H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

polyval(p,x)

шяклиндядир. 

Bурада: 



 

p 



 щесабланан функсийа; 



 

x 



 функсийанын аргументляри векторудур. 

Апроксимасийанын  нятиъяляринин  доьрулуьуну  йохламаг  цчцн  бу 

функсийадан истифадя едяк.  

Fi=polyval(p,x) 

функсийасыны  дахил  едяк  вя 





Enter

  клавишини 

басаг. Ъаваб: 

 

Fi  =        6.3695    6.8840    7.3400    7.7373    8.0761  

8.3564  8.5780  8.7412  8.8457  8.8917 

   

Bu  qiymətləri  təcrübi  y

i

  qiymətləri  ilə

  мцгайися  етмякля  ямин  олуруг  ки, 

аргументин  бцтцн  дяйишмя  диапазонунда 

)

x

(



  квадрат  интерполйасийа 

чохщядлисинин гиймятляри илкин верилянлярдян аз фярглянир. 

     Aşağıda bu məsələnin Matlada həlli göstərilmişdir. 

     

 

 

344 

 

     

 

 

 

Şəkil 11.3a 

 

Xətti  korrelyasiya əmsalı  corrcoef(x,y)  funksiyasının köməyi  ilə  (11.5a) 

əsasında hesablanıb. Kxy=0.9656 vahidə yaxın olması təcrübi verilənlərin xətti 

φ(x)=a

0

x+a

1

 aproksimasiyası da kifayyət qədər önəmli olardı. 

Мисал 11.4. Təcrübi qiymətlər (statistika) ашаьыдакы ъядвялdə  верилмишдир. 

 

x

 

0.1 

0.2  

0.4 

0.5 

0.6 

0.8 

1.2 

y  



3.5 



4.8 



2.1 

0.2 

0.9 

2.3 

3.7 

Верилмиш  функсийаны  дюрдцнъц,  бешинъи  вя  алтынъы  дяряъяли  чохщядлилярля 

апроксимасыйа  етмяк  вя  апроксимасыйанын  характерини  якс  етдирян  графикляри 

гурмаг тяляб олунур. 

Яввялъя апроксимасыйа чохщядлилярини гураг. 

Интерполйасийа  проседуруну  ашаьыдакы  кими 



L_Inter



  адлы  м-файл 

шяклиндя формалашдыраг: 

 

345 

 

x = [0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.2]; 

y = [-3.5 -4.8 -2.1 0.2 0.9 2.3 3.7]; 

p4 = polyfit(x, y, 4)  

p5 = polyfit(x, y, 5)  

p6 = polyfit(x, y, 6)    

Matlabın əmirlər pəncərəsindən 



L_Inter



 м-файлына мцраъият едяк: 

>> L_Inter  





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы алырыг: 

p4 = 

 

  104.8749 -277.6552  238.1503  -64.7626  0.8035 

 

p5 = 

 

 -149.6034    537.0567  -721.1354    435.6721  -101.5961  

2.9904 

 

p6 = 

 

  1.0e+003 * 

 

   -2.3571 7.6621  -9.2819  5.2026  -1.3390  0.1415 -

0.0086 

 

Aпроксимасыйа polinomları: 

.

8035

.

0

762

.

64

1503

.

238

6552

.

277

8749

.

104

4

2

3

4











x

x

x

x

p

 

 

.

9904

.

2

5961

.

101

6721

.

435

1354

.

721

0567

.

537

6034

.

149

5

2

3

4

5

















x

x

x

x

x

p

 

 

.

6

.

8

5

.

141

0

.

1339

6

.

5202

9

.

9281

1

.

7662

1

.

2357

6

2

3

4

5

6



















x

x

x

x

x

x

p

 

     İndi    isə  müqayisə  üçün  təcrübi  verilənləri  (düyün  nöqtələrini)  və 

апроксимасыйанын характерини якс етдирян графикляри гурaq.

  

     Misal 11.5. 

 

     

 

 

346 

 

     

 





Enter

  клавишини  басдыгдан  сонра  апроксимасыйанын  характерини  якс 

етдирян графикляри алырыг (шякил 11.4): 

 

 

Шякил 11.4. Апроксимасыйанын характерини якс етдирян графикляр 

 

     Göründüyü  kimi,  p6  polinomunun  tərtibinin  n=6  olmasına  baxmayaraq 

axırıncı  iki  düyün  nöqtəri  arasında  böyük  approksimasiya  xətası  alınır.Bu 

xüsusiyyət ən kiçik kvadratlar üsulunun çatışmayan cəhətidir. 

 

 

      

 

347 

 

  

11.4. Aproksimasiya xətasının hesablanması 

 

    

 İnerpolyasiya və ya approksimasiya xətası (11.1) ifadəsinin əsasında 

hesablanır. 

      Aşağıda xətanın hesablanmasına aid nümunə verilmişdir. 

     

Misal 11. 6. 

 

  

 

     

 

 

 

 

 

 

 

     

 

348 

 

 

 11.5. Splaynlarla interpolyasiya 

         

       

Splayn  iningilis  cözü  (spline)  olub  rəsimxətdə  müxtəlif  nöqtələri  hamar 

birləşdirmək  üçün  istifadə  olunan  cevik  lekal,  dəmir  xətkeş  parçası 

deməkdir.Yəni interpolyasiyanı qrafiki yolla yerinə yetirir [34]. 

      Burada  bütün  təcrübi  düyün  nöqtölərindən  dəqiq  kecən    φ(x)  funsiyası 

tapılır. Lakin interpolyasiyaedici polinomun tertibini azaltmaq məqsədi ilə φ(x) 

düyün  nöqtələrini  iki-iki  birləşdirən  parçalardan  ibarət  olur.Bu  parçalar 

müxtəlif tipli və ya əmsalları fərqlənən eyni tipli (məsələn, polinom) şəkilində 

verilə bilərlər.Bu halda φ(x) parçada (hisə-hissə) kəsilməz funksiyalar  sinfində 

axtarılır: 

































n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

1

3

2

2

2

1

1

),

(

,

),

(

,

),

(

)

(























 

 

      Şəkil 11.5-də splaynlarla interpolyasiyanın xarakteri göstərilmişdir. 

 

Şəkil 11.5 

 

     Biz polinomial splaynlarla interpolyasiya məsələsinə baxacayıq: 



  n=3-kub splayn, 

;

)

(

2

3

d

cx

bx

ax

x











 



  n=2- düyün nöqtələri parabolalar ilə birləçdirilirlər, 

;

)

(

2

c

bx

ax

x









 



  n=1-  düyün  nöqtələri  düz  xəttlərlə  (parçalarla)  birləçdirilirlər, 

;

)

(

b

ax

x







 



  n=0-düyün nöqtələri pilləvari funksiyalar ilə birləçdirilirlər, 

;

)

(

a

x





 

n=3  halında  hər-  bir  [x

i-1

,  x

i

]    parçasında  dörd  sayda  a,  b,  c  və  d 

əmsallarını tapmaq üçün dörd sayda da şərt lazinmır: 

 

 

349 

 

).

(

2

3

)

(

);

(

2

3

)

(

);

(

)

(

);

(

)

(

2

1

1

2

1

1

1

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

y

c

bx

ax

x

x

y

c

bx

ax

x

x

y

x

x

y

x

















































 

Burada  düyün  nöqtələrində  ordinatların  və  birinci  tərtib  törəmələrin 

bərabərliyi şərtindən isytifadə olunur. Statistik verilənlərin düyün noqtələrində 

törömölörin  qiyməti  məlun  olmadığından  onları  sol-fərq  sxemi  əsasənda 

hesablamaq olar: 

.

)

(

1

1













i

i

i

i

i

x

x

y

y

x

y

 

     

İkinci  tərtib

   

)

(

i

x

y



  törəməni  hesablamaq  üçün  üç  sayda 

2

1

,

,





i

i

i

y

y

y

 

düyüm nöqtəsi tələb olunur. 

     Aşağıdakı interpolyasiya funksiyalarundan geniş istifadə olunur: 



 



'

' nearest

pilləvari interpolyasiya;

 



 



'

'linear

xətti interpolyasiya;

 



 



'

' spline

kubik polinomla  interpolyasiya;

 

Aşağida hər üç halı əks etdirən Matlab proqramı və nəticə göstırilmişdir. 

Misal 11.7.

      

 

 

       

 

       

 

 

350 

 

 

 

Şəkil 11.5a 

          

       Misal 11.8. 

 

           

 

 

 

Şəkil 11.6 

    Əmsalların  təyin  olunması.  Kubik  splaynın  hər  intervalda  əmsallarının 

hesablanmasına aid misala baxaq. 

     Misal 11.9. 

 

351 

 

     

 

 

Şəkil 11.7 

 

     Kubik 

d

cx

bx

ax

x









2

3

)

(



  polinomunun  4  əmsalı  və  5  interval 

olduğundan əmsallar matrisinin ölçüsü 5×4. 

     Matlabda təkcə birölçülü deyil, eyni zamanda ikiölçülü və çoxölçülü təcrübi 

verilənləri də emal etmək mümkündür. 

 

352 

 

                                               

 Tapşırıq-11.1

 

 

1.1. Ъядвял  8.1-дя  верилмиш  тапшырыг  вариантларына  уйьун 

)

x

(

y

  функсийасы 

цчцн 

i

x

i



(

4

,

,

1

,

0

i





)  дцйцн  нюгтяляриндя  бу  функсийанын  гиймятлярини 

MatLAB  мцщитиндя  щесабламалы. Хятти  интерполйасийа функсийасынын кюмяйи 

иля щяр бир локал интерполйасийа интервалынын ортасында (йяни аргументин 0,5; 1,5; 

2,5;  3,5  гиймятляриндя)    функсийанын  гиймятлярини  щесабламалы.  Алынмыш 

нятиъяляри дягиг гиймятлярля мцгайися етмяли. 

1.2.  Хятти  интерполйасийадан  вя 

)

x

(

L

  Лагранж  интерполйасийа  чохщяд-

лисиндян  истифадя  етмякля  щяр  бир  локал  интерполйасийа  интервалынын  ортасында 

функсийанын  гиймятлярини  щесабламалы.  Алынмыш  нятиъяляри  дягиг  гиймятлярля 

мцгайися  етмяли.  Бир  график  цзяриндя 

)

x

(

y

y



  вя 

)

x

(

L

y



  функсийаларынын 

графиклярини гурмалы.  

 

   Ъядвял 11.1 

 

№ 

)

(x

y

 

  № 

)

(x

y

 

1 

x

cos

)

x

(

2



 

  16 

x

sin

x

2

1



 

2 

x

cos

x



1

 

  17 

3

1

2







x

)

x

sin(

 

3 

4

5

3

2

2

4

2

x

)

x

lg(

x









 

 

18 

4

2

3

2

3

1

x

)

x

ln(

x









 

4 

x

x

cos



2

 

  19 

)

x

x

cos

(

x



2

 

5 

2

1

2







x

)

x

cos(

 

  20 

x

sin

x 2



 

6 

5

1

3

3

2

5

3

x

)

x

lg(

x









 

 

21 

3

1

2

2

3

1

x

)

x

lg(

x









 

7 

)

x

x

sin

(

x



2

2

 

  22 

x

sin

xe

x

2

3





 

8 

)

е

x

cos

(

x

x





2

3

 

  23 

x

sin

x

3

2



 

9 

3

3

3





x

x

sin

 

  24 

4

3





x

x

cos

 

10 

x

sin

e

x

2



 

  25 

2

2

3





x

x

cos

 

11 

)

x

cos

x

(

e

x

2





 

  26 

x

e

)

x

(





1

 

12 

x

sin

)

x

(

2



 

  27 

)

x

x

(sin

x





2

 

13 

)

x

x

(sin

x





5

2

 

  28 

)

x

x

(cos

x





2

 

14 

x

sin

x

2

3



 

  29 

x

e

)

x

(

2

3





 

15 

x

cos

)

x

(

1



 

  30 

)

x

x

(cos

x

3

2



 

 

353 

 

Çalışmalar-11. 2 

 

Ъядвял  11.2-дя  верилмиш  тапшырыг  вариантларына  уйьун  експериментал 

верилянляр  ясасында  MatLAB    мцщитиндя 

x

a

a

)

х

(

1

0







  хятти  асылылыьыны 

гурмалы.  Гурулмуш  хятти  асылылыгдан  истифадя  етмякля  щяр  бир  локал  интерполйа-

сийа интервалынын ортасында функсийанын гиймятлярини щесабламалы.  

 

Ъядвял 11.2 

 

№1 

№2 

№3 

№4 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

1 

0,686 

2 

2,312 

3 

4,615 

4 

8,472 

1,1 

0,742 

2,1 

2,251  3,1 

4,591  4,1 

8,805 

1,2 

0,767 

2,2 

2,418  3,2 

5,13  4,2 

9,096 

1,3 

0,646 

2,3 

2,752  3,3 

5,481  4,3 

8,993 

1,4 

0,807 

2,4 

2,459  3,4 

5,492  4,4 

9,312 

1,5 

0,774 

2,5 

2,7  3,5 

5,553  4,5 

9,465 

1,6 

0,97 

2,6 

3,022  3,6 

5,471  4,6 

9,771 

1,7 

0,932 

2,7 

3,079  3,7 

5,727  4,7 

9,61 

1,8 

0,936 

2,8 

2,42  3,8 

5,798  4,8 

9,722 

1,9 

0,978 

2,9 

2,669  3,9 

6,11  4,9 

11,42 

2 

1,048 

3 

3,241 

4 

6,605 

5 

10,28 

Cədvəl 11.2-nin davamı 

№5 

№6 

№7 

№8 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

9 

5 

0 

-1  1,1 

0,5  0,2 

1,2 

11 

7,5 

1 

1,1  2,2 

1,21  0,4 

1,5 

13 

8,8 

2 

3,1  3,3 

2,4  0,5 

1,8 

15 

9,7 

3 

5,2  4,4 

3,88  0,7 

2,7 

19 

12,4 

4 

6,9  5,5 

4,15  0,9 

3,4 

21 

14,3 

5 

9,05  6,6 

5,55  1,2 

4,3 

23 

15,3 

6 

10,98  7,7 

7,58  2,3 

5,8 

25 

17,45 

8 

11,52  8,8 

9,34  2,9 

7,45 

27 

17,34 

9 

14,34  9,9 

10,95  3,7 

8,34 

29 

18,5 

10 

15,5 

 

  4,4 

10,5 

 

Cədvəl 11.2-nin davamı 

№9 

№10 

№11 

№12 

№13 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

х 

y 

х 

y 

11  115 

1 

5,2 

0,5 

1,9 

0 

4 

1,2 

1,2 

12  121 

3 

5,4 

0,9 

1,95 

11 

6 

1,6 

1,5 

 

354 

 

13  132 

5 

5,7 

1,3 

2,3 

23 

12 

2,5 

1,8 

14  134 

7 

5,9 

1,7 

2,47 

35 

20 

2,7 

2,7 

15  145 

9 

6,3 

2,1 

2,54 

47 

30 

3,1 

3,4 

16  155  11  6,95 

2,4 

2,63 

59 

34 

3,5 

4,3 

17  164  13  7,18 

2,7 

2,78 

71 

50 

4,3 

5,8 

18  172  15  7,52 

3,1 

2,65 

83 

53 

4,9 

7,45 

19  183  17  7,74 

3,5 

2,44 

95 

12 

5,5 

8,34 

 

  19  8,25 

3,9 

2,35  107 

3 

6,4 

10,5 

 

Cədvəl 11.2-nin davamı 

№14 

№15 

№16 

№17 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

13 

86,61 

14 

99,81 

15 

115,2 

16 

121,3 

13,1 

85,49 

14,1 

100,3 

15,1 

115,3 

16,1 

121,5 

13,2 

87,8 

14,2 

99,49 

15,2 

115,1 

16,2 

120,9 

13,3 

88,61 

14,3 

102,6 

15,3 

116 

16,3 

121,7 

13,4 

89,07 

14,4 

103,2 

15,4 

117,2 

16,4 

124,1 

13,5 

89,24 

14,5 

104,4 

15,5 

119,3 

16,5 

124,3 

13,6 

89,63 

14,6 

104,7 

15,6 

121,4 

16,6 

123,9 

13,7 

90,76 

14,7 

105,1 

15,7 

119,8 

16,7 

124 

13,8 

91,32 

14,8 

104,7 

15,8 

120,8 

16,8 

125,5 

13,9 

91,43 

14,9 

105,5 

15,9 

121,6 

16,9 

125,9 

14 

91,71 

15 

107,2 

16 

124,3 

17 

126,8 

 

Cədvəl 11.2-nin davamı 

№18 

№19 

№20 

№21 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

9 

41,74 

10 

49,76 

11 

62,17 

12 

71,17 

9,1 

42,24  10,1 

51,92  11,1 

63,05  12,1 

74,26 

9,2 

43,88  10,2 

50,08  11,2 

63,72  12,2 

72,66 

9,3 

42,16  10,3 

52,38  11,3 

64,24  12,3 

74,51 

9,4 

43,70  10,4 

53,41  11,4 

64,09  12,4 

76,65 

9,5 

45,04  10,5 

54,97  11,5 

63,59  12,5 

75,52 

9,6 

42,46  10,6 

52,78  11,6 

65,41  12,6 

75,71 

9,7 

45,73  10,7 

54,11  11,7 

65,28  12,7 

76,36 

9,8 

44,06  10,8 

55,48  11,8 

65,05  12,8 

79,32 

9,9 

45,86  10,9 

55,68  11,9 

68,87  12,9 

77,37 

10 

44,95 

11 

56,2 

12 

65,74 

13 

77,61 

 

355 

 

Cədvəl 11.2-nin davamı 

№22 

№23 

№24 

№25 

№26 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

х 

y 

х 

y 

1 

3,4 

6  17,63 

7  25,24 

8  30,53 

5  12,36 

3 

4,2  6,1  19,75  7,1  25,13  8,1  34,22  5,1  13,63 

5 

5,1  6,2  19,78  7,2  25,67  8,2  34,23  5,2 

13,3 

7 

6,2  6,3  18,81  7,3  26,63  8,3  34,11  5,3  13,15 

9 

7,9  6,4  19,88  7,4  26,75  8,4  33,59  5,4  13,48 

11 

8,05  6,5  21,12  7,5  27,23  8,5  34,06  5,5  14,24 

13 

9,98  6,6  20,21  7,6  26,49  8,6 

34,5  5,6  14,51 

15  10,52  6,7  19,48  7,7  26,88  8,7  35,82  5,7  14,88 

17  13,34  6,8  20,15  7,8  27,23  8,8  35,68  5,8  15,25 

19 

14,5  6,9 

20,5  7,9  28,06  8,9  37,44  5,9  15,37 

 

 

7  21,29 

8  27,78 

9 

35,7 

6  15,16