H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

     -gradiyent=jacobian(f,x);  

     -hesse=jacobian (gradient,x) 

     Misal. 

3

2

1

4

3

4

2

4

1

)

(

x

x

x

x

x

x

x

f









 funksiyası üçün qesse matrisini tapaq. 

     

 

     Misal 12.2. İki dəyişənli funksiyanin optimallaşdırma məsələsinə baxaq: 

.

4

2

)

(

1

2

2

4

1

x

x

x

x

f







 

 

364 

 

     

Uyğun tənliklər sistemi: 

.

0

4

;

0

4

4

2

2

3

1

1



















x

x

f

x

x

f

 

     Stasionar nöqtənin koordinatları 

.

0

;

1

20

10





x

x

 

     Diaqonal minorları hesablayaq: 

;

0

12

12

2

1

2

1

2

1















x

x

f

 

                

.

0

48

4

12

)

(

2

2

1

2

1

2























x

x

x

x

f

f

f

 

 

     Beləliklə funksiya x

0

=(1;0)

T

 nöqtəsində minumuma malıkdir.f

min

=-3. 

     Şəkil 12.3-də funksiyanın bərabər səviyyə xətləri göstərilmişdir. 

     

 

 

 

Şəkil 12.3 

 

     Bu şəkil funcsiyanın minimal quymətə malik olmasını əyani olaraq göstərir. 

      

      

12.3.3. Çoxdəyişənli funksiyanın məhdudiyyətlər  

                  

bərabərlik olduğu halda ekstremumu  

 

365 

 

 

      Bu məsələ məhdudiyyətlər olduğu üçün şərti optimallaşdırma məsələlərinə 

aiddir. 

      

Məsələnin riyazi yazılışı: 

.

0

)

,...,

,

(

..........

..........

..........

)

2

.

12

(

,

0

)

,...,

,

(

,

0

)

,...,

,

(

)

1

.

12

(

),

,...,

,

(

min

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1







n

m

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f







 

 

     

Məhdudiyyətlər  sistemi(12.2)  bərabərlik  şəklində  olduğundan  məsələnin 

həlli əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşır.Məsələni həll etmək üçün qeyri-müəyyən 

Laqranj vuruqlarından istifadə olunur. 

     Bu  məqsədlə  məhdudiyyətlərin  də  nəzərə  alındığı  köməkçi 

Laqranj 

funksiyası 

tərtib olunur: 

).

,...,

,

(

)

,...,

,

(

)

,

(

2

1

1

2

1

n

k

m

k

k

n

x

x

x

x

x

x

f

x

Ф















           (12.3)

 

     Burada 



i



Laqranjın  qeyri-müəyyən  vuruqları  adlanır  (hələlik  məlum 

olmayan). 

      

Kun-

Taaker 

teoreminə

 

əsasən  əgər  (12.1)-(12.2)  məsələsinin 

T

n

x

x

x

x

)

,...,

,

(

0

20

10

0



nöqtəsində  həlli  mövcuddursa,  yəni  f(x)  funksiyası 

minimum qiymət alirsa , onda 

)

,

(



x

Ф

  funksiyası  da x

0

 nöqtəsində (yəni  x

0

-a 

görə)  minimum, 

T

m

)

,...,

,

(

0

20

10

0















  görə  isə  maksimum  qiymət  alır. 

Buradan 

belə 

nəticəyə 

gəlmək 

olar 

ki, 

optimal 

həll 

yəhər  

T

m

n

T

x

x

x

x

L

)

,...,

,

,

,...,

,

(

)

,

(

0

20

10

0

20

10

0

0













yəhər nöqtəsindədir. 

     Yəhər nöqtəsinin koordinatları aşağıdakı cəbri tənliklər sisteminin həllindən  

tapılır (optimallığın zəruri şərti): 

 

m

k

Ф

n

i

x

x

f

x

Ф

k

k

i

k

m

k

k

i

i

,...,

2

,

1

.

)

4

.

12

(

,...,

2

,

1

;

1







































 

     Optimallığın kafi şərti isə 

)

,

(



x

Ф

üçün (yəni onun min qiymət alması üçün) 

Qesse matrisinin müsbət müəyyən olmasıdır: 

.

0

)

,

(





x

Q

 

 

366 

 

      Misal12.3

.

min

)

(

2

2

2

1







x

x

x

f

Məhdudiyyət  

.

4

4

2

1

2

1













x

x

x

x



 

     Bu məsələ üçün Laqranj funksiyası (12.3):   

).

4

(

2

1

2

2

2

1











x

x

x

x

Ф



 

Tənliklər sistemi (12.4): 

.

0

4

,

0

2

,

0

2

2

1

2

2

1

1

































x

x

Ф

x

x

Ф

x

x

Ф







 

     

Alinmış    tənliklər  sistemini  həll  edib  optimal  həlli  tapırıq: 

.

2

20

10





x

x

 

Laqranj vuruğu isə 

.

4







 

     Məqsəd funksiyası üçün Qesse matrisi. 

   

     

 

      Laqranj funksiyası qçqn  Qesse matrisi. Proqramda

z





işarə olunmuşdur. 

 

     

 

      

     

Misal  12.4

.    Fərz    edək  ki,  yzunluğu 



  olan  məftil  verilmişdir.  Bu 

məftildən sahəsi ən böyük olan dördbucaqlı fiqur düzəltmək tələb olunur. 

 

367 

 

    Bu məsələdə sahə S məqsəd funksiyasıdır. Dördbucaqlının enini x

1

, uzununu 

isə  x

2

  işarı  etsək 

.

max

2

1







x

x

f

S

Məsələ  minumuma  həll  olunduğundan 

)

min( f



mısələsini həll etmək lazımdır. 

     Perimetr 

(tərəflərinin 

cəmi) 

məhdudiyyət 

rolunu 

oynayır: 

.

0

2

2

)

(

2

2

1

2

1





















x

x

x

x

p



 

Laqranj 

funksiyası 

(12.3): 

).

2

2

(

2

1

2

1













x

x

x

x

Ф



 

     Optimallığın zəruri şərti(12.4): 

.

0

2

2

,

0

2

,

0

2

2

1

1

2

2

1







































x

x

Ф

x

x

Ф

x

x

Ф







 

     

Həll 

.

4

/

20

10







x

x

  Laqranj  vuruğu  isə 

.

/

2 





Deməli  bu  fiqur  sahəsi 

16

/

2

20

10







x

x

S

olam kvadratdır. 

sm

32





  olarsa  tərəflər  8sm,  sahə  isə  64 

sm

2

 olacaqdır. 

      

Analitik  üsulların  çatışmamazlığı.

 

Optimallaşdırmanın  analitik  üsulları 

ekstremumun zəruri şərtinə əsaslanır və real şəraitdə tətbiq sahəsi məhduddur. 

Bunun əsas sıbıbi aşağıdakılardır: 

     1.məsələni  analitik  üsullarla  həll  etdikdə  məqsəd  fuksiyası  və 

məhdudiyyətlər  diferensiallana  bilən  kəsilməz  funksiyalar  şəklində 

verilməlidir.Həqiqətdə  isə  peal  obyektlərin  modelləri  hamar  olmayıb  parçada 

kəsilən olurlar və ya analitik deyil cədvəl və s. şəklində verilə bilər. 

     2.  Real  prosesdə  bir-neçə  ekstremum  nöqtəsi  ola  bilər.  Analitik  üsullar 

adətən təcrid olunmuş lokal minunumu tapmağa yönəldiyindən tapulun həll ən 

yaxşı  rejimi  əks  etdirməyə  bilər.  Bundan  başqa  həll  stasionar  nöqtədə  deyil 

məhdudiyyətlər oblastının sərhəddində də yerləşə bilər. 

     3.  Ölçünün  böyük  olması  və  bərabərsizlik  şəklində  olan  məhdudiyyətlərin 

mövcud olması optimallaşdırma məsələsinin həllini cətinləşdirir. 

     4.  Peal  şəraitdə  məqsəd  funksiyasının  və  məhdudiyyətlərin  əmsalları 

əhəmiyyətli dərəcədə dəyişə bilər. 

     5.  Analitik  üsllar  dəqiq  törəmələrin  alnmasına  əsaslandığında  rəqəm 

hesablama maşınlarında həll edilməyə pis uyğunlaşır. 

 

 

 

 

 

 

 

368 

 

 

12.4. Optimallaşdırmanın ədədi üsulları  

 

 

     

12.4.1.  Бирюлчцлц минималлашдырма .«Гызыл bölgü» цсулу 

 

 

       Рийази йазылыш: 

1

2

1

,

),

(

min

R

x

x

x

x

x

f

x







. 

      Parçanın qızıl kəsiyı c nöqtəsi ilı təyin olunarsa,  onda aşağıdakı münüsibət 

ödənilir: 

.

Ac

Bc

Bc

AB



 

     Başqa sözlə, ilkin AB parçasının böyük Bc parçasına olan nisbəti , böyük Bc 

parçasının kiçik Ac parçasına olan nisbətinə bərabərdir (şəkil 12.4). 

 

 

Şəkil 12.4 

 

      Fibonaççi  üsulundan  fərqli  olaraq 

qızıl  bölgü  üsulunda  intervalın  azlma 

sürəti  sabit  qalır  və  məqsəd  funksiyasına  müracəyətlərin  sayı  (  yəni  məqsəd 

funksiyasının  hesablanmalarının  sayı)  minimaldır.  İlkin  AB  intervalı 

həriterasiyada AB/τ dəfə azalır.     Burada 

.

618

.

1

2

5

1









 

      Uc  A,B  və  c  nöqtələrində  məqsəd  funksiyasının  f

i

(x)  qiyməti 

hesablandıqdan  sonra  növbəti  iterasiyada  cA  və  ya  cB  parçası  yeni  c

i+1

  qızıl 

bölgü nöqtəsi ilə yenidən iki hissəyə bölünür. 

      Щяллин МАТЛАБ функсийасы: фминбнд(



). 

      Мисал 12.5. Минималлашдырылан функсийа: 

f (x)=(х-3)

2

-1. 

       Мювге мящдудиййяти: 0

       Яввялжя ф(х) функсиасыны М-файлда тягдим етмяк лазымдыр:  

       фунcтион ф=фмин(х). 

       ф=(х-3).^2-1;  

sonra  МАТЛАБын  ямрляр  пянжярясиндян  дахил  едилян  fminbnd(



) 

функсийасындан истифадя олунур: >> [x,f]=fminbnd(‘fmin’,0,5). 

       M–файл  МАТЛАБын  alətlər  ponelindən  File/New/m-file  ямрляр 

менйусунун кюмяйиля чаьрылыр.  

       Шякил  12.5-дя  щяллин  МАТЛАБ  програмы,  нятиcя  х

opt 

=3  вя  функсийанын 

минимал гиймяти ф

min

 =-1 эюстярилмишдир. 

 

369 

 

 

Şəkil 12.5 

 

 

12.4.2. Шяртсиз (мящдудиййятсиз) минималлашдырма. 

 

 

       Рийази йазылыш:  

n

x

R

x

x

f



),

(

min

. 

      МАТЛАБ функсийасы: фминunc(



) вя йа  фминcearch(



). 

      Мисал  12.6.  Minimallaşdırılan  funksiya  imi  Розенброкun  yарьанлы 

функсийасы: 

ф(х)=100(х

2

 – х

1

)

2

+(1- х

1

)

2

.  

 

      Бу функсийанын минимал гиймяти ф =0 параметрляринин х

1

= х

2

=1 гиймятиндя 

юдянилир.  

     Бу мягсядяля дя М -  файлдан истифадя етмяк лазымдыр: 

      Шякил 12.6-дa  х

0

=(0;0)  гиймяти цчцн щяллин МАТЛАБпрограмы вя нятижя 

эюстярилмишдир. 

 

 

 

370 

 

     

 

Şəkil 12.6 

 

     фминcearch(



)  функсийасындан  истифадя  етдикдя  оптимал  щялл  х=(1;1)  щягиги 

гиймятля  ейни  алыныр.  Функсийанын  минимал  гиймяти  ф

мин

=5.7010



10

-8

  сыфра  чох 

йахындыр.  

 

12.4.3. Xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli 

 

Хятти програмлашдырма мясяляси (əlavə 2) 

n

n

T

x

a

x

a

x

a

x

a

x

f

,...,

)

(

2

2

1

1







                              (12.5)          

хятти  мягсяд  функсийасыны  минималлашдыран  вя  верилмиш  хятти  мящдудиййят 

шяртлярини:   

b

Ax



                                                           (12.6) 

бярабярсизликлярини вя  

eq

eq

b

x

A



 

                             (12.7) 

бярабярликлярини  юдяйян 

x

  векторунун  тапылмасындан  ибарятдир,  бурада  a



 

мягсяд функсийасынын ямсаллар векторудур. 

Бундан  ялавя, 

x

  векторунун  компонентляриня  вектор  формасында 

икитяряфли mövqe 

 

ub

x

lb





 

(12.8) 

мящдудиййят  шяртляри  дя  гойула  биляр.Burada  lb=x

min

,  ub=x

max

.l-low(aşağı),  u-

up(yuxarı) deməkdir. 

Оптималлашдырма  мясяляляриндя  мящдудиййят  шяртляриндян  бязиляри, 

мясялян, бярабярликляр шяклиндя мящдудиййятляр иштирак етмяйя биляр. 

MatLAB  мцщитиндя  хятти  програмлашдырма  мясялясинин  щялли  цчцн 

linproq 

функсийасы мювъуддур. linproq функсийасынын биринъи аргументи 

щямишя  f  вектору  олур,  сонра  A  матриси  вя  b    вектору  верилир.  Бярабярликляр 

шяклиндя мящдудиййятляр олдугда ялавя аргументляр  Aeq вя beq ола биляр, 

нящайят,  икитяряфли  мящдудиййятляр  linproq  функсийасынын  алтынъы  вя 

йеддинъи аргументляри олур.Bu ardıcıllığa ciddi riəyyət olunmalıdır! 

Демяли,  linproq  функсийасына  мцраъияти,  верилмиш  мясялянин 

шяртляриндян асылы олараг, ашаьыдакы кими йазмаг олар: 

 

371 

 

[x,fmin]=linprog(f,A,b) 

[x,fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 

[x,fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 

Əgər bərabərsizlik şəklində olan məhdudiyyətlər mövcud deyilsə A və b–

nin yerinə [ ],[ ] (yəni boş çoxluq)yazmaq lazımdır.  

Мисал 12.7.  Ашаьыдакы  хятти  програмлашдырма  мясялясинин  щяллинин 

тапылмасы тяляб олунур: 

 

min

x

2

x

3

x

4

)

x

(

f

3

2

1









 

 

340

x

2

x

4

,

3

x

4

3

2

1







 

 

700

x

2

x

11

x

75

,

4

3

2

1







 

 

100

x

x

x

3

2

1







 

 

20

x

1



, 

20

x

2



, 

20

x

3



. 

Мясялянин щялли ашаьыда эюстярилмишдир.