Gödel teoremalari Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 1

Gödel teoremalari

Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 1

Batafsil taqdimot va adabiyotlarga havolalar uchun qarang:

1. Zyuzkov VM Matematik mantiqqa kirish: darslik.

Tomsk: Tomsk davlat universiteti nashriyoti,

2017, 258 p. Elektron resurs: URL:

http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/manager/Repository/vtls:000581547

2. Zyuzkov VM Matematik mantiqqa kirish: darslik.

2-nashr, Vah. va qo'shing. SPb.: "Lan" nashriyoti, 2018 y., 268 b.

Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 2

Kurt Gödel (1)

• Kurt Gödel (1896-1978) - avstriyalik

mantiqchi, matematik va faylasuf

matematika

Rassel tomonidan yozilgan Principia Mathematica

va Uaytxed, qat'iyan oqlangan

mantiqqa asoslangan matematik, ammo

kutilmagan hodisalar topildi

mantiqning o'zi.

Kurt Gödel buni 1931 yilda isbotlagan

cheksiz to'plam

matematik bayonotlar

haqiqat, lekin mumkin emas

aksiomalar asosida isbotlangan

Matematikaning printsipi.

U buni sinab ko'rdi

matematikani kamaytirish

aksiomalarning izchil tizimi

xuddi shu natijani beradi:

cheksiz narsa bor

ko'plab matematik haqiqatlar,

hal qilinmaydigan deb nomlangan

bayonotlar

bu bilan tasdiqlanmaydi

tizimlar.

Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 3

Kurt Gödel (2)

Birinchi natija teoremasi deb nomlangan darhol

Gödelni XX asrning buyuk matematiklari qatoriga nomzod qildi.

Ikkinchi natija ikkinchi to'liqsizlik teoremasi yoki teoremasi

izchillik, - har qanday narsaning izchilligini tasdiqlaydi

aksiomatik nazariyani yordamida isbotlab bo'lmaydi

nazariya.

Aslida Gödelning birinchi to'liqsizligi teoremasi umidlarni ko'mdi

Leybnits mumkin bo'lgan mantiqiy usul mavjudligi to'g'risida

barcha ilmiy savollarga javobni hisoblang.

Mantiq, hech bo'lmaganda hozirgi shaklida etarli emas

har qanday matematik haqiqatni, ayniqsa har qanday haqiqatni isbotlash

bizning dunyomiz.

Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 4

Rasmiy aksiomatik nazariyalar (1)

• Rasmiy aksiomatik nazariyalarni yaratish faqat qachon bo'lishi mumkin

yozish uchun rasmiy tillardan foydalanish

bayonotlar va dalillarning o'zi. Odatda shu maqsadda,

birinchi darajali tillardan foydalaniladi.

• Lekin har qanday holatda ham rasmiy sintaksis

to'g'ri iboralar qurilishini tavsiflovchi til (ularga)

odatda atamalar, formulalar, dalillarga murojaat qiling).

• Odatda, rasmiy til ham semantik bilan ta'minlangan

tizim yoki deduktiv tizim yoki ikkalasi.

• Har qanday tilning semantik tizimi yoki oddiygina semantikasi

ushbu tilning barcha formulalari orasida e'lon qilinganlarni ajratib turadi

rost; ular I ning qadriyatlari ham deyishadi.

• Bu odatda to'g'ri talqin qilish orqali amalga oshiriladi

til iboralari.

Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 5

Rasmiy aksiomatik nazariyalar (2)

Har qanday tilning deduktiv tizimi yoki oddiygina deduksiyasi

barcha formulalar orasida isbotlanadigan deb e'lon qilinganlarni ajratib turadi.

Odatda provitativlik aksiomalar va qoidalar yordamida induktiv ravishda beriladi

chiqish:

Ba'zi formulalar aksioma sifatida e'lon qilinadi.

Har bir pul olish qoidasi bir yoki bir nechtasiga taalluqlidir

formulalar va ushbu formulalardan qanday qilib yangisini olish mumkinligini ko'rsatadi

formula.

Barcha aksiomalar va formulalar

xulosa qilish qoidalari yordamida tasdiqlanadiganlardan olinishi mumkin.

Aksioma bo'lmagan isbotlanadigan formulalar deyiladi

teoremalar.

Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 6

Rasmiy aksiomatik nazariyalar (3)

• deduktiv tizim rasmiy tarzda o'rnatiladi

dalillar mavjud bo'lishi kerak:

1) berilgan ketma-ketlikni aniqlash algoritmi

rasmiy dalil bilan formulalar;

2) berilgan rasmiy dalilga muvofiq topadigan algoritm

isbotlanadigan formula.

• Agar aksiomatik nazariya semantik va deduktivni kiritsa

tizim, keyin bu isbotlangan formulalar shunday amalga oshiriladi

rost edi. Bunday holda chegirma to'g'ri deb aytiladi

semantikaga oid.

 Model nazariyasi - bu talqin

nazariyaning barcha teoremalari (buning uchun barchasi kifoya qiladi

nazariya aksiomalari).

Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 7

Birinchi tartib nazariyalari (1)

• Birinchi darajali nazariya - bu birinchi darajali tilga ega nazariya

joriy qilingan haqiqat xususiyatiga ega bo'lgan tartib. Aksiomalar

birinchi darajali nazariyalar T ikki sinfga bo'linadi: mantiqiy

aksiomalar (tenglik aksiomalari bilan birgalikda) va to'g'ri (yoki

mantiqsiz).

• Mantiqiy aksiomalar: T nazariyasining A, B va C formulalaridan qat'i nazar,

quyidagi formulalar T nazariyasining mantiqiy aksiomalaridir:

• A1

... A  (B  A).

• A2

... (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)).

• A3

... (B   A)  ((B  A)  B).

• A4

... x A (x)  A (t), bu erda A (t) T nazariyaning formulasi, t esa atama

nazariya T, x uchun A (x) uchun bepul.

• A5

... x (A  B (x))  (A   x B (x)), bu erda A tarkibida erkin mavjud emas

x o'zgaruvchining paydo bo'lishi.

Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 8

Birinchi tartib nazariyalari (2)

Tenglik aksiomalari:

• A6

... t1 = t1

;

• A7

... t1 = t2-t2 = t1

;

• A8

... t1 = t2 & t2 = t3-t1 = t3

;

• A9

... t1 = s1 &… & tn = sn-f (t1

,…, Tn

) = f