishda (1-rasmda tasvirlangandek) 
α  va  β deb belgilaymiz. U holda, 2
α
+ 2
β
= 180°, 
yoki 
α
+
β
= 90°, ya’ni 
∠
O
1
OO
2
=
α
+
β
= 90°. Demak 
OO
1
⊥
OO
2
. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
∠
AOC
  va 
∠
BOC
 — qo‘shni burchaklar, 
OO
1
 va 
OO
2
 – bissektrisalar (1-rasm).
OO
1
⊥
OO
2
.
1
B
A
O
O
2
O
1
C
α
α
β
β
chiqarilgan bo‘lib, ular orasidagi burchak 24° 
ga teng. Uchburchakning qolgan burchaklarini 
toping.
10. Agar  4-rasmda 
AB = BC
, 
∠
ABC
= 50°, 
AE
 va             
FC
 — bissektrisalar bo‘lsa, 
∠
AOB
= ?, 
∠
EOC
= ?
11. Agar 5-rasmda 
AB=AC
, 
AD=DC
 bo‘lsa, 
x
=?
12. Agar 6-rasmda 
AB=AC
, 
BD
=
BC
 bo‘lsa, 
x
=?

149
1.  Uchburchakning bir burchagi o‘ziga qo‘shni bo‘lmagan tashqi burchaklarning 
ayirmasiga teng. Bu uchburchakning to‘g‘ri burchakli uchburchak ekanligini 
isbotlang.
2.  Bir burchagi 150° bo‘lgan teng yonli uchburchakning asosidagi uchlaridan tushiril-
gan balandliklari teng bo‘lishini isbotlang.
3.  Teng tomonli uchburchakning medianalari kesishish nuqtasida 2 : 1 kabi nisbatda 
bo‘linishini isbotlang.
4.  Teng yonli uchburchakning uchidagi tashqi burchagi bissektrisasi uchburchak asosiga 
parallel bo‘lishini isbotlang.
5.  4-masalaga teskari teoremani ifodalang va uni isbotlang.
6.  Teng tomonli uchburchakning ixtiyoriy ikkita medianasi 60° li burchak ostida 
kesishishini isbotlang.
7.  Uchburchaklarning tengligini ularning ikki tomoni va uchinchi tomonga tushirilgan 
medianasi bo‘yicha isbotlang.
8. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarda 
BM
 va 
B
1
M
1
 medianalar o‘tkazilgan. Agar 
AB
=
A
1
B
1
, 
AC
=
A
1
C
1
 va 
BM
=
B
1
M
1
 bo‘lsa, 
Δ
ABC
=
Δ
A
1
B
1
C
1
 ekanligini isbotlang.
9. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
  uchburchaklarda 
AD
, 
A
1
D
1
– bissektrisalar. Agar 
AB
=
A
1
B
1
, 
BD
=
B
1
D
1
 va 
AD
=
A
1
D
1
 bo‘lsa, 
Δ
ABC
=
Δ
A
1
B
1
C
1
 
ekanligini ko‘rsating.
Savol, masala va topshiriqlar
Isboti.
 
AD
  to‘g‘ri chiziqning 
BC
  tomon bilan 
kesishgan nuqtasini 
E
  bilan belgilaymiz (
AD
 
tomonni davom ettiramiz) va burchaklar uchun 
zarur belgilashlarni kiritamiz (2.b-rasm). Ma’lumki 
α
+
β
+
x
= 180° va 
y
+
z
+
γ
= 180°. Bu tengliklarni qo‘shib, 
α
+
β
+
γ
+
x
+
y
+
z
= 360°  tenglikka ega bo‘lamiz. 
Qo‘shni burchakning xossasiga ko‘ra, 
x
+
y
= 180° 
b o ‘ l g a n i   u c h u n   α + β +
γ
+ 1 8 0 ° +
z
= 3 6 0 ° ,   y o k i 
α
+
β
+
γ
= 180°-
z
=
∠
D
, ya’ni
 
∠
D
=
α
+
β
+
γ
=
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
 bo‘ladi. 
Tenglik isbotlandi.
Yuqoridagi ikki masalani tayyor chizmaga tayanib 
ishladik, 2-masalada qo‘shimcha yasash va zarur 
belgilashlarni amalga oshirdik, bu esa masalani oson 
yechishimizga yordam berdi.
2
B
A
C
D
B
A
C
D
E
α
β
x
y
z
γ
a)
b)

150
4
A
B
C
α
α
β
β
δ δ
γ γ
5
α
β
γ
10. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarda 
BH
  va 
B
1
H
1
 
balandliklar o‘tkazilgan. Agar 
∠
A
=
∠
A
1
, 
∠
B
=
∠
B
1
 
va 
BH
=
B
1
H
1
  bo‘lsa, 
Δ
ABC
=
Δ
A
1
B
1
C
1
 bo‘lishini 
isbotlang. 
11. Uchburchakning ikkita balandligi teng bo‘lsa, uning 
teng yonli uchburchak ekanligini isbotlang.
12. 4-rasmda 
α
 + 
γ
 = 
β
 + 
δ
 = 90° ekanligini isbotlang. 
13. 5-rasmda 
α
 < 
β
 < 
γ
 ekanligini isbotlang ekanligini 
isbotlang.
    Takrorlashga doir masalalar
63-64
1.  Ikki parallel to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan almashinuvchi burchaklarning 
bissektrisalari parallel bo‘lishini isbotlang.
2.  Uchburchakning istalgan bir tomoni uning qolgan ikki tomoni ayirmasidan katta 
bo‘lishini isbotlang. 
3. Uchburchakning 
α
, 
β
 va γ burchaklari uchun 
α
<
β
+
γ
,
  β
<
α
+
γ
, 
γ
<
α
+
β
 
munosabatlar o‘rinli bo‘lsa,  bu qanday uchburchak bo‘ladi?
4.  Berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi aylana yasang. Masala nechta yechimga ega.
5. 
ABC
  uchburchakning 
AA
1
 
va 
BB
1
 bissektrisalari 
O
 nuqtada kesishadi. Agar                   
a) 
∠
AOB
= 136°;  b) 
∠
AOB
= 111° bo‘lsa, 
ACB
 burchakni toping.
6.  1-rasmda tasvirlangan kubda 
BD
= 6 bo‘lsa, 
BE
= ?,  
DE
= ?, 
AC
= ?, ∠
BED
= ?
7. Perimetri 
42 
sm
 bo‘lgan 
ABC
 uchburchakning medianasi uni perimetri 33 
sm
 va   
35 
sm
 bo‘lgan ikkita uchburchakka ajratadi. Mediananing uzunligini toping.
8.  To‘g‘ri burchakli uchburchak o‘tkir burchaklarining bissektrisalari qanday burchak 
ostida kesishadi?
9. 2-rasmda 
∠1 = ∠2 ekanligini isbotlang.
10. 
MN
 va 
NM
 nurlarining umumiy qismi qanday shakl bo‘ladi?
11. 
A
, 
B
 va 
C
 nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotadi. Agar  
AB 
= 2 
sm
, 
BC
 = 3 
sm
 va 
AC
 = 
= 5 
sm
 bo‘lsa, 
B
 nuqta 
AC 
kesmaga tegishli bo‘ladimi? Javobingizni asoslang.
12. 
A
 nuqta 
BC
 to‘g‘ri chiziqning 
B
 va 
C
 nuqtalari orasida yotadi. Agar 
BC 
= 15 
sm
, 
AC
 
kesma esa 
AB
 kesmadan 3 
sm
 ga qisqa bo‘lsa, 
AB
 kesmaning uzunligini toping.
13.  60° va 30° li burchaklar yasang. 

151
1
A
A
E
D
D
C
C
B
B
2
α
α
β
β
1
2
14. Aylananing o‘zaro perpendikular diametrlarini ya-
sang.
15.  Qo‘shni burchakardan biri ikkinchisidan 4 marta 
kichik bo‘lsa, shu burchaklardan kattasini toping. 
16.  Ikki to‘g‘ri chiziqning kesishishidan hosil bo‘lgan 
burchaklarning nisbati 7 : 3 ga teng. Shu bur-
chaklardan kichigini toping.
17. 
A
,
 B
 va 
C
 nuqtalari bir to‘g‘ri chiziqda yotadi. 
BC
 
kesmaning uzunligi 
AC
 kesmaning uzunligidan 
3 marta katta, 
AB
 kesmaning uzunligi esa 
BC 
uzunligidan 3,6 
sm
 ga qisqa. 
AC
 kesmaning 
uzunligini toping.
18.  Ikki to‘g‘ri chiziqni uchinchi to‘g‘ri chiziq kesganda 
tashqi bir tomonli burchaklarning yig‘indisi 180° ga 
teng bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro parallel 
ekanligini isbotlang.
19.  Ikki parallel to‘g‘ri chiziqni uchinchi to‘g‘ri chiziq 
kesganda hosil bo‘lgan burchaklardan biri 55° ga 
teng. Qolgan burchaklarini toping.
    Bilimingizni sinab ko‘ring