H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov
Yüklə 7,81 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- >> A=[1 2 5; 2 3 1; 2 1 4]; >> B=[2 0 3; 1 5 4; 3 3 1]; >> A.*B ans = 2 0 15
- 12 11 27 >> A.^2 ans = 1 4 25 4 9 1 4 1 16
- >> V1=[ 1 2 4 7]; >> V2=[-2 3 1 5]; >> V=V1+V2 V = -1 5 5 12 >> V=V1-V2
|
mrdivide
Матрислярин солдан саьа бюлцнмяси /
A /
mldivide Матрислярин тярсиня бюлцнмяси \
A \
rdivide Матрисин елементляринин щядбящяд солдан саьа бюлцнмяси / .
B A / .
ldivide
Матрисин елементляринин щядбящяд саьдан сола (тярсиня) бюлцнмяси \ .
B A \ .
Матрис ямялиййатларынын йериня йетирилмясиня мисаллар эюстяряк. Fərz edək ki, ашаьыдакы матрисляр верилмишдир: 4 1 2 1 3 2 5 2 1 A ,
1 3 3 4 5 1 3 0 2
Ъядвялдя верилмиш матрис функсийаларындан истифадя етмякля бу функсийалара уйьун ямялиййатлары Matlabda йериня йетиряк: 5 4 5 5 8 3 8 2 3 ) , ( B A plus C
3 2 1 3 2 1 2 2 1 ) , ( minus C B A
162
4 3 6 4 15 2 15 0 2 ) , ( B A times C
14 17 17 19 18 10 16 25 19 ) , (
A mtimes C
27 11 12 17 14 10 27 13 15 ) 2 , (A mpower C
16 1 4 1 9 4 25 4 1 ) 2 , ( A power C
1 . 0 26 . 0 02 . 1 7 . 0 18 . 0 14 . 0 5 . 0 7 . 0 9 . 0 ) , (
A mrdivide C
A / ямялиййаты 1 *
B A ямялиййаты иля еквивалентдир 0476
. 0 5714 . 0 3810 . 0 5714 . 1 1429 . 0 4286 . 0 3810 . 0 5714 . 2 9524 . 0 ) , (
A mldivide C
A \
ямялиййаты B A * 1
ямялиййаты иля еквивалентдир 4 3333 . 0 6667 . 0 25 . 0 6 . 0 2 6667 . 1 inf 5 . 0 ) , ( B A rdivide C
25 . 0 3 5 . 1 4 6667 . 1 5 . 0 6 . 0 0 2 ) , ( N М ldivide C
A \ .
ямялиййат ы
A / .
ямялиййат ы иля
еквивален тдир
Məsələn, Ax=b vektor tənliyinin həlli x=A -1 b, AX=B matris tənliyinin həlli isə X=A -1 B. Həllər soldan vurma əməliyyatı nəticəsində tapılmışdır. Skalyar halda 5/2(5:2)=2.5; 5\2(2:5)=0.4. Fунксийалар явязиня уйьун операторлардан da истифадя етmək olar. Мясялян,
163
>> A=[1 2 5; 2 3 1; 2 1 4]; >> B=[2 0 3; 1 5 4; 3 3 1]; >> A.*B ans = 2 0 15 2 15 4 6 3 4 >> A^2 ans = 15 13 27 10 14 17 12 11 27 >> A.^2 ans = 1 4 25 4 9 1 4 1 16 Аналожи ямялиййатлары векторлар цзяриндя дя апармаг олар. Буну мисал цзяриндя эюстяряк. Тутаг ки, ашаьыдакы кими ики вектор-sətir верилмишдир: >> V1=[ 1 2 4 7]; >> V2=[-2 3 1 5]; >> V=V1+V2 V = -1 5 5 12 >> V=V1-V2 V = 3 -1 3 2 >> V=V1.*V2 V = -2 6 4 35 >> V=V1.^2 V = 1 4 16 49 >> V=V1./V2 V = -0.5000 0.6667 4.0000 1.4000 >> V=V1.\V2 V = -2.0000 1.5000 0.2500 0.7143 Əməliyyatların əsas xassələri: 164
1. Cəmləmə əməliyyatı Vektor və matrislərin cəmi üçün aşağıdakı xassələr doğrudur: a) A+B=B+A - komutativlik; b) A+(B+C)+(A+B)+C - asosiativlik; c) A+0=0 . 1) vektor və matrislərin cəmləmə əməliyyatı elementlərin uyğun cəmlənməsindən ibarət olduğundan cəmlənən vektor və ya matrislərin ölcüləri eyni olmalıdır. A+B=[a ij ]+[b ij ]=[c ij ].
2. Vurma əməliyyatı Vektor və matrislərin hasili üçün aşağıdakı xassələr doğrudur: a) İ×A=A – vahid matrisə soldan vurma; b) A(BC)=(AB)C; c) (A+B)C=AC+BC; d) C(A+B)=CA+CB; İki matrisin hasili ümumi halda komutativ deyil: AB≠BA. Bu səbəbdən matris əməliyyatlarında soldan və sağdan vurma anlayışları mövcuddur. Misal. AB və BA hasillərini hesablayaq:
. 0 1 0 0 , 0 0 1 0
A
Həll: . 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 . 0 0 1 0 AB
. 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . 0 1 0 0 BA
Göründüyü kimi, nəticə eyni deyil.
165
2) vektor sətri vektor-sütuna vurma nəticəsində skalyar (ədəd) alınır: . 2 2 1 1 2 1 2 1
n n n T b a b a b a b b b a a a b a c
a b olarsa . ...
2 2 2 2 1
a a a c
3) vektor sütunu vektor-sətrə vurma nəticəsində matris alınır:
. ...
... ...
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n n T b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a ab c 166
4) matrislər üzərində vurma əməliyyatı apardıqda birinci A matrisinin sütunlarının sayı m ikinci B matrisinin sətirlərinin n sayına bərabər olmalıdır, yəni m=n ödənilməlidir. N×m ölçülü manrisi
ölçülü matrisə vurduqda n ölçülü matris alınır. 5) matrislər üzərində vurma əməliyyatı apardıqda birinci A matrisinin hər- bir a i sətri ikinci B matrisinin hər-bir b j sütununa vurulur.Yəni 2-ci bəndə olduğu kimi vektor sətrin vektor sütuna vurulması baş verir. Nəticədə alınmış ədəd c ij i-ci sətir ilə j-cu sütünun kəsişməsinə yazılır. ]. [ ... ...
... ...
... ...
... 2 1 2 22 1 12 11 2 2 22 1 12 2 1 1 12 11 ij n n n m m nm n n m c c c c c c c c c b b b b b b a a a a a a AB C 21 m1 21 11 2m 22 21 c b b b ...a a a Hesablama düsturu: . ,...,
2 , 1 ; ,...,
2 , 1 , 1
n i b a c kj m k ik ij
6) matrisi vektora vurduqda vektor alınır: c b A * . 167
7) vektor- sətri matrisə vurduqda vektor-sətir alınır: . *
T c A b
8) vektor- sütunu matrisə vurulma əməliyyatı təyin olumayıb ! 9) kvadratik matrisin özünün tərsi ilə hasili vahid matris verir. 10) matrisin sütünlar üzrə cəmlənməsi-s1=sum(A,1) . 168
11) matrisin sətirlər üzrə cəmlənməsi-s2=sum(A,2). Vurma funksiyası prod(.) (vurma) da eyni qaydada işləyir.
6.7. Matrisin əsas göstəriciləri 1. Kvadratik matrisin determinantı, |A|- det(A). 169
Determinantın hesablanmasının sadə üsllarından biri onun hər-hansı bir sətrin və ya sütunun (sıfır elementləri çox olan) elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına görə parçalayıb hər iterasiyada tərtibinin azaldılmasidır. Əvvəldə göstərildiyi kimi, a ik elementinin cəbri tamamlayıcısı: . ) 1 ( ik k i ik M A
ik - a ik elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan matrisin təyinedicisi).
2 1 5 0 7 2 1 3 4 A matrisinin a 21 =2 elementinin minoru , 7 2 1 1 3 21 M cəbri tamamlayıcısı isə A 21 =(-1)
2+1 7=-7.
Parçalama teoreminə əsasən yazmaq olar: n k A a A a A ki n i ki n i ik ik ,...,
2 , 1 , det
1 1 A ik –larin tərtibı 2-dən böyük olarsa onlara da ardıcıl olaraq yuxarıdıkı parçalanmanı tətbiq edərək hər-dəfə (iterasiyada) tərtibi 1 vahid azaltmaq olar. Misal 6.1. Fərz edək ki, 3×3 (n=3) matris verilmişdir:
.
8 7 7 2 4 4 0 1 2 4 4 3 0 3 6 A
Bu matrisin determinantını ikinci sütunun elementlərinə parçalamaqla hesablayaq. Bu halda i=1,2,3,4, k=2.Onda parçalama teoreminı əsasən:
170
Beləliklə . 7 4 4 3 042 421
603 7 785 421 603
4 785
042 603
4 785
042 421
3 det
42 32 22 12 M M M M A
Determinantlar (yəni M ik minorları) 3 ölçülü olduğundan və hesablanması cətinlik törətdiyindın onların ölçüsünü 1 vahid də azaldaq.Bu məqsədlə onları birinci sətirlərin elementlərinə nəzərən parçalayaq:
,
28 28 16 78 04 1 ) 1 ( 75 02 2 ) 1 ( 85 42 4 ) 1 ( 3 1 2 1 1 1 12
60 84 24 78 04 3 ) 1 ( 75 02 0 ) 1 ( 85 42 6 ) 1 ( 3 1 2 1 1 1 22
32 =66, M 42 =48.
Alınmış nəticələri det(A) ifadəsində yerinə yazsaq alarıq:det(A)=-216. Determinantın hesablanmasının ümumi və konstruktiv üsulu inversiya üsuludur. Bu üsula ısasən nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11
matrisinin determinantı aşağıdakı ifadənin köməyi ilə hesablanır:
. ,..., 2 , 1 , ... ) 1 ( det | | 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 n j a a a a a a a a a i a a A n ni j n i i nn n n n n
171
Burada
n i i i ...
2 1 ardıcıllığın inversiya ədədidir. n sayda ədədlərin yerdəyişmələrinin sayı n! bərabərdir.Məsələn, n=3 olarsa . 6 3 2 1 !
İnversiya ədədi əvvəlki ədədlərin sonrakı ədədlərin neçəsindən böyük olmasını göstərir.Məsələn, 123;231;312;321;132;213 yerdıyişmələrinin inversiya ədədləri uyğun olaraq ). 1 ; 1 ; 3 ; 2 ; 2 ; 0 (
Determinantın yuxarıdakı ifadəsinin sağ tərəfi hər-biri n sayda elementlərin hasilindən ibarət olan n! sayda cəmdən ibarətdir. Bütün cəmlərdəki elementlərin birinci indeksləri 1,2,...,n ədədlərindən ibarətdir. İkinci indeksləri isə
...
2 1 (yəni 12...n) ədədlərinin yerdəyişmələrindən ibarətdir.Cəmdə ardıcıl olmaya da bilər. Misal 6.2. Matris . 2 3 1 4 2 0 3 2 1
2 6 0 8 0 12 4 1 2 3 3 0 3 1 4 2 2 0 2 3 4 1 2 ) 2 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) det(
31 22 13 3 32 21 13 2 31 23 12 2 33 21 12 1 32 23 11 1 33 22 11 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a A
Yüklə 7,81 Mb. Dostları ilə paylaş:
|