Hаdisənin bаş веrməsi (bаş веrməməsi) nювbəti sınаqlаrdа həmin hаdisənin bаş веrməsinə

_{hаdisənin bаş веrməsi (bаş веrməməsi) nювbəti sınаqlаrdа həmin hаdisənin bаş} веrməsinə təsir еtmir.

Аsılı оlmаyаn sınаqlаrı А hаdisəsi bаş веrənə qədər dаваm еtdirəк. Bу sınаqlаrın sаyını Х ilə işаrə еdəк. Аydındır кi, Х 0,1,2,... qiymətləri аlаn disкrеt təsаdüfü кəmiyyətdir. Х təsаdüfü кəmiyyətinin m qiymətini аlmаsı hadisəsinin еhtimаlını hеsаblаyаq.

Х=m оlmаsı üчün birinci m-1 sınаqdа А hаdisəsi bаş веrməməli, m- ci sınаqdа isə bаş веrməlidir. Sınаqlаr аsılı оlmаdığınа gюrə ахtаrılаn еhtimаl

P(Х=m)=(1-p)^m-1p

оlаr.

P(Х=m)=(1-p)^m-1p bərаbərliyi ilə веrilən еhtimаllаr чохlуğуnа p pаrаmеtrli həndəsi pаylаnmа dеyilir.

1.3.Hipеrhəndəsi pаylаnmа
Qutuda M sayda ağ, N  M sayda isə qara har vardır. Bəzi hallarda

məmulatın keyfiyyətini yoxladıqda o, sıradan çıxır.Məsələn,məhsulun keyfiyyətinə nəzarəti həyata keçirərkən nəzarət əməliyyatı nəticəsində məhsul satıh üçün yararsız hala dühür.Bu halda məmulatların hamısının deyil, onların müəyyən hissəsinin keyfiyyəti yoxlanılır.Tutaq ki, qutudan təsadüfü qaydada n har çıxarılmıhdır. Çıxarılan harlardan m sarın ağ har olması hadisəsinin ehtimalını

C

N
hesablayaq. N hardan n harı ⁿ üsulla seçmək olar.Deməli, mümkün halların sayı


N
Cⁿ -dir.Çıxarılan harlardan m harın ağ har olması hadisəsi( A ) üçün əlverihli

halların sayını tapaq. M ağ hardan m harı

^Cm üsulla,

N  M

qara hardan isə n - m

M
harı

_Cn m

üsulla seçmək olar.Onda əlverihli halların sayı

_Cm _Cnm

olar.Beləliklə,

N  M

klassik ehtimalın tərifinə görə axtarılan ehtimal

P A

M

N  M
_{ }  _Cm _Cn m


M N  M

C
n N

olar

_Ck _{ C}mk


C

m
h(k, N, n, m)  ^{n Nm}

N

_Ck _{ C}mk


C

m
iharə edək. h(k, N, n, m)  ^{n Nm}

N

bərabərliyi ilə verilən ehtimallar çoxluğuna

hiperhəndəsi paylanma deyilir.
2 .Birölçülü kəsilməz paylanmalar.

1. 
   Müntəzəm paylanma
   

a, b parçasında qiymət alan kəsilməz X təsadüfü kəmiyyətinin sıxlıq

funksiyası

^{0, x a, b}

f x  ^ ₁



^ , x a, b

b  a

şəklində olduqda müntəzəm paylanmaya malik təsadüfü kəmiyyət deyilir.

Müntəzəm paylanmaya malik təsadüfü kəmiyyətin x, x  intervalından qiymət alması x –dən asılı deyildir və parçanın  uzunluğu ilə mütənasibdir:

1


x


 

P x  X  x  x 

dt 

_x b  a b  a

X təsadüfü kəmiyyətinin paylanma funksiyası

^{0, x  a,}

^b  a


F x   ^{x  a} , a



_^{1, x  b}

x  b,

həkilindədir.

2. 
   Normal paylanma
   

Normal paylanma terminini ehtimal nəzəriyyəsinə К.Pirson daхil etmihdir. Bu terminlə yanahı, "Haus paylanması", "Haus qanunu" terminləri də ihlədilir.

_(xa)²

f (x; a) 

¹ _e 2²

 

x  ,

  0)

bərabərliyi ilə verilən funкsiyaya normal sıхlıq deyilir. Uyğun paylanma funкsiyasına isə normal paylanma funкsiyası deyilir.

F (x; a) 
a  0,  1 ^{olduqda :}

_{x }(ta)²


e
¹ _ 2² _dt



• 
  _x2
  

f (x;0;1) 

və
F (x;0;1) 

_e 2

_x _t2

_{ e} 2



Bu funksiyalara uyğun olaraq standart normal sıхlıq və standart normal paylanma funкsiyaları deyilir.

Paylanma funкsiyası

F (x; a) 

_{x }(ta)²


e
¹ _ 2² _dt


bərabərliyi ilə verilən

təsadüfi кəmiyyətə ^{a, 2 }

parametrli normal кəmiyyət deyilir və

X  N(a, ² )

кimi

iharə edilir.

X  N(0,1)

кəmiyyətinə standart normal кəmiyyət deyilir. Normal

paylanmanın və onun sıxlıq funksiyasının qrafiki həkil 1-də verilmihdir.

Həкil 1. Normal paylanma
Normal paylanmanın ahağıdakı xassələri vardır:

1) f (x; a; )  ¹ f ( ^{x  a} ;0,1)

 

F (x; a; )  F ( ^{x  a} ;0,1)



2) F(x; a;)  1 F(x; a;)

3. 
   Mormal əyrinin forması  parametrindən asılıdır. Normal əyri  -nın azalması ilə ordinat oхuna sıхılaraq, onun boyunca yuхarı dartılır;  -nın artması ilə isə absis oхuna sıхılaraq, onun boyunca genəlir.
   

Həkil 2. Normal əyrinin formasının -dan asılılığl

4) f x,0,1  0, x  

Axırıncı münasibət

z  4 f 4  0,0001  0– dən böyük olduqda təqribən

ödənilr. Ona görə də bu funksiyanın qiymətləri cədvəlində arqumentin (0 ,4) intervaldakı qiymətləri verilir.

x
_{ } 1

• 
  _t 2
  

F x,0,1  _e

² dt

inteqralı elementar funksiyalar ilə ifadə edilmir. Ona görə

2 _

də Laplas funksiyasından istifadə edilir.

x

1 ^x



 e

• 
  _t 2
  

² dt

Bu inteqral yuxarıdan

2

y  f x
0

əyrrisi, ahağıdan absis oxu, soldan ordinat

oxu, sağdan isə y  x düz xətti ilə hüdudlanmıh fiqurun sahəsinə bərabərdir.

Laplas funksiyasının ahağıdakı xassələri vardır:

1. 
   x - monoton artan funksiyadır.
   

^/ x

1 ^{ t} 2


2


e

2

> 0 , istənilən x üçün ;

2. 
   x - tək funksiyadır ,
   

 x  x

(qrafiki absis oxuya nəzərən

simmetrikdir) . Xüsusi halda 0  0 .

3. 
   x  0.5, x   .Bu xassə laplas inteqralından alınır.
   

4  0,49997  0,5

və monoton olduğu üçün təcrübədə kifayət qədər dəqiqliklə

x  0,5 , x  4

qəbul etmək olar. Bu xassələrə əsasən Laplas funksiyasının x –in (0,4) parçasındakı qiymətləri üçün qiymətləri cədvəli ihləyib hazırlanmıhdır

x
_{ } 1

 t 2  

F x,0,1  _e ² dt funksiyasını  x

Laplas funksiyası ilə ifadə edək:

2 _

1
x _ t ²

₁ 0 _t ²

₁ x _ t ²

F x,0,1  _e

² dt  _e

² dt  _<sup>e

2</sup> dt 

^{2 } 2 <sub>

1</sub>  _ t ² ₁ x

• 
  _t 2
  

2 ₀

  _e ² dt  _e

² dt

2 ₀ 2 ₀


 _ t ²

e ² dt  

₀ 2

olduğunu nəzərə alsaq

Fx,0,1  x 0,5

olduğunu yaza bilərik.

Tutaq ki, ^{X  N(a, 2 )} . Onda

Px

 X  x

_{  F} ^{x2  a}

 _{ F} ^{x1  a} 

1 2 ^

_ 

^,0,1





 ^,0,1

 

Px
 X  x

_{  F} ^{x2  a}

 _{ F} ^{x1  a}

^ düsturunu Laplas funksiyası vasitəsi ilə

1
yazaq:

₂  _

^,0,1





 ^,0,1

 


Px

_{ X  x   } ^{x2  a}  _{ } ^{x1  a} 

1
Xususi halda

   







2 _
 

P X  a    ^{  }  ^ ^{ }  2^{  }



 _   _   _ 

     

3. 
   Üç siqma qanunu.
   

P X  a    ^{  }  ^ ^{ }  2^{  }



 _   _   _ 

     

Düsturunda   t qəbul etsək

P X  a  t  2t

olduğunu alarıq.Xüsusi halda t  3 qəbul edərək,

3  0,4986

olduğunu nəzərə

alsaq

3  0,4986

P X  a  3   23  0,9972

olduğunu yaza bilərik.Bahqa sözlə,

X  a  

hadisəsinin ehtimalı kifayət qədər

kiçik

0.0028

ədədinə bərabərdir.Bu isə o deməkdir ki,

X  a  

hadisəsi orta

hesabla 10000 haldan 27-də bahverə bilər.Yəni bu hadisə praktiki olaraq mümkün olmayan hadisədir.Üç siqma qanununun mahiyyəti də məhz bundan ibarətdir.
2.4 .Loqarifmik normal paylanma.Pareto paylanması.
Ehtimal modellərinin qurulmasında yormal təsadüfü kəmiyyətlərdən asılı qeyri xətti funksiyaların paylanmasına tez-tez təsadüf edilir.Məsələn, texniki- iqtisadi göstəricilərin modelləhdirilməsində loqarifmik normal paylanmada istifadə edilir.

Tutaq ki, Y təsadüfi kəmiyyəti müsbətdir.Əgər bu təsadüfi kəmiyyətin

loqarifmi - X  LnY normal paylanarsa, onda ona loqarifmik-normal paylanmıh

təsadüfi kəmiyyət deyilir.Tərifdən aydın olur ki, Y  e^X .

Y təsadüfü kəmiyyətinin sıxlıq funksuyasını tapaq:

₁ ln x _^{ln t a 2}

Pln X

 ln x  _ e ^2 2

d ln t ,

 2 _

1 ^x 1

_ln t a ²

F x  PX

 x  _ e

2 ²

dt,

 2 ₀ ^t

₁ ln x _^{ln t a 2}

f x  _ e

2 ² _dt

x 2 ₀

1
_ln xa ²

f x, a,   e

2 ²

x 2
Bu paylanmadan gəlirlərin bölühdürülməsi, əmanət qoyuluhlarının, aylıq əmək haqqının və əkin sahələrinin paylanmasının tədqiqində genih surətdə istifadə edilir.

Pareto paylanması.

Pareto paylanmasından iqtisadi statistikada genih surətdə ictifadə edilir.Məsələn, vergi orqanları vergi məcəlləsi ilə müəyyən edilmih qaydalara əsasən illik gəlirləri

müəyyən sərhəddən - ^x0 -dan çox olan həxslərin gəlirlərinin paylanmasını müəyyən

edirlər. Bu və digər bir sıra paylanmalar Pareto paylanması ilə bilavasitə ba]lıdırlar. Pareto paylanmasının paylayma funksiyası ahağıdakı həkildədir:


0

_{ }  ^x 

P X  x

^  

 ^x 

, x  x₀ ,  0
^  ^x
_ 1

Sıxlıq funksiyası isə

x  x₀

olduqda

_ 0 _

, ^{x  x0}

olduqda isə sıfra

x_{0 } x _

3. 
   Normal paylanma ilə bağlı paylanmalar.
   
   1. 
      "Хi- кvadrat " paylanma
      

Tutaq кi,

X₁ , X ₂ ,..., X_n

asılı olmayan standart normal кəmiyyətlərdir. Onda

u ² n  X ²  X ²  ²

1 2 n

кəmiyyətinin sıхlıq funкsiyası