H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov



Yüklə 7,81 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə17/48
tarix22.05.2020
ölçüsü7,81 Mb.
#31344
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   48
Ar2015-665


 

mrdivide


  Матрислярин солдан саьа 

бюлцнмяси 

/

 

B



/

 

mldivide



  Матрислярин тярсиня 

бюлцнмяси 

\

 

B



\

 

rdivide



 

Матрисин елементляринин 

щядбящяд солдан саьа 

бюлцнмяси 

/

.

 



B

/

.

 



ldivide

 

Матрисин елементляринин 



щядбящяд саьдан сола 

(тярсиня) бюлцнмяси 

\

.

 



B

\

.

 



 

Матрис ямялиййатларынын йериня йетирилмясиня мисаллар эюстяряк. Fərz edək 

ki, ашаьыдакы матрисляр верилмишдир: 









4

1

2



1

3

2



5

2

1



A

,    








1



3

3

4



5

1

3



0

2

B

 

Ъядвялдя  верилмиш  матрис  функсийаларындан  истифадя  етмякля  бу 



функсийалара уйьун ямялиййатлары Matlabda йериня йетиряк: 









5

4



5

5

8



3

8

2



3

)

,



(

B

A

plus

C

    












3



2

1

3



2

1

2



2

1

)



,

(

minus



C

B

A

 


 

162 


 









4

3



6

4

15



2

15

0



2

)

,



(

B

A

times

C

 









14



17

17

19



18

10

16



25

19

)



,

(

B



A

mtimes

C

 









27



11

12

17



14

10

27



13

15

)



2

,

(A



mpower

C

 









16



1

4

1



9

4

25



4

1

)



2

,

A



power

C

 











1



.

0

26



.

0

02



.

1

7



.

0

18



.

0

14



.

0

5



.

0

7



.

0

9



.

0

)



,

(

B



A

mrdivide

C

 

B



/

 ямялиййаты 

1

*



B

A

 ямялиййаты 

иля еквивалентдир 











0476


.

0

5714



.

0

3810



.

0

5714



.

1

1429



.

0

4286



.

0

3810



.

0

5714



.

2

9524



.

0

)



,

(

B



A

mldivide

C

 

B



\

 

ямялиййаты 



B

A

*

1



 

ямялиййаты иля 



еквивалентдир 









4

3333



.

0

6667



.

0

25



.

0

6



.

0

2



6667

.

1



inf

5

.



0

)

,



(

B

A

rdivide

C

 

 











25

.

0



3

5

.



1

4

6667



.

1

5



.

0

6



.

0

0



2

)

,



(

N

М

ldivide

C

 

B



\

.

 



ямялиййат

ы 

B



/

.

 



ямялиййат

ы иля 


еквивален

тдир 


 

Məsələn,  Ax=b  vektor  tənliyinin  həlli  x=A

-1

b,  AX=B  matris  tənliyinin 



həlli  isə  X=A

-1

B.  Həllər    soldan  vurma  əməliyyatı  nəticəsində  tapılmışdır. 



Skalyar halda 5/2(5:2)=2.5; 5\2(2:5)=0.4. 

Fунксийалар  явязиня  уйьун  операторлардан  da  истифадя  етmək  olar. 

Мясялян,  


 

163 


 

 >> A=[1 2 5; 2 3 1; 2 1 4]; 



>> B=[2 0 3; 1 5 4; 3 3 1]; 

>> A.*B 

ans = 

     2     0    15 

     2    15     4 

     6     3     4 

>> A^2 

ans = 

    15    13    27 

    10    14    17 

    12    11    27 

>> A.^2 

ans = 

     1     4    25 

     4     9     1 

     4     1    16 

Аналожи  ямялиййатлары  векторлар  цзяриндя  дя  апармаг  олар.  Буну  мисал 

цзяриндя эюстяряк. 

Тутаг ки, ашаьыдакы кими ики вектор-sətir верилмишдир: 



>> V1=[ 1  2  4  7]; 

>> V2=[-2  3  1  5]; 

>> V=V1+V2 

V = 

    -1     5     5    12 

>> V=V1-V2 

V = 

     3    -1     3     2 

>> V=V1.*V2 

V = 

    -2     6     4    35 

>> V=V1.^2 

V = 

     1     4    16    49 

>> V=V1./V2 

V = 

   -0.5000    0.6667    4.0000    1.4000 

>> V=V1.\V2 

V = 

   -2.0000    1.5000    0.2500    0.7143 

      

Əməliyyatların əsas

 

xassələri: 

 

164 


 

 

1.  Cəmləmə əməliyyatı 

     Vektor və matrislərin cəmi üçün aşağıdakı xassələr doğrudur: 

a)  A+B=B+A - komutativlik; 

b)  A+(B+C)+(A+B)+C  - asosiativlik; 

c)  A+0=0 . 

1)  vektor və matrislərin cəmləmə əməliyyatı elementlərin   uyğun 

cəmlənməsindən     ibarət olduğundan cəmlənən vektor və ya matrislərin 

ölcüləri eyni olmalıdır. 



A+B=[a

ij

]+[b



ij

]=[c

ij

]. 


2.  Vurma əməliyyatı 

Vektor və matrislərin hasili üçün aşağıdakı xassələr doğrudur: 

a)  İ×A=A – vahid matrisə soldan  vurma

b)  A(BC)=(AB)C; 

c)  (A+B)C=AC+BC; 

d)  C(A+B)=CA+CB; 

İki  matrisin  hasili  ümumi  halda  komutativ  deyil:  AB≠BA.  Bu  səbəbdən 

matris əməliyyatlarında soldan və sağdan vurma anlayışları mövcuddur. 



MisalAB və BA hasillərini hesablayaq: 

 

.



0

1

0



0

,

0



0

1

0





















B



A

 

     Həll: 



.

0

0



0

1

0



0

0

0



1

0

0



0

0

1



0

0

1



1

0

0



0

1

0



0

.

0



0

1

0













































AB

 

 



.

1

0



0

0

0



0

1

1



0

0

0



1

0

0



1

0

0



0

0

0



0

0

1



0

.

0



1

0

0













































BA

 

 



     Göründüyü kimi, nəticə eyni deyil. 

 

 



 

165 


 

 

2)  vektor sətri vektor-sütuna vurma nəticəsində skalyar   (ədəd) alınır: 



.



2

2

1



1

2

1



2

1

n



n

n

n

T

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a

b

a

c

















 



 

a

b

olarsa



.

...


2

2

2



2

1

n



a

a

a

c



 



 

 

 

3)  vektor sütunu vektor-sətrə vurma nəticəsində matris    alınır: 

 





.

...


...

...


2

1

2



2

2

1



2

1

2



1

1

1



2

1

2



1





























n

n

n

n

n

n

n

n

T

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a

ab

c







 

 

166 


 

 

4)  matrislər  üzərində  vurma  əməliyyatı  apardıqda  birinci  A  matrisinin 



sütunlarının sayı m ikinci B matrisinin sətirlərinin n sayına bərabər olmalıdır, 

yəni  m=n  ödənilməlidir.  N×m  ölçülü  manrisi 



m



  ölçülü  matrisə  vurduqda 



n

 ölçülü matris alınır. 

5)  matrislər üzərində vurma əməliyyatı apardıqda birinci A matrisinin hər-

bir  a

i

  sətri  ikinci  B  matrisinin  hər-bir  b



j

  sütununa  vurulur.Yəni  2-ci  bəndə 

olduğu kimi vektor sətrin vektor sütuna vurulması baş verir. Nəticədə alınmış 

ədəd c

ij

 i-ci sətir ilə j-cu sütünun kəsişməsinə yazılır.



 

 

].

[



...

...


...

...


...

...


...

2

1



2

22

1



12

11

2



2

22

1



12

2

1



1

12

11



ij

n

n

n

m

m

nm

n

n

m

c

c

c

c

c

c

c

c

c

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

AB

C















































21

m1

21

11

2m

22

21

c

b

b

b

...a

a

a

 

     Hesablama düsturu: 

.

,...,


2

,

1



;

,...,


2

,

1



,

1







j



n

i

b

a

c

kj

m

k

ik

ij

 

6) matrisi vektora vurduqda vektor alınır:



c

b

A

*



. 

 

 

 

167 


 

 

7)  vektor- sətri matrisə vurduqda vektor-sətir alınır: 

.

*

T



T

c

A

b



 



               

 

 8) vektor- sütunu matrisə vurulma əməliyyatı təyin olumayıb !



 

 9)  kvadratik matrisin özünün tərsi ilə hasili vahid matris verir. 



 

     

 

    

     10) matrisin sütünlar üzrə cəmlənməsi-s1=sum(A,1) . 

 

168 


 

     


 

     11) matrisin sətirlər üzrə cəmlənməsi-s2=sum(A,2). 



     

 

     Vurma funksiyası prod(.) (vurma) da eyni qaydada işləyir. 

 

     



 

     

6.7. Matrisin əsas göstəriciləri 

 

     

1. Kvadratik matrisin determinantı, |A|- det(A)

     

 

 

169 


 

     Determinantın  hesablanmasının  sadə  üsllarından  biri    onun  hər-hansı  bir 

sətrin  və  ya  sütunun  (sıfır  elementləri  çox  olan)  elementlərinin  cəbri 

tamamlayıcılarına görə parçalayıb hər iterasiyada tərtibinin azaldılmasidır. 



     Əvvəldə göstərildiyi kimi, a

ik

 elementinin cəbri tamamlayıcısı: 



.

)

1



(

ik

k

i

ik

M

A



 

M

ik

a



ik

 elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan 

matrisin təyinedicisi). 

     Məsələn,  











2

1



5

0

7



2

1

3



4

A

 

matrisinin a

21

=2 elementinin minoru  



,

7

2



1

1

3



21





M

 

cəbri tamamlayıcısı isə A

21

=(-1)


2+1

7=-7. 


     Parçalama teoreminə əsasən yazmaq olar: 

n

k

A

a

A

a

A

ki

n

i

ki

n

i

ik

ik

,...,


2

,

1



,

det


1

1







 

      A

ik

  –larin  tərtibı  2-dən  böyük  olarsa  onlara  da  ardıcıl  olaraq  yuxarıdıkı  



parçalanmanı tətbiq edərək hər-dəfə (iterasiyada) tərtibi  1 vahid azaltmaq olar. 

     Misal 6.1. Fərz edək ki, 3×3 (n=3) matris verilmişdir: 

 

.

5



8

7

7



2

4

4



0

1

2



4

4

3



0

3

6













A

 

 

 Bu  matrisin  determinantını  ikinci  sütunun  elementlərinə  parçalamaqla 



hesablayaq. 

      Bu halda i=1,2,3,4,   k=2.Onda parçalama teoreminı əsasən: 

 

 


 

170 


 

 

Beləliklə 



 

.

7



4

4

3



042

421


603

7

785



421

603


4

785


042

603


4

785


042

421


3

det


42

32

22



12

M

M

M

M

A







    



 

     Determinantlar (yəni  M

ik

  minorları) 3 ölçülü olduğundan   və hesablanması 



cətinlik törətdiyindın  onların ölçüsünü  1 vahid də azaldaq.Bu məqsədlə onları 

birinci sətirlərin elementlərinə nəzərən parçalayaq: 

 

,

16



28

28

16



78

04

1



)

1

(



75

02

2



)

1

(



85

42

4



)

1

(



3

1

2



1

1

1



12











M

 

 

,



60

84

24



78

04

3



)

1

(



75

02

0



)

1

(



85

42

6



)

1

(



3

1

2



1

1

1



22











M

 

 

M



32

=66,      M

42

=48. 


    Alınmış nəticələri det(A) ifadəsində yerinə yazsaq alarıq:det(A)=-216. 

     Determinantın  hesablanmasının  ümumi  və  konstruktiv  üsulu  inversiya 

üsuludur. Bu üsula ısasən  













nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A







2

1

2



22

21

1



12

11

 



matrisinin determinantı aşağıdakı ifadənin köməyi ilə hesablanır: 

 

.



,...,

2

,



1

,

...



)

1

(



det

|

|



2

1

2



1

2

1



2

22

21



1

12

11



n

j

a

a

a

a

a

a

a

a

a

i

a

a

A

n

ni

j

n

i

i

nn

n

n

n

n





















 



 

171 


 

     Burada 



1-dən n-ə qədər olan 



n

i

i

i

...


2

1

  ardıcıllığın   inversiya ədədidir.  n 



sayda  ədədlərin  yerdəyişmələrinin  sayı  n!  bərabərdir.Məsələn,  n=3  olarsa 

.

6



3

2

1



!





n

İnversiya  ədədi  əvvəlki  ədədlərin  sonrakı  ədədlərin  neçəsindən 

böyük olmasını göstərir.Məsələn, 123;231;312;321;132;213 yerdıyişmələrinin 

inversiya ədədləri uyğun olaraq 

).

1



;

1

;



3

;

2



;

2

;



0

(



 

      Determinantın  yuxarıdakı  ifadəsinin  sağ    tərəfi  hər-biri  n  sayda 



elementlərin  hasilindən  ibarət  olan  n!  sayda  cəmdən      ibarətdir.  Bütün 

cəmlərdəki elementlərin birinci indeksləri 1,2,...,n ədədlərindən ibarətdir. İkinci 

indeksləri  isə 

n

i

i

i

...


2

1

  (yəni  12...n)  ədədlərinin  yerdəyişmələrindən  



ibarətdir.Cəmdə 

 ardıcıl olmaya da bilər.  



     Misal 6.2. Matris 

.

2



3

1

4



2

0

3



2

1











A

 

 

.



2

6

0



8

0

12



4

1

2



3

3

0



3

1

4



2

2

0



2

3

4



1

2

)



2

(

1



)

1

(



)

1

(



)

1

(



)

1

(



)

1

(



)

1

(



)

det(


31

22

13



3

32

21



13

2

31



23

12

2



33

21

12



1

32

23



11

1

33



22

11

0































a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

 


Yüklə 7,81 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   48




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin