Haqiqatga eng yaqin baholash usulining xossalari Reja

Gamma taqsimot va uning xossalari. 2.1.-Ta’rif. Agar t.m. zichlik funksiyasi

^{ }  1

x




^{f (x)  }() ^{x e}


^0,
, x  0,
x  0,
(1.2.1)

ko’rinishda bo’lsa, u holda  t.m. gamma taqsimotiga ega deyiladi, bu yerda  0 ,
  0 va


()  _ t ^1e^t dt

0

- gamma funksiya:

()  (  1)(  1) ,
^{(n)  (n  1)!},
^{(1/ 2) } .

Gamma taqsimotni_{ ,} orqali belgilaymiz.


 : _{ ,} t.m. xarakteristik funksiyasini hisoblaymiz:

_ it
^ 


itx


 1

x

_ ^




 1

( it ) x

_ (t)  M _e
_  _e _() x e dx  _{() } x e dx 

0 0

 _



_{ }((  it)x)^1e^{(it)x}d (  it)x 
^  ^1 

_

_{it }
_ .

()(  it)
1⁰ 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3


( )
(  it)
 ^ 


Demak,
^ ^t  ^{ Me}it
 _1 
_{it }
_ 

. Xarakteristik funksiya yordamida gamma


 
^{taqsimot momentlarini oson hisoblash mumkin:} M  ^{ ,} D  ^{ .}

Xossalari:

  ²

1. 
   Agar
   

 ,..., bog’liqsiz t.m.lar bo’lib,  : 
, i  1,..., n
bo’lsa, u

1 n i
 ,_j

holda

_n

S_n  __j
j 1
ning taqsimoti


1
 ,_ⁿ _j
bo’ladi.

Bu xossani isbotlash uchun xarakteristik funksiyalardan foydalanamiz.
^ ,

_{ it } 

 _
^{taqsimotning xarakteristik funksiyasi} ^t  ^ _^{1 } _
 
ga teng. Bog’liqsiz t.m.lar

yig’indisining xarakteristik funksiyasi xarakteristik funksiyalar ko’paytmasiga teng

ekanligidan foydalansak,

_n

S_n  __j
j 1
t.m. xarakteristik funksiyasi

n
_{n n}  _j __j
^ ^t  ^ _^ ^t  ^ _^{1  it   1  it } j1

S_n  _j
j 1

j 1
_   _ 

   

bo’ladi.
_ it _

1 
 



__j j1



n
xarakteristik funksiya esa

 taqsimotning xarakteristik

n
 , 

 ^ 
₁ ^j

funksiyasidir. ■

2. 
   Agar  standart normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda ^{ 2}
   

tasodifiy

^miqdor1/2, 1/2
taqsimotga ega bo’ladi.

Buni ko’rsatish uchun avval
 ² t.m.ning taqsimotini topamiz. Agar
x  0

 
bo’lsa: F_{ 2
}x_  P_ ²  x_  0 ,
x  0
bo’lsa:


F _{2 } x_  P_ ²  x_  P_   
x _  F _
x _  F _ x _

bo’ladi. Bu yerda
F_{ } x_- standart normal taqsimotning taqsimot funksiyasi. Endi

 ² t.m.ning zichlik funksiyasini topamiz.
x  0
da:

f _{2 } x_  _F _{2 } x_^  F^_
x _ ¹  F^_
x _ ¹ 

 


_ 1 _{ f }


x _ 

f _
2


x _ 

¹  f _
2
_{x  } ¹ _e x/2 _.

x  0
da:
2




^f ₂  ^x ^{ 0 .}
  

Demak,  ² t.m.ning zichlik funksiyasi

  ^{e }
f_{ 2
x } ¹  x/ 2
2 x
^{1 / 2}12



^^{1 / 2}


_x1/ 21_e x/ 2 _{, x  0 ,}

^1/ 2,1/ 2
taqsimot zichlik funksiyasiga teng ekan. ■

3. 
   _,1 taqsimot  parametrli ko’rsatkichli taqsimotdir.
   

Agar^{ :  ,1} bo’lsa, uning zichlik funksiyasi:

^e^x ,
f_ (x)  _
0,
x  0,
x  0

 parametrli ko’rsatkichli taqsimot zichlik funksiyasidir.

4. 
   Agar^{1,2 , ,k} bog’liqsiz va standart normal taqsimotga ega t.m.lar
   

1 2
^{bo’lsa, u holda}    ²   ² K
  ² :
^1/2,k /2
bo’ladi.

k
Momentlar usulida noma’lum parametrni baholash, eng sodda va keng qo`llaniladigan usullardan biridir. Gamma taqsimotining momentlar usulidagi bahosini topamiz. Gamma funksiyaning zichlik funksiyasi quyidagicha:

f (x; ;
x^{2 1}  exp x / 

2 1




)  ²

^{1 2} (
)  ^{2 ,}

agar
x  0
bo`lsa.

Birinchi tartibli nazariy moment quyidagiga teng:

^ x^2  exp_x /  _
1 ^{ }
x ^2
_ x
^ x ^

0 0
MX₁  _
² dx 

_

_ 

e ^1 dx  _
 t _ 

(₂ ) ₁ ²
(₂ )
 ^1  ^1 




^    ^   

 ¹ t ² e
(₂) ₀
^tdt   ¹ t ² de ^t 
(₂) ₀

^{ }   



  

( )
0 2 _ 1 2

= ^{ 
1} _t ² e ^t |
² 
 t
0
₂ 1_e
^tdt _     X



Endi ikkinchi tartibli nazariy momentni hisoblaymiz:

^ x^{2 1}  exp_x /  _

₂

^ x ^
_ 2 ^
  

1
MX ²  _
(
)  ^2
dx  _  t _ 
1
(
t ^{2 1}e
)
^tdt 

0 <sup>2 1


</sup> 2 ^    
 1
   ^


 ² (

² 0


 1) ^ _{ }

( )

0 2 _
( ) ^

  ¹
2
_t ^{2 1}e ^t |

(
 1) t ² e
0
^tdt _  ^{1 2}
 ²
t ² e
0
^tdt 

 ² (  1) ^ _{  }



  

( )
0 2 _
1 2 2

_{ } 1 2
2
_t ² e ^t |

 t
0
₂ 1_e
^tdt _   ² ( ²  

)  X ²

Bu tenglamalardan foydalanib ₁ va ₂
larni topamiz.

^µ ^S 2
_µ ( X )²

_{1 X} va ₁
, (1.2.2)
_S 2

baho bo`lar ekan. Bu baholar momentlar usuli bahosi xossasiga ko`ra asosli baho bo`ladi.

Gamma taqsimot haqiqatga maksimal o`xshashlik bahosini topishimiz uchun biz, avvalambor, uning haqiqatga o`xshashlik funksiyasini tuzib olishimiz kerak bo`ladi. Gamma taqsimot haqiqatga o`xshashlik funksiyasi quyidagiga teng: