H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

Şəkil 4.6. Aproksimasiya dəqiqliyini yoxlamaq üçün 

                        Bode (tezlik) və keçid (zaman) xarakteristikaları 

 

Şəkildən  göründüyü  kimi,  aproksimasiya  dəqiqliyini  qənaətbəxş  hesab 

etmək olar.  

 

     

4.3. Xəttiləşdirmə 

 

Real  idarəetmə  obyektləri  və  sistemləri  adətən  qeyri-xətti  diferensial 

tənliklərlə  yazılırlar.  Belə  obyektlərin  tədqiqatını  və  idarəetmə  sisteminin 

sintezini asanlaşdırmaq məqsədi ilə qeyri-xətti modelləri hər hansı bir tarazlıq 

nöqtəsinin kiçik ətrafında xəttiləşdirirlər. Obyektin tarazlıq nöqtəsindən meyli 

nə qədər kiçik olarsa, xəttiləşdirilmiş tənlik də bir o qədər dəqiq olar. Sənayedə 

və  texnikada  istifadə  edilən  obyektlər  adətən  tarazlıq  (işçi)  nöqtəsinin  kiçik 

ətrafında  işlədiyindən  praktiki  tətbiqlərdə  xəttiləşdirmə  özünü  çox  vaxt 

doğruldur.  

Xəttiləşdirmənin riyazi əsasını çoxdəyişənli qeyri-xətti 

)

x

(

f

 funksiyasının 

0

x  nöqtəsinin kiçik ətrafında Teylor sırasına ayrılması və birdən böyük tərtibli 

toplananların nəzərdən atılması təşkil edir: 

)

x

x

(

x

f

)

x

,

,

x

,

x

(

f

)

x

,

,

x

,

x

(

f

0

i

i

x

x

x

x

n

1

i

i

0

n

20

10

n

2

1

0

n

n

1 0

1

























. 

Bu ifadə vektor şəklində: 

.

x

k

)

x

(

f

)

x

(

f

0







                                      (4.6)        

Burada  

 

80 

 

)

x

,

,

x

,

x

(

n

2

1





x

,     

0

0

x

x

x

x

x

k

i

i

n

2

1

т

x

f

,

,

x

f

,

x

f

f



















































, 

































0

n

n

20

2

10

1

x

x

x

x

x

x



Δx

. 

İfadə (4.6) bucaq əmsalı k olan müstəvinin tənliyidir. 



x 



 sürüşdürülmüş dəyişəndir, yəni 

0

x  nöqtəsindən meyletmədir.  

 

4.3.1. Giriiş-çıxış formasında olan dinamika 

          

tənliklərinin xəttiləşdirilməsi 

 

Belə  tənlik  tənliklər  sistemindən  ibarət  olmayıb  yalnız  n-tərtibli  bir 

diferensial tənlikdən ibarətdid.  

Sadəlik üçün 

2

n



, 

1

m



, 

0

r



 qəbul edib 

0

)

,

f

,

f

;

,

u

,

u

;

,

y

,

y

(

F















 

dinamika  tənliyinin  sol  tərəfini  çoxdəyişənli  cəbri  funksiya  kimi 

s

s

s

f

,

u

,

y

 

tarazlıq  nöqtəsinin  ətrafında  Teylor  sırasına  ayırsaq  və  dəyişənlərin  vahiddən 

böyük qüvvətlərini qalıq 

R

 həddinin tərkibinə daxil etsək, alarıq: 















































































u

u

F

y

y

F

y

y

F

y

y

F

)

f

,

u

,

y

(

F

)

(

F

s

s

s

s

s

s













Δ

Δ

Δ

Δ

s

 

0

)

f

,...,

y

,

f

,

u

,

y

(

R

f

f

F

u

u

F

s

s

s









































Δ

Δ

Δ

Δ

s

s





 . 

    (4.7)       

Burada 

s

y

y





Δy

, 

s

u

u

u





Δ

, 

s

f

f





Δf

  və  tarazlıq  nöqtəsində 

s

y

 =0, 

s

y

=0, 

s

u =0 olduğundan Δ

,

y

y











 Δ

,

y

y







 Δ

.

u

u







 

Qarşısında 



  işarəsi  olan  dəyişənlər  kiçik  kəmiyyətlər  olub  meyl  və  ya 

sürüşdürülmüş  (tarazlıq  nöqtəsinə)  koordinatlar  adlanır.  (4.7)  tənliyində 

stasionarlıq  şərtinə  əsasən 

0

)

f

,

u

,

y

(

F

s

s

s



  olduğundan  meyillərdə  yazılmış 

xəttiləşdirilmiş tənlik:   

.

f

m

u

b

u

b

y

a

y

a

y

a

0

1

0

2

1

0

































 

Burada sabit əmsallar 

s

2

s

1

s

0

y

F

a

,

y

F

a

,

y

F

a





























































,                           (4.8)        

 

81 

 

s

0

s

1

s

0

f

F

m

 

,

u

F

b

,

u

F

b

























































 . 

Törəmələrin  tapılmış  ifadələrində  dəyişənlərin  yerinə  tarazlıq  nöqtəsinin 

0

y

s







, 

0

y

s





, 

0

u

s





, 

s

y

y



, 

s

u

u



, 

s

f

f



  qiymətlərini  yazsaq əmsalların 

konkret qiymətini taparıq. 

Xəttiləşdirməni qeyri-aşkar  

0

)

,

f

,

f

;

,

u

,

u

;

,

y

,

y

(

F















 .                           (4.9)                     

və  ya  aşkar  şəkildə  verilmiş  diferensial  tənliklərə  tətbiq  etdikdə  buradakı 













,

f

,

f

;

,

u

,

u

;

,

y

,

y

 dəyişənləri 



,

x

,

x

,

x

3

2

1

 rolunda çıxış edirlər. Bu halda 

)

(

F



  və 

)

(





  diferensial  tənliklərinə  cəbri  ifadələr  kimi  baxılır. 



,

x

,

x

20

10

 

rolunda çıxış edən tarazlıq nöqtəsinin koordinatları 

0

)

f

,

u

,

y

(

F



və ya 

f)

(u,

y





                                          (4.9a) 

 statika tənliklərindən təyin edilir. Birölçülü sistemdə iki 

f

,

u

 giriş və bir çıxış 

y  olduğundan tənlik bir, dəyişənlər isə üçdür. Bunlardan ikisini verib o birisini 

tapırlar. Məsələn, 

f

 həyəsanlandırıcı təsirin nominal (işçi) 

s

f  və 

u  idarəsinin 

səmərəlilik  baxımdan  seçilmiş 

s

u   qiymətlərini  tənlikdə  yerinə  yazıb 

s

y  

tarazlıq nöqtəsinə uyğun gələn çıxışın qiymətini tapmaq olar. Və ya 

s

y  və 

s

f -i 

verib obyekti tarazlıqda  saxlayan 

s

u   idarəsini  tapmaq  olar.  Deməli,  birölçülü 

obyektlərdə  stasionar  (qərarlaşma)  nöqtəsi  üç  koordinatla  xarakterizə  olunur, 

)

f

,

u

,

y

(

A

s

s

s

.    

Qərarlaşmış rejimdə törəmələrin qiyməti sıfra bərabər olduğundan bunlara 

uyğun olan sürüşdürülmüş dəyişənlər: 

y

y

s









, 

y

y

s













 ,  , 

u

u

s









, 

u

u

s













 ,  , 

f

f

s









, 

f

f

s













 . 

Xəttiləşdirmənin  həndəsi  mənası  oordinat  başlanğıcını  tarazlıq  nöqtəsinə 

paralel        sürüşdürüb yeni koordinat sisteminin kiçik işçi oblastında səthin 

hipermüstəvi  ilə  aproksimasiya  olunmasından  ibarətdir.  İki  ölçülü  halda  əyri 

toxunan ilə əvəz olunur. 

 Şəkil 4.7-də statik hal üçün xəttiləşdirmənin həndəsi təsviri göstərilmişdir. 

 

 

82 

 

 

 

Şəkil 4.7. Statik hal üçün xəttiləşdirmş 

 

Törəmələri  olan  dəyişənlər  üçün  tarazlıq  nöqtəsinin  koordinatları  sıfıra 

bərabər  olduğundan  sürüşdürülmə  yalnız  y, u  və  f  koordinatlarına  nəzərən 

yerinə yetirilir. 

Misal 4.8. Van-der-Pol tənliyinin xəttiləşdirilməsinə baxaq. 

Obyektin tənliyi aşağıdakı şəkildə verilmişdir: 

f

u

2

y

y

)

1

y

(

y

2



















 



f

u

2

y

y

)

1

μ(y

y

F

2



















. 

Xüsusi törəmələri tapırıq: 

       



0

a

,

1

y

F









  



1

a

)

1

μ(y

y

F

2











,  



2

a

1

y

y

2

y

F













,  

,

2

u

F

b

0











  

.

1

f

F

m

0











 

0

y







, 

0

y





 qiymətlərində statika tənliyi:   

                                        

0

f

u

2

y







 

xətti şəkildə alınır. Bu tənlikdə 

5

.

0

u

s



, 

2

.

0

f

s



 qəbul etsək, taparıq 

2

.

1

y

s



. 

0

y

s





  qiymətində  (4.8)-ə  əsasən  əmsallar: 

1

a

0



, 

44

.

0

a

1



μ , 

1

a

2



; 

2

b

1





, 

1

m

0





. Beləliklə, xəttiləşdirilmiş tənlik 

 

f

u

2

y

y

0.44μ

y

























.  

Burada 

                      

,

y

y













  , 

,

y

y









, 

,

2

.

1

y

y







 , 

,

5

.

0

u

u







 

.

2

.

0

f

f







 

Misal 4.9. Riyazi rəqqasın 









sin

k





, 



g

k



, tənliyini xəttiləşdirək. Bu 

halda statika tənliyi: 

0

sin

k





. Buradan tarazlıq nöqtəsinin koordinatı 

0

0





rad. Yəni rəqqasın müvazinət halı vertikal xətt üzrədir. Bu halda 









sin

k

F





 

83 

 

. Xəttiləşdirilmiş tənliyin əmsalları: 

 



0

a

1

F

s

























,  



1

a

0

F

s























,  



2

a

k

cos

k

F

0

s





























. 

 

0

s









, 

0

s







 olduğunu nəzərə alsaq, xəttiləşdirilmiş tənlik: 









k





. 

    Şəkil  4.8.-də 



sin

  qeyri-xətti  funksiyasının 



  ilə  approksimasiyası 

göstərilmişdir. 

 

Şəkildən göründüyü kimi, belə yaxınlaşma 

4

4













 intervalında qəna-

ətbəxş hesab oluna bilər. Məsələn, rəqqasın xətti modelinin tarazlıq nöqtəsinin 

523

.

0



rad. (

o

30



) intervalında doğurduğu rəqslər qeyri-xətti tənliklə yazılan 

həqiqi rəqqasın rəqslərindən cəmi 2% fərqlənir.   

Misal 4.10. Daha sadə olan başqa bir misala baxaq. Obyektin qeyri-xətti 

tənliyi 

f

2

yu

3

y







 

şəklində  verilmişdir.  Bu  halda 

f

2

yu

3

y

F









.  Xəttiləşdirilmiş  tənliyin 

əmsalları: 



0

a

1

y

F

s





















, 



1

a

s

u

u

s

u

3

y

F





















, 



0

b

s

y

y

s

y

3

u

F





















, 



0

m

2

f

F

s





















. 

Əvvəldə olduğu kimi, tarazlıq nöqtələrinin  koordinatlarını 

u

f

3

2

y



 

statika tənliyindən tapırıq. Fərz edək ki,  həyəcanlandırıcı təsirin nominal  qiy-

Şəkil 4.8. Xətti approksimasiya 

(yaxınlaşma) 

 

84 

 

məti 

1

f

s



,  çıxış  kəmiyyətinin  işçi  qiyməti  isə 

5

.

0

y

s



.  Onda 

3

/

4

u

s



.  Bu 

qiymətləri  əmsalların ifadələrində  yerinə  yazsaq, alarıq: 



0

a

1, 



1

a

4 , 



0

b

5

.

1

, 



0

m

2



. 

Xəttiləşdirilmiş tənlik: 

f

2

u

5

.

1

y

4

y



















. 

 

Burada  

y

y









,  

5

.

0

y

y







,  

3

/

4

u

u







,  

1

f

f







. 

Misal 4.11. Aşağıda obyektin xəttiləşdirilməsinə baxaq: 

 

2

u

3

1

y

dt

dy







. 

                              (4.10)           

Fərz  edək  ki,  idarə 

2

u



  işçi  nöqtəsinin  ətrafında  dəyişir.  Çıxışın  qərar-

laşmış qiymətini 

0

dt

/

dy



 qiymətində stasionarlıq şərtindən tapırıq: 

0

u

3

1

y

2









0

3

4

y









9

16

y

s



. 

Deməli,  ilkin  diferensial  tənliyin  xəttiləşdirilmiş  həlli 

7

.

1

y

s



, 

2

u

s



 

nöqtələrinin  kiçik  ətrafında  axtarırlar.  Əgər  giriş 

2

u

s



  qiymətindən  çox 

fərqlənirsə, xəttiləşdirmə xətası artacaqdır.  

Tənlik  (4.10)-u  (16/9,  2)  nöqtəsinin  ətrafında  Teylor  sırasına  ayırsaq, 

alarıq: 

u

u

3

2

y

y

2

1

dt

y

d

s













. 

İşçi  nöqtənin  koordinatlarını  yerinə  yazsaq,  xəttiləşdirilmiş  tənliyi  almış 

olarıq:  

u

3

4

y

8

3

dt

y

d













.                                (4.11)               

Burada  sürüşdürülmüş  koordinat  və  ya  dəyişənlər 

u

9

16

y

y









, 

2

u

u







.  Xəttiləşdirmə  dəqiqliyini  təhlil  etmək  üçün  qeyri-xətti  (4.10) 

modeli  ilə  (4.11)  xəttiləşdirilmiş  modelin  həlləri  girişin 

2

u



  qiymətindən 

getdikcə  artan  qiymətlərində  və 

5

.

1

)

0

(

y



  başlanğıc  qiymətində  müqayisə 

olunmuşdur. 

Şəkil 4.9-da həllin qrafikləri göstərilmişdir.  

 

85