H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

18. 

7

1,

a





;  

32

2,

b



;  

92

0,

c



;  

2



k

; 

057

0,

x



 

k

c

x

k

sin

a

x

k

tg

e

b

a

b

x

k

cos

y

















2

3

2

7

4

2

2

2

5

10

 

19. 

52

1,

a





;  

2

13,

b





;  

4



n

;  

2



k

; 

4

1,

x



 

5

2

4

2

2

10

5

0

b

ax

nx

cos

k

sin

b

)

b

a

(

b

ax

,

y















 

20. 

3



k

;  

5

3,

a





;  

35

0,

b



;  

4



n

; 

02

0,

x





 

3

4

10

5

0

2

b

a

abx

kx

cos

na

sin

x

x

,

b

a

k

tg

abx

y















 

21. 

4

1,

a





;  

3

25,

b



;  

4



n

; 

5

4,

x



 

 

 

 

 

 

 

 

37 

 

FƏSİL 2 

 

FUNKSİYALARIN HESABLANMASI, CƏDVƏLLƏŞDİRİLMƏSİ VƏ 

VİZUALLAŞDIRILMASI  

_________________________________________________     

 

 

Информасийаны  график  тясвир  етмяк  цчцн  MatLAB  системинин  зянэин 

имканлары  вар.  О,  аналитик  шякилдя,  вектор  вя  матрис  шяклиндя  верилмиш 

функсийаларын  икиюлчцлц,  цчюлчцлц  графикини  гурмаьа  имкан  верир;  бир  графикдя 

бир  нечя  функсийанын  графикини  гурмаьа  имкан  верир;  графикляри  мцхтялиф 

рянэлярля, мцхтялиф тип нюгтя  вя хятлярля  вя мцхтялиф координат системляриндя 

гурмаьа имкан верир. 

 

      

2.1. Funksiyanın qiymətinin hesablanması və 

           

cədvəlləşdirilməsi 

 

       Hər  hansı  funksiyanın  qiymətini  hesablamaq  üçün  əvvəlcə  arqumentin 

qiymətlərinin daxil etmək (generasiya etmək) lazımdır. Bu əməliyyatı müxtəlif 

üsullarla etmək olar. Arqumentin qiymətləri x

i

 diskret olduğundad funksiyanın 

bu  nöqtələrdə  hesablanmış  qiymətləri  də  diskret  şəkildə  y

i

(x

i

)  olur.  Qrafiki 

təsvirdə nöqtələr kəsilməz (‘-‘) və ya stildən asılı olaraq qırıq-qırıq (‘--‘) (və ya 

başqa) düz xətlə birləşdirilirlər.Lazım gələrsə diskretləşdirmə nöqtələrini qeyd 

etmək  olar,  məsələn‘°’  dairəciklər  ilə.Funksiyanın  qrafikini  originala 

yaxınlaşma dəqiqliyini  artırmaq üçün arqumentin dx diskretləşdirmə addımını 

kiçiltmək lazımdır.   

       Misal  2.1.  y=e

x

  funksiyasının  [0;1]  intervalında  sabit  h=0,2  addımla  və 

x=[0, 0.5, 1, 2, 5] qiymətləri üçün qiymətlərini hesablayıb cədvəlləşdirək. 

 

 

 

     Eyni zamanda bir-neçə funksiyanı cədvəlləşdırmək mümkündür. 

     Fərz edək ki, y

1

=e

x

, y

2

=x

2

, y

3

=sin(x). 

 

38 

 

 

 

     Cədvəlin tronsponə (sətirlərlə sütunların yerinin dəyişdırilməsi) edilməsi. 

 

 

 

 

2.1.1. Massivin elementlərinin cəminin və hasilinin                      

hesablanması 

 

1.Cəmin  hesablanması.Matlabda  massivin  əlementlərinin  cəmi  sum(x) 

funksiyasının köməyi ilə hesablanır. 

x-vektor  olarsa  vektorun  elementlərinin  cəmi  hesablanır.x-matris  olan 

halında isə hər-bir sütunun elementlərinin cəmini hesablanir. 

Misal 2.2. 

 

 

 

39 

 

 

2.Hasilin hesablanması. Matlabda massivin əlementlərinin hasili prod(x) 

funksiyasının köməyi ilə hesablanır. 

x-vektor  olarsa  vektorun  elementlərinin  hasili    hesablanır.x-matris  olan 

halında isə hər-bir sütunun elementlərinin hasili hesablanir. 

Misal 2.3. 



  1-dən 10-qədər ədədlərin hasili; 



  [1 4 9 16 25] –vektorunun (vektor sətir) əlementlərinin hasili; 



 

[1  2  3  4;2  3  4  5;3  4  5  6;4  5  6  7]  matrisinin 

elementlərinin hasilini hesablayaq. 

 

 

 

 

 

 

40 

 

      

2.2. Funksiyaların vizuallaşdırılması 

 

 

2.2.1. İkiölçülü qrafika 

 

Икиюлчцлц графиканын ясас функсийалары ашаьыдакылардыр: 



 

)

y

,

x

(

plot

,

 



 

)

s

,

y

,

x

(

plot

,

 



 

)

sn

,

yn

,

xn

,

,

2

s

,

2

y

,

2

x

,

1

s

,

1

y

,

1

x

(

plot



. 

     Bурада: 

х  



 функсийанын вектор шяклиндя верилмиш гиймятляри; 

у  



 аналитик шякилдя, вектор вя йа матрис шяклиндя верилмиш функсийа; 

s  



 графикин  стилляри  (цслублары)  вектору;    вя  йа  матрис  шяклиндя 

верилмиш  функсийа;  функсийанын  графикинин  рянэини  тяйин  едян  сабит  кямиййят 

(константа); 

xn

,

,

2

x

,

1

x



 



 бир  графикдя  цзяриндя  тясвир  едилмиш 

n

  сайда 

функсийаларын аргументляри; 

yn

,

,

2

y

,

1

y



 



 бир  графикдя  цзяриндя  тясвир  едилмиш 

n

  сайда 

функсийалар. 

)

y

,

x

(

plot

 функсийасы функсийа 

)

x

(

f

у



 кими аналитик шякилдя, вектор вя йа 

матрис  шяклиндя  верилдикдя  онун  графикини  гурмаьа  имкан  верир.  Рийази 

щесабламаларда  эениш  тятбиг  тапмышдыр.  Ян  чох  ашаьыдакы  щалларда  истифадя 

олунур: 

 

0

)

x

(

f



  тянлийинин  кюкляринин  айрылмасы  (тяклянмяси)  областынын 

сечилмясиндя;  

  функсийанын хцсуси нюгтяляринин (максимумларынын, минимумларынын, 

яйилмя  нюгтяляринин,  кясилмя  нюгтяляринин)  мцяййянляшди-

рилмясиндя; 

  интерполйасийа функсийасынын сечилмясинин дюьрулуьунун йохланылма-

сында. 

 Misal 2.4.   

6

x

9

3

y

x







  функсийасы верилмишдир.  

0

6

x

9

3

x







  тянлийинин  вя  функсийанын  диэяр  хцсуси  нюгтялярини  тяйин 

етмяли. 

Щялли: 

>> x=0:0.1:3.5; 

>> y=3.^x-9.*x+6; 

>> plot(x,y) 

 

41 

 

Şəkil 2.1-də fунксийанын графики göstərilmişdir. 

 

 

 

Şəkil 2.1.

6

x

9

3

y

x







  funksiyasının qrafiki 

 

      Шякилдян эюрцнцр ки, тянлийин ики кюкц вя функсийанын минимуму вар. 

Кюклярин айрылмасы (тяклянмяси) областыны ашаьыдакы кими эютцрмяк олар: 

.

3

0

.

2

,

5

.

1

5

.

0

2

1









x

x

 

Функсийанын минимуму  

5

.

2

5

.

1

min





x

 

областында йерляшир. 

)

s

,

y

,

x

(

plot

  функсийасы 

)

y

,

x

(

plot

  функсийасындан  йалныз  графикин  стилини 

мцяййян  едян  s   константасы  иля  фярглянир.  Графикин  стилини  эюстярмямяк  дя 

олар. 



,

2

s

,

1

s

  стилляри  апостроф  арасында  олан  цч  маркер  (нишан)  символу  иля 

верилир.  Бу  маркерлярин  бири  хяттин  типини  (ъядвял  2.1),  диэяри  хяттин  рянэини 

(ъядвял  2.2),  ахырынъы  ися  гойулан 



гойулан



  нюгтялярин  типини  верир  (ъядвял 

2.3).  Бу  маркерлярин  щамысыны  эюстярмямяк  дя  олар.  Маркерлярин  йерляшмя 

ардыъыллыьынын ящямиййяти йохдур, йяни 'r+-' вя  '-+r' ейни нятиъяни верир. 

 

Ъядвял 2.1 

Хяттин типини верян маркерляр 

 

Маркер 

- 

-- 

: 

-. 

Хяттин типи  Кясилмяз 

Штрих 

Пунктир 

Штрихпунктир 

 

 

42 

 

Ъядвял 2.2 

Хяттин рянэини верян маркерляр 

 

Маркер 

Хяттин рянэи 

Маркер 

Хяттин рянэи 

c 

Мави 

g 

Йашыл 

m 

Бянювшяйи 

b 

Эюй 

y 

Сары 

w 

Аь 

r 

Гырмызы 

k 

Гара 

 

Ъядвял 2.3 

Нюгтялярин типини верян маркерляр 

 

Маркер 



 

+ 

* 

о 

х 

Нюгтянин типи 

Нюгтя  Плйус  Улдуз  Даиряъик  Хач  

 

 

 

 

 

 

 

     1.  Qrafiklərin  bir  pəncərədə  qurulması.      y

1

=x

2

  və  y

2

=sin(5x) 

funksiyalarının qrafiklərini bir pəncərədə quraq (şək.2.2). 

     Misal 2.5. 

     

 

 

Şəkil 2.2 

 

 

43 

 

     Düyün  nöqtələri  düz  xəttlərlə  birləşdirilmişdir.  Dəqiqliyi  artırmaq  üçün  x 

arqumentinin dx=0.2 diskretləşdirmə addımını  kiçiltmək lazımdır.  

     Yeni  qrafiki  yeni  pəncərədə  qurmaq  üçün 

plot  əmrindən  əvəl  figure(2) 

əmrini daxil etmək lazımdır: 

      

>>figure(2); plot(x,y); 

     İki  qrafiki  bir  pəncərədə  qurmaq  üçün    hold  on  əmrindən  istifadə  olunur 

(şəkil 2.3): 

        

            

 

 

Şəkil 2.3 

 

     Analoji nəticəni 

plot(x,y,x,z) əmrinin köməyi ilə də almaq olar. 

     2.  Qrafiki  qurulan  funksiyaya  məhdudiyyət  verilməsi.            Bəzi  hallrda 

qrafiki qurulan funksiya x arqumentinin müəyyən qiymətlərində olduqca böyük 

qiymət  alır.  Məsələn,  ikinci  tərtib  kəsilmə  baş  verir.  Şkala  bu  qivmətə 

uyğunlaşdığından  funksiya  lazımi  tərzdə  vizuallaşa  bilmir.  Funksiyanı 

məhdudlaşdırsaq  bu  çatəşmamazlığı  aradan  qaldırmaq  olar.  Lazım  olarsa  

arqumentin qrafikə çıxarılan qiymətini də (absis oxunu) məhdudlaşdırmaq olar. 

     Aşağıda Matlab proqramının teksti göstərilmişdir: 

 

x=0:01:x

1

; y=f(x);plot(x,y), xlim([x

min

  x

max

]), ylim([y

min

 y

max

]). 

x

max



1

. 

     Misal 2.6. 

 

     >>  % Qrafikin qurulması 

   

 

 

 

44 

 

 

 

Şəkil 2.4 

 

 

 

Şəkil 2.5 

 

     Funksiyanın 

məhdudlaşdırılması 

tg(x) 

qrafikinin 

normal 

vizuallaşdırılmasına səbəb oldu. 

     Koordinat oxlaının miqyasının dəyişdirilməsi:

 axis([x

min

, x

max

, y

min

, y

max

]). 

     3.Parçada  verilmiş  funksiyaların  qrafiki.          Üç  hissədən  ibarət  olan 

funksiyanın qrafikini quraq: 

 

45 

 







































.

2

,

sin

;

,

;

2

,

sin

)

(

3



















x

x

x

x

x

x

x

y

                        (2.1) 

     Əvvəlcə hər üç budağı,  yəni  üç  cüt  (x1,y1),(x2,y2) və (x3,y3) massivlərini 

hesablamaq lazımdır. Sonra absisləri x, fuksiyaları isə y vektorunda birləşdirib, 

(x,y) cütünün xarakterizə etdiyi əyrinin qrafiki qurulur. 

     Misal 2.7. 

 

     

 

 

     Şəkil 2.6-da (2.1) ifadısinə uyğun gələn parçada verilmiş (və ya hissə-hissə) 

y(x) funksiyasının qrafiki göstərilmişdir. 

 

Şəkil 2.6 

 

     4.Parametrik  şəkildə  verilmiş  funksiyanın  qrafiki.          Bu  tip  funksiya 

aşağıdakı şəkildə verilir: 

 

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

 

46 

 

).

(

)

(

),

(

)

(

2

1

t

t

y

t

t

x









                                  (2.2) 

 

y=f(x)  aslılığının qrafikini qurmaq tələb olunur.t parametrini birinci tənlikdən 

tapıb  (əgər  bu  mümkündürsə)  ikincidə  yerinə  yazsaq  y=f(x)  funksiyasının 

analitik ifadəsini ala bilərik.  

     Lakin Matlabda qrafik qurmaq üçün daha konstruktiv üsul məvcuddur. 

     Əvvəlcə  t  arqumentinin  (parametr,  burada  zaman)  qiymətlər    vektoru 

generasiya olunur. Sonra x(t) və y(t) funksiyaları hesablanır. Məhz bu vektorlar 

plot -un arqumentləri rolunda çıxış edirlər. 

     Misal 2.8. Fərz edək,ki x(t)=0.5sin(t),  y(t)=0.7cos(t),  

].

2

,

0

[





t

 

 

 

 

     Şəkil 2.7-də (2.2) formasında verilmiş funksiyanın qrafiki göstərilmişdir. 

 

Şəkil 2.7 

 

      5. Eyni zamanda bir-neçə qrafiki pencərənin açılması.      Bu əməliyyat 

müxtələf qrafiklərin  yığcam  şəkildə vizuallaşdırılması  məqsədi  üçün nəzərdə 

tutulmuşdur.  Bu  məqsədlə  pəncərələri  matris  şəklində  yerləşdirməyə  imkan 

verən  üç  parametrli  subplot(i,j,n)  əmrindən  istifadə  olunur.Burada  i,j-

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

 

47 

 

pəncərələrin vertikal və horizontal üzrə sayı (matrisin sətir və sütunlarin sayı), 

n-cari  çap  olunacaq  qrafikin  nömrəsədir.  Hər  bir  subplot(i,j,n)    ünvanından      

sonra  vizuallaşdırma  əmrini  yazmaq  lazımdır  (məsələn,  plot(.)  və  ya 

ezplot(.),...) 

     Misal 2.9. Sadə misala baxaq. 

1) 

         

 

 

    

    

 

Şəkil 2.8 

      2) 

       

 

 

48 

 

 

 

Şəkil 2.9 

 

     

6.  Qrafiklərin  müxtəlif  pəncərələrdə  qurulması.          Müxtəlif 

avtonom qrafiki pəncərələr açmaq üçün figure əmrindən istifadə olunur. 

     Misal  2.10.  y=5sin(2x)e

-0.3x

,  z=10cos(12x

0.4

)  funksiyalarının  qrafiklərini 

müxtəlif pəncərələrdə quraq. 

 

 

 

     

 

 

Şəkil 2.10 

 

     

7.  Simvolik  şəkildə  verilmiş  fuksiyanın  qrafiki.  Qrafik  ezplot(.) 

 

49 

 

funksiyasının köməyi ilə qurulur: 



 

ezplot(f)  -f(x)  funksiyasının  qrafikini 



x

[2pi,-2pi]  intervalında 

qurur; 



 

ezplot(f,x

min

,x

max

)  -f(x)  funksiyasının  qrafikini  verilmiş 



x

[x

min

,x

max

] intervalında qurur; 

      Misal 2.11. f=sin(x) funksiyasının qrafiki. 

 

     

 

 

     Şəkil 2.11-də müvafiq qrafik göstərilmişdir. 

 

 

Şəkil 2.11 

 

     Misal 2.12.  -3

2

-y

2

-1=0 parabolasının qrafiki. 

 

     

 

 

 

50 

 

 

Şəkil 2.12 

 

      

2.2.2.Üçölçülü qrafiklərin qurulması 

 

      Fəza qrafiki 

plot3(.) funksiyasının köməyi ilə qurulur. 

      Misal 2.13.  

      1) 

      

 

 

Şəkil 2.13 

     2)  x,y  arqumentlərinin  [-4;4]  intervalında  h=0.1  addim  ilə  z=lnx+lny 

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

x

2

-y

2

-1 = 0

0

10

20

30

40

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

 

51 

 

funksiyasının qrafikini quraq.