H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

nbinpdf

 – Mənfi binomial paylanma  



 

ncfpdf

    – Fişerin qarışıq paylanması  



 

nctpdf    

– Styüdentin qarışıq paylanması  



 

ncx2pdf

 – Qarışıq xi-kvadrat paylanma  



 

normpdf

 –Normal paylanma  



 

poisspdf

 – Puasson paylanması  



 

mvnpdf

  – Çoxölçülü normal paylanma  



 

raylpdf 

  – Reley paylanması  



 

pdf 

         – Parametrləşdirilmiş paylanma  

а) 

б) 

 

132 

 



 

tpdf

        – Styüdent paylanması  



 

unidpdf 

 – Diskret bərabər paylanma   



 

unifpdf

   – Fasiləsiz bərabər paylanma  



 

weibpdf

  – Veybul paylanması  

     

Lazımı paylanmanı əldə etmək üçün Matlabın Helpinə daxil olub Statistics 

Toolbox bölməsində bu funksiyanı Search for: pıncərəsinə yazıb «Enter»-i clik 

etmək lazımdır: Help/F1 /Statistics Toolbox/... 

     2. Təsadüfi prosesin ehtimalların paylanma sixlığı funksiyasının 

qurulması. 

     Misal 5.14. Helpdən tapılmış eksponensial paylanma . Sintaksis 

Y = exppdf(X,mu). İfadəsi







x

e

x

f

y







1

)

,

(

. Burada paylanma yeganə bir µ 

(mu) parametrinə malikdir.Ümumi halda bir-neçə parametr ola bilər. Məsələn, 

normal 

Y  =  normpdf(X,mu,sigma)  paylanması  iki  µ-orta  və  σ-orta  kvadratik 

meyiletmə parametrə malikdir. İfadə 

.

2

1

)

,

,

(

2

2

2

)

(





















x

e

x

f

y

 

     Aşağıda eksponensial paylanma üçün ralizasiya göstərilmişdir. 

 

   

 

 

 

 

Şəkil 5.22. Eksponensial prosesin ehtimalların paylanma  

 

133 

 

sıxlığı funksiyasınin qrafiki 

 

      

 

 

Şəkil 5.23. Eksponensial təsadüfi prosesin histeqrammı 

 

    

Mühəndis  praktikasında  ən  çox  rast  gəlinən  paylanma  qanunları 

aşağıdakılardir: 

     1. Bərabər paylanma  qanunu: 

rand(n,m) – (0-1) interervalında  orta qiyməti 

m

0

= 0, dispersiyası D=1 olan  təsadüi ədədlər generasiya edir; 

     2. Normal (Qaus paylanması) paylanma: 

randn(n,m). 

     Ümumi halda 

).

,

(

*

0

m

n

rand

D

m

x





 

 

     Burada n,m-generasiya olunan  təsadüfi ədədlər matrisinin ölçüsüdür. 







D

orta kvadratik meyiletmə. 

     

Histeqrammların  qurulması.          Praktiki  məsələlərdə  təsadüfi 

kəmiyyətlərin  sayı  məhdud  olduğundan  onlar  üçün  ehtimalların  paylanma 

sıxlığı  funksiyasını  nəzəri  üsullarla  qurmaq  mümkün  olmadığindan  təqribi 

aproksimasiya olan histoqram qurulur. 

     Bu  məqsədlə 

hist(x,N)  funksiyasından  istifadə  olunur.Burada  N-

intervalların sayıdır. 

     Misal 5.15. Bərabər paylanma qanunu, m

0

=5, σ=3. 

 

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0

50

100

150

200

250

300

350

 

134 

 

     

 

 

Şəkil 5.24. Bərabər paylanma qanunun histeqramı 

 

    3. (x,y) müstəvisində  təsadüfi nöqtələrin paylanma sxeminin qurulması. 

 

 

 

Şəkil 5.25. Bərabər paylanmaya malik olan təsadüfi 

 kəmiyyətin paylanma sxemi 

 

     Görundüyü kimi,  nöqtələr müstəvidə  kifayyət qədər bərabər paylanmışdir 

     Misal 5.16. Normal paylanma qanunu, m

0

=5, σ=3. 

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

0

5

10

15

20

25

30

35

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

 

135 

 

 

     

 

 

Şəkil 5.26. Normal paylanma qanunun histeqramı 

 

      4.Hamar histoqramın  qurulması. 

 

     

 

 

Şəkil 5.27. Hamar histoqram 

 

       (x,y) müstəvisində  təsadüfi nöqtələrin paylanma sxeminin quraq. 

 

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25

30

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

 

136 

 

      

 

 

Şəkil 5.28. Normal paylanmış nəqtələrin paylanma sxemi 

     

Göründüyü  kimi,  normal  paylanmada  nöqtələrin  əksəriyyəti  orta  m

0

=5 

nöqtəsinin ətrafında cəmlənmişdir. 

     

5. Təcrübi təsadüfi ədədlər əsasında histoqramın qurulması.   Bu 

məqsədlə cədvəl 5.1-də olan verilənlərdən istifadə edək. 

      Misal 5.17. 

 

 

 

-5

0

5

10

15

-10

-5

0

5

10

15

20

 

137 

 

 

Şəkil 5.29. Təcrübi verilənlər əsasənda qurulmuş 

 histoqram 

 

      

5.8.6. Təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikalarının 

                hesabla

nması 

 

      Vektor-sətirÇ vektorr-sütun və ya matris şəklində verilmiş ardıcıllıq üçün 

aşağıdakı ədədi statistik xarakteristikalar hesablanır: 



  minimum-

min(x); 



  mmmaksimum- 

max(x); 



 

orta qiymət- mean(x); 



  median- 

median(x); 



 

elementlərin hasili- prod(x); 



  elementlərin cəmi- 

prod(x); 



 

komulyativ cəm- cumsum(x); 



 

standart meyiletmə (ortakvadratik meyiletmə 

D





)- 

std(x); 



 

artma istiqamətində nizamlama- sort(x); 



 

azalma istiqamətində nizamlama- -sort(x); 

Dispersiya (orta qiymətdən meyiletmə) 

.

)

(

1

1

2

1











n

i

i

x

x

n

D

 

      Misal 5.18. 

 

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

0

1

2

3

4

5

6

7

 

138 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

139 

 

FƏSİL 6 

 

VEKTOR VƏ MATRİS CƏBRİ 

_________________________________________________________ 

 

     

İqtisadiyatda,mexanikada,elektrotexnikada, idarəetmədə, optimallaşdırmada 

və  digər  sahələrdə  coxölçülü  sistemlərin  tənliklərini  lokonik  (yığcam)  ifadə 

etmək  ücün  matris  yazılış  formasından  geniş  istifadə  olunur.  Belə  yanaşma 

metodik və alınmış nəticənin (məsələn, həllin) ümumiliyi baxımından olduqca 

səmərəlidir.   

 Məsələn, koordinatlar üzrə yazılmış  



























15

x

4

x

x

2

0

x

x

x

2

5

x

x

3

3

2

1

3

2

1

2

1

 

xətti cəbri tənliklər sistemin matris yazılış  aşağıdakı şəkildədir: 

,

b

Ax



 

burada  





T

x

x

x

x

)

,

,

(

3

2

1

axtarılan dəyişənlər vektoru; 

 





























4

1

2

1

1

2

0

1

3

A

 -əmsallardan təşkil olnmuş matrs; b=(5 0 15)

T

-sağ tərəfi ifadə 

edən vektordur. 

     Tənliyin matris formasında həlli olduqca cadə şəkildədir: 

.

1

b

A

x





 

     

Həlli tapmaq üçün A matrisinin tərsinin tapıb b vektoruna vurmaq lfzımdır. 

     

Başqa misal. Xətti diferensial tənliklər  

 

Ax

dt

dx



/

 

sisteminin Koşi  

0

)

(

0

)

(

x

e

t

x

t

t

A





 

düsturuna əsasən  analitik həllini almaq üçün 

)

(

0

t

t

A

e



matris eksponentasını və 

ya keçid matrisini hesablamaq kifayyətdir. 

 

     

6.1. Bektor və matris anlayışı 

 

     Biz  elementləri  həqiqi  ədədlər  olan  ədədi  ədədi  vektor  və  matrisləri 

öyrənəcəyik. 

 

140 

 

     Vektor ədədlərdən ibarət olan sütun (vektor-sütun) və ya sətir (vektor-sətir) 

şəklində verilə bilər. Biz vektoru vektor-sütun şəklində qəbul edəcəyik: 

,

2

1



























n

a

a

a

a



   

).

...

(

,

)

...

(

2

1

2

1

n

T

T

n

a

a

a

a

a

a

a

a





 

T-  transponə  əməliyyatı  (sütunlarla  sətirlərin  yerinin  dəyişdirilməsi),  n- 

vektorun ölçüsüdür (elementlərinin sayı). 

     Məsələn,  

.

)

1

3

2

(

,

1

3

2

T

a

a





























 

      

b

a

x

T



 

yazılışı  vektor-sətrin  vektor-sütuna  vurulması  deməkdir.  Vektor 

sütuna n sətir və 1 sütuna malik olan n×1ölçülü matris kimi baxmaq olar. 

Matris. Həqiqi a

ij

 ədədlərindən ibarət olan düzbucaqlı cədvəl 

ədədi matris 

adlanır: 

 

.

4

5

3

1

0

2

;

,

1

;

,

1

],

[

2

1

2

22

21

1

12

11



















































A

m

j

n

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

ij

nm

n

n

m

m

















 

     Məsələn, 

.

3

,

1

;

2

,

1

,

4

5

3

1

0

2



















j

i

A

 

 

a

ij

 ədədləri 

matrisin elementləri adlanır. i və j indeksləri a

ij

 elementinin i-

ci  sətrin  və  j-cu  sütunun  kəsişməsində  yerləşməsini  göstərir.  Başqa  sözlə,  i 

sətrin  ,  j  isə  sütunun  nömrəsidir.  Məsələn,  a

23

  elementi  2-ci  sətir  ilə  3-cü 

sütunun kəsişməsində yerləşir. Matrisin ölçüsü n × m kimi göstərilir. 

 

6.2. Vektor və matrisin daxil edilməsi 

 

Vektor  və  matrislər  Matlabın  əmirlər  pəncərəsindən  daxil  edilir.Vektor-

sütun aşağıdakı rimi daxil edilir. Sütunun elementləri ; ilə ayrılırlar. 

 

141 

 

 

 

 

Birölçülü massivlərin generasiyası: 

 

a)  sabit addım dx=const, interval

max

min

x

x

x





. 

  

 

      b) müxtəlif intervallarda müxtəlif addimlar. 

 

     

 

 

Bütün intervallarda elementlərin sayı eyni olmalıdır! 

Matris sətir-sətir ardıcıl olaraq daxil edilir. Şətirlər ; ilə ayrılır. 

 

142 

 

 

     

     6.3. Matr

islərin əsas növləri 

 

     Mühəndis  hesablamalarında  daha  tez-tez  istifadə  olunan  matrislər 

aşağıdakılardır. 

1.  Düzbucaqlı matris, n≠m. 

.

6

.

4

5

3

8

.

1

0

2















A

 

Burada A matrisi 2×3 ölçülü matrisdir. 

2.  Kvadratik matris ,   n=m. 

.

0

.

5

6

.

3

4

.

0

0

.

2















A

 

 

Bu  halda  n=2,  m=2  .  Matrisin  ölçüsü  2×2.Və  ya  sadəcə  demək  olar  ki, 

kvadratik matrisin ölçüsü 2-jə bərabərdir. 

3.Transponə  olunmuş  matris,  A

T

-sütunlarla 

sətirlərinin  yerləri 

dəyişdirilmiş  matris.Bu  əməliyyat  nəticəsində  a

ij

=a

ji 

olur.  İkinci  bənddəki  A 

matrisi üçün 

 

.

0

.

5

4

.

0

6

.

3

0

.

2















T

A

 

 

     Matlabda vektorun və matrisin transponə əməliyyatı  A



simvolunun köməyi 

ilə  yerinə  yetirilir.Ümumiyyətlə  ştrix  simvolu  kompleks  qoşma  A

*

  matrisi 

xarakterizə edir. Həqiqi matrislər üçün A

T

=A

*

. 

 

143 

 

     

 

     

 

4. Qoşma matris A

*

-ümumi halda matrisin elementləri içərisində kompleks 

ədədlər  olarsa  bu  matrisi  transponə  edib  kompleks    ədədlərin  yerinə  onların 

qoşmasını  yazmaq  lazımdır.  Həqiqi  ədədlərin  qoşması  özünə  bırabər 

olduğundan  elementləri  həqiqi  ədədlər  olan  matrislər  (həqiqi  matrislər)   üçün 

A

*

=A

T

.Məsələn, 



















0

.

5

4

.

0

10

6

.

3

0

.

2

i

A

 

olarsa 





















0

.

5

10

6

.

3

4

.

0

0

.

2

i

A

. 

 

144 

 

     

 

     5. Unitar matris- A*A=AA*=İ şərtinin ödəyən kompleks (elementləri 

kompleks ədədlərdir) A matrisi. 

     6.Ortoqonal  matris-  həqiqi  (elementləri  həqiqi  ədədlərdir)  unitar  matris. 

Həqiqi  matris  üçün  A

*

=A

T 

olduğundan  ortoqonal  matris  üçün    A

T

  A=AA

T

=İ  

münasibəti  ödənilir. 

















)

cos(

)

sin(

)

sin(

)

cos(

t

t

t

t

A

 

matrisinin ortoqonal olmasını göstərək. 

     

 

     7. Üçbucaq matris-elementləri i>j üçün a

ij

=0 şərtinin ödəyən matris sağ və 

ya yuxarı üçbucaq matris adlanır. 

.

6

0

0

3

1

0

5

4

2























A

 

 

145 

 

     

 

i

ij

=0 şərti ödənilərsə matris sol və ya aşağı üçbucaq matris adlanır. 

          

 

     8.Simmetrik  matris-kbadratik  matrisin  (n=m)  elementləri  diaqonala 

nəzərən simmetrik olan matris.Başqa sözlə diaqonaldan kənar elementləri üçün 

a

ij

=a

ji

, i≠j. Simmetrik matris üçün A

T

=A. 

.

6

3

5

3

1

0

5

0

2























A

 

     Simmetriklik  çəp  diaqonala  nəzərən  ödənilərsə  belə  matris  çəpsimmetrik 

matris adlanır. 

    9. Diaqonal matris- diaqonaldan kənar elementləri sıfra bərabər olan matris. 

A=diag(a

11

 a

22

... a

nn

) işarə olunur. 

 

146 

 

.

6

0

0

0

1

0

0

0

2























A