H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

     Matlab funksiyası: A=diag([a

11

;

 

a

22

; ...; a

nn

]). 

     

 

     Baş diaqonaldan kənarda olan diaqonalı doldurmaq üçün lki arqumentli 

diag(d, k) funksiyası nəzərdə tutulub. k kənar diaqonalın baş liaqonaldan nə 

qədər sağda (yuxarıda), -k isə solda (aşağıda) yerləşməsini təyin edir. 

     

 

 

     10.Vahid matris-diaqonal elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris. 

İ ilə işarə olunur. 

 

147 

 

.

0

0

1

0

0

1

,

1

0

0

0

1

0

0

0

1













































I

I

 

     Matlab funksiyası: 

İ=eye(n,m). 

     

 

     11. Sıfır matris- bütün elementləri sıfra bəraər olan matris. 

 

.

0

0

0

0

0

0















A

 

     Matlab funksiyası: 

A=zeros(n,m). 

     

 

     12. Seyrək matris- kifayyət qədər çoxlu sıfırları olan matris. 

.

0

0

6

0

1

0

0

0

0

























A

 

     Matlabda  seyrək matrisdə sıfırdan fərqli elementlərin  yerləşmə sxemini və 

sayını təyin etmək üçün spy(A) funksiyasından istifadə olunur (Şəkil 6.1).  

 

148 

 

 

Şəkil 6.1 

 

Şəkildən göründüyü kimi, elementlərdən biri a

22

 (-1), digəri isə a

31

 (6) yerləşir. 

Sıfra bərabərolmayan elementlərin sayı şəklin altında göstərilmişdir nz=2. 

     

13. Yalnız vahidlərdən tərtib olunmuş matris. 

 

.

1

1

1

1

1

1

1

1

1























E

 

     Mftlab funksiyası: 

).

,

( m

n

ones

E



 

     

 

 

     14. Təsadüfi elementlər matrisi. 0 və 1 intervalında 

bərabər paylanmış 

təsadüfi ədədlər almaq üçün rand(n,m),normal paylanma üçün isə randn(n,m) 

funksiyalarından istifadə olunur.Generasiya

)

,

(

*

)

(

0

0

m

n

randn

D

sqrt

m

R





düsturundan istifadə etməklə aparıla bilər.m

0

-orta qiymət (riyazi gözləmə), D

0

-

dispersiya, 







0

0

)

(

D

D

sqrt



orta kvadrik myiletmə. 

 

149 

 

     

 

 

     

 

 

 

150 

 

 

Şəkil 6.2 

 

     Təsadqfi  ədədlərin  hansı  paylanma  qanununa  malik  olduğunu  əyani 

müşahidə  etmək  üçün    təsadüfi  nəqtələri  (X,Y)  müstəvisində    yerləşdirmək 

lazımdır.  

 

      

 

 

 

Şəkil 6.3 

 

     Göründüyü  kimi,  təsadüfi  nöqtələr  müstəvidə  kifayyət  qədər  bərabər 

paylanmışlar. 

      15. Bloklu matris. Bu tip matris daha aşağı ölçülü matrislərdən ibarət olur: 

 

151 

 

 

Fərz edək ki, 

 

.

10

1

9

8

,

3

3

3

3

,

5

0

0

2

,

4

1

4

1

































































E

D

C

B

 

 

Matlabda bloklu matrisin qurulması: 

 

 

     Blokun ayrılması. Fərz edək ki, A matrisində  

 

 

 

blokunu  ayırmaq  tələb  olunur.  Bu  blok    3  və  4-cü  sətirlər  ilə  2  və  3-cü 

sütunların kəsişməsində yerləşdiyindən yazmaq olar: 

     

 

     Ayırdığımız bloku sıfırlaşdıraq: 

 

152 

 

     

 

16.Tərs matris- skalyardan fərqli olaraq matrislər üçün bölmə əməliyyatı 

olmadığında n tırs matrisə vurma əməliyyatından istifadə olunur.A matrisinin 

tərsi A

-1

və ya inv(A) kimi işarə olunur: 

.

|

|

)

(

1

A

A

adj

A





 

adj(A)- birləşdirilmiş matris adlanır: 

 

.

...

...

...

)

(

2

1

2

22

21

1

12

11

T

nn

n

n

n

n

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

adj





































 

 

Burada A

ik

 matrisi a

ik

 elementinin cəbri tamamlayıcısıdır: 

.

)

1

(

ik

k

i

ik

M

A







 

M

ik

- a

ik

 elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan 

matrisin təyinedicisi). 

     Məsələn,  



























2

1

5

0

7

2

1

3

4

A

 

matrisinin a

21

=2 elementinin minoru  

,

7

2

1

1

3

21







M

 

 

cəbri tamamlayıcısı isə A

21

=(-1)

2+1

7=-7. 

     Aşağıda Matlabda tərs matrisin alınmasının iki üsulu göstərilmişdir. 

 

153 

 

 

     17. Cırlaşan (məxsusi) matris- təyinedicisi (determinanantı) |A|=0 bərabər 

olan  matris.Matlabda  matrisin  determinantını  tapmaq  üçün    det(A) 

funksiysından istifadə olunur. 

     

 

     18. Müsbət (mənfi) müəyyən matris- əgər simmetrik (n=m) A matrisi x≠0 

vektoru üçün (yəni həm mənfi, həm də müsbət qiymətləri üşün) 

0

)

(





Ax

x

T

şərtini ödəyirsə belə matris müsbət (mənfi) müəyyən matris adlanır. Simvolik 

olaraq A> 0(A< 0) kimi işarə molunur.Bu anlayış Lyapunov və Hurvis üsulları 

ilə dayanıqlığı təyin etdikdə və idarəetmənin digər sahələrində istifadə olunur. 

     Matrisin müsbət müəyənliyini aşağıdakı şərtlərdən biri ilə yoxlamaq olar: 

     -matrisin  bütün  baş  (diaqonal)  minorları  (determinantları  və  ya 

təyinediciləri) sıfırdan böyük olmalıdır, M

ii

 >0, i=1,2,...,n (Silvester şərti); 

     -det(λİ-A)=0  xarakteristik  tənliyinin  əmsalları  sıfırdan  fərqli  olub 

növbələşən işarəyə malik olmalıdır; 

     -matrisin  məxsusi  ədədlərinin  (det(λİ-A)=0  xarakteristik  tənliyinin  kökləri)  

həqiqi hissəsi sıfırdan böyük olmalıdır, Re(λ

i

) >0. 

      Matlabda matrisin məxsusi ədədlərini təyin etmək üçün 

 

154 

 

eig(A)funksiyasından istifadə olunur. 

     

 

 

     Re(λ

1

)  <0,  Re(λ

1

)  <0  olduğundan  baxılan  matris  müsbət  müəyyən  matris 

deyil. 

     19.  Keçid  matrisi  -  xətti  diferensial  tənliklər  sisteminin  Koşi  düsturuna 

əsasən analitik həllini almaq üçün istifadə olunur:  

Ax

dt

dx



/

.  x(t

0

)=x

0

. 

     Həll    

                                                  

.

)

(

0

)

(

x

e

t

x

0

t

-

t

A



 

     Burada 



t

A

e

 keçid matrisi və ya matris eksponentası adlanır 

və aşağıdakı bircins xətti matris diferensial tənliyinin həllidir: 

,

/

)

(

A

dt

t

dФ



   

,

)

0

(

I

Ф



 

Doğrudan  da 

At

At

dt

d

e

А

e



/

olduğundan 

At

t

e





)

(

– 

-ölçülü 

matris tənliyin həllidir, I- n ölçülü vahid matrisdir. 

Alınmış nəticədə t=t-t

0

 yazmaq lazımdır. 

 

Keçid matrisinin təyin olunma üsulları 

 

1.Tərs Laplas çevirməsinə əsaslanan üsul. 

Mühəndis  praktikasında 

-nin  hesablanmasının  konstrutiv 

üsullarından biri də tərs Laplas çevirməsinə əsaslanır: 

 . 

Burada  

 - rezolventa adlanır. 

2.Bilavasitə matris tənliyin həlli   

n)

(n



At

e

]

)

s

[(

L

e

1

1

At









A

I

R

A

I





s

 

155 

 

,   

. 

Axtarılan (

) ölçülü 

 matrisi keçid matrisidir, yəni  

. 

Matlabda realizasiya 

1.Tərs Laplas çevirməsinə əsaslanan üsul. Bu üsulun nəzəri əsasını 

 

düsturu  təşkil  edir.  Bu  halda  inv(



)  (tərs  matris)  və  ilaplace  (tərs  Laplas 

çevirməsi) funksiyalarından istifadə olunur.  

     

 

2.

 funksiyası.  Bu funksiyanın köməyi ilə 

 matrisinin verilmiş 

  zaman  anında  elementlərinin  ədədi  qiymətini  və  analitik  ifadəsini  təyin 

etməyə imkan verir. 

Aşağıda 

 qiyməti üçün proqramın realizasiyası göstərilmişdir.  

     

 

Aşağıda 

  eksponensial  matrisin 

















2

0

1

0

A

  matrisi  üçün  simvolik 

(analitik) təyin olunmasının proqramı göstərilmişdir.  

)

t

(

dt

)

t

(

d







A

I





)

0

(

n

n



)

t

(



At

e

)

t

(





]

R

[

L

e

1

1

At







)

expm(



At

e

t

5

.

1

t

k



At

e

 

156 

 

     

 

Hiperbolik  sinus 

  olduğunu  nəzərə  alsaq  həll  əvvəlki 

ilə eyni alınmışdır. t

0

≠0 olarsa nəticədə t=t-t

0

 yazmaq lazımdır. 

 

6.4. 

Matrisin elementlərinə müraciət olunması 

 

Mатрисин елементинин айрылмасы цчцн ашаьыдакы ямрлярдян истифадя олунур: 

)

,

( j

i

A

 



  и-ъи сятрин ж-ъи сцтунундакы елементин айрылмасы; 

:)

,

(i

A

 



  и-ъи сятрин айрылмасы; 

)

(:, j

A

 



  ж-ъи сцтунун айрылмасы.  







m

n

A

















,

,

,

),

:

,

:

(



,



sətirləri  və 



,



sütunları  ilə 

məhdudlaşan blok. 

     Bu əməliyyatları 



























2

1

5

0

7

2

1

3

4

A

 

matrisinin misalında yerinə yetirək. 

1.  a

ij

 elementinin çağırılması: A(i,j). 

 

    

2

/

)

e

e

(

t

sinh

t

t







 

157 

 

      Elementin  korreksiya  olunması  (dəyişdirilməsi).  Aşağıda  A(3,2)=1 

elementinin korreksiya olunub 3-ə bərabər qəbul olunması göstərilmişdir.  

 

     

 

 

     

 

 

158 

 

      

 

       

 

 

 

 

6.5. Matrisin ölçüsünün təyin olunması və elementləri  

       

üzərində əməliyyatlar 

 

MатLAB  системиндя  матрис  вя  йа  вектор  шяклиндя  верилмиш  верилянлярин 

емалы цчцн нязярдя тутулмуш бир сыра функсийалар mövcuddur:  

1)

)

( A

size

- функсийасы A матрисинин сятир n вя сцтунларынын m сайынын (yəni 

ölçüsünü) тяйин едиr. Nəticıdə 

]

,

[

m

n

 векторуну alınır 

2)

)

(a

max

-  функсийасы  a  векторунун  елементляринин  гиймятляри  арасында 

максимал оланы сечир. Яэяр онун аргументи матрисдирся,  

)

( A

max

 функсийасы A 

матрисинин щяр бир сцтун цзря максимал елементлярини сечир вя нятиъядя вектор-

сятир алыныр.  

3)

)

(a

min

-  функсийасы  a  векторунун  елементляринин  гиймятляри  арасында 

минимал  оланы  сечир.  Яэяр  онун  аргументи  матрисдирся, 

)

( A

min

  функсийасы  A 

 

159 

 

матрисинин щяр бир сцтун цзря минимал елементлярини сечир вя нятиъядя вектор-

сятир алыныр.  

4)-

)

(a

mean

  функсийасы  a  векторунун  елементляринин  орта  гиймятини 

щесаблайыр.  Яэяр  онун  аргументи  матрисдирся, 

)

( A

mean

  функсийасы  A 

матрисинин  щяр  бир  сцтун  цзря  елементляринин  орта  гиймятини  щесаблайыр  вя 

нятиъядя вектор-сятир алыныр.  

5)-

)

(a

sort

  функсийасы  a  векторунун  елементлярини  онларын  артма  сырасы  иля 

дцзцр. Яэяр онун аргументи матрисдирся, 

)

( A

sort

 функсийасы A матрисинин щяр 

бир сцтун цзря елементлярини онларын артма сырасы иля дцзцр. 

6)-

)

(a

sum

  функсийасы  a  векторунун  елементляринин  ъямини  тапыр.  Яэяр 

онун аргументи матрисдирся, 

)

( A

sum

 функсийасы A матрисинин щяр бир сцтун цзря 

елементляринин ъямини тапыр вя нятиъядя вектор-сятир алыныр.  

7)-

)

(a

prod

  функсийасы  a  векторунун  елементляринин  щасилини  тапыр.  Яэяр 

онун  аргументи  матрисдирся, 

)

( A

prod

  функсийасы  A  матрисинин  щяр  бир  сцтун 

цзря елементляринин щасилини тапыр вя нятиъядя вектор-сятир алыныр. 

Гейд. 

n

m



 олдугда 

)

,

(

n

m

zeros

 явязиня 

)

(n

zeros

, 

)

,

(

n

m

ones

 явязиня 

)

(n

ones

, 

)

,

(

n

m

rand

 явязиня 

)

(n

rand

, 

)

,

(

n

m

eye

   явязиня  

)

(n

eye

  истифадя 

етмяк олар. 

Misallar. 

 

 

 

160 

 

 

 

 

 

6.6. Vektor və matrislər üzərində riyazi əməliyyatlar  

 

Векторлар  вя  матрисляр  цзяриндя  практики  олараг  ядядляр  цзяриндя  олан 

бцтцн ямялиййатлары йериня йетирмяк олар: топлама вя чыхма, вурма вя бюлмя, 

гцввятя  йцксялтмя,  квадрат  кюкалма  кими  елементар  функсийаларын 

щесабланмасы,  логарифмлярин  щесабланмасы,  тригонометрик  функсийаларын 

щесабланмасы.  Матрис операторлары демяк  олар ки, бцтцн  щесаби  операторлардыр. 

Бунлар ашаьыдакы ъядвял 6.1-дя эюстярилмишдир. 

 

161 

 

Ъядвял 6.1 

Matlab пакетиндя матрис операторлары ъядвяли 

Функси-

йалар 

Функсийаларын ады 

Оператор  Синтаксис  

plus  

Плйус (матрислярин 

топланмасы) 



 

B

A



 

minus

 

Минус (матрислярин 

чыхылмасы) 



 

B

A



 

times

 

Ядядляр массивинин 

element-element 

вурулмасы 

.*

 

B

A *

.

 

mtimes

 

Матрислярин вурулмасы 

*  

B

A*

 

mpower

 

Матрисин гцввятя 

йцксялдилмяси 

^  

Х

A^

 

power

 

Матрисин елементляринин 

щядбящяд гцввятя 

йцксялдилмяси 

.^  

Х

A.^