1
11
qəbul etsək tapariq:
.
16
4
1
v
,
4
2
1
v
,
1
1
1
v
3
2
1
İndi P matrisini formalaşdırmaq olar:
.
16
4
1
4
2
1
1
1
1
P
Göstərmək olar ki, nəticədə doğrudan da diaqonal matris alnmışdır:
.
4
0
0
0
2
0
0
0
1
1
AP
P
Məxsusi ədədləri və vektorları əvvəldə göstərildiyi kimi [V,D]
=eig(vpa(A)) Matlab funksiyasının köməyi ilə də təyin etmək olar.
184
Məxsusi vektorlar sabit vuruq dıqiqliyində sərbəst olduğundan Matlabda
V= [v
1
v
2
v
3
] fərqli alınmışdır.Buna baxmayaraq yekun matris diaqonal şəkildə
alınmışdır:
.
4
0
0
0
1
0
0
0
2
1
AP
P
12.Kvadratik forma.Xətti tənzimləmə sistemlərinin dayanıqlığını
Lyapunovun 2-ci üsulu ilə təyin etdikdə kvadratik formadan istifadə olunur:
185
.
)
,..,
,
(
1
1
2
1
j
i
n
i
n
j
ij
n
x
x
q
x
x
x
V
Matris formasında bu ifdə:
.
)
(
Qx
x
x
V
T
Burada
n
T
n
R
x
x
x
x
)
,..,
,
(
2
1
n-ölçülü vektordur,
T
ij
nn
n
n
n
n
Q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Q
]
[
2
2
2
...
2
1
1
22
21
12
1
1
21
12
11
simmetrik matrisdir.
Əgər simmetrik (n=m) A matrisi x≠0 vektoru üçün (yəni həm mənfi, həm də
müsbət qiymətləri üşün)
0
)
(
Ax
x
T
şərtini ödəyirsə belə matris müsbət
(mənfi) müəyyən matris adlanır. Simvolik olaraq A> 0(A< 0) kimi işarə olunur.
Misal 6.6.
Nəticədə aşağıdakı kvadratik forma alınmışdır:
.
8
2
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
V
186
13. “Sehirli” kvadrat
Bu matris n×n (n>=3) ölçülü kvadrat matris olub sətirləri, sütunları və baş
diaqonal ellementlərinin cəmi biri-birinə bərabərdir.
“Sehirli” matrisi qurmaq üçün
magic(n) funksiyasından istifadə olunur. n-
kvadrat matrisinin ölçüsüdür.
Misal 6.7.
.
Çalışmalar- 6.1
A вя B матрисляри верилмишдир:
3
2
N
8
N
9
5
1
N
6
7
3
N
4
N
Nq
2
Nq
13
Nq
Nq
N
1
N
A
2
,
33
,
0
8
9
6
5
62
6
3
3
92
,
0
2
12
5
5
,
0
8
7
B
Бц матрисляр цзяриндя MатLAB системиндя ъядвял 6.1-дя эюстярилян
ямялиййатлары йериня йетирмяли (
2
X
эютцрмяли).
Burada N-tələbənin jurnaldakı sıra nömrəsi, Nq- qrup nömrəsidir (3
rəqəmli).
187
FƏSİL 7
CƏBRİ VƏ TRANSENDRNT TƏNLİKLƏRİN
HƏLLİ
_________________________________________________________
Мялумдур ки, бир чох тянликлярин вя тянликляр системинин аналитик щялли
йохдур. Илк нювбядя бу яксяр трансендент тянликляря аиддир. Исбат олунмушдур
ки, дяряъяси 4-дян йухары олан истянилян ъябри тянлик цчцн щялл дцстуруну
гурмаг (йяни, аналитик щялл етмяк) мцмкцн дейил. Лакин беля тянликляри
верилмиш дягигликля тягриби щялл етмяк олар.
MatLAB мцщитиндя ъябри вя трансендент тянликлярин щялли ашаьыдакы
стандарт (гурашдырылмыш) функсийаларын кюмяйи иля щяйата кечирилир:
)
solve(
,
)
fzero( ,
)
roots( .
Бу функсийаларын кюмяйи иля тянликлярин щялли олдугъа садядир. Она бахаг
вя мисаллар эюстяряк.
7.1. solve()
funksiyasının köməyi ilə tənliklərin həlli
)
solve(
функсийасы ашаьыдакы шякилдя тясвир едилир:
)
solve(
x
,
)'
x
(
f
'
,
бурада:
)'
x
(
f
'
тяк дырнаглар арасында йазылмыш щялл едиляъяк тянлик;
x
ахтарылан мяъщулдур.
0
)
x
(
f
тянлийини истянилян формада йазмаг олар. Беля ки, яэяр бярабярлик
ишаряси йазылмайыбса, програм тянлийи
0
)
x
(
f
шяклиндя баша дцшцр.
Тянлийин щялли заманы
x
аргументини йазмамаг олар.
Символ дяйишянинин адыны тяйин вя тянликляр системинин щяллиндя щюкмян
лазым олан
)
syms( функсийасы бурада иштирак етмяйя биляр.
)
solve( функсийасынын кюмяйи иля тянликлярин кюкляринин тяйин едилмяси
технолоэийасына мисаллар цзяриндя бахаг.
Мисал 7.1. Тутаг ки, ашаьыдакы тянлийи щялл етмяк лазымдыр:
0
1
x
x
sin
.
Тянлийин щялли програмы белядир:
>> y=solve('sin(x)
x
1=0')
Enter
клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы щялли алырыг:
y = .510973
x
-ин башланьыъ гиймятлярини вя йа кюклярин локаллашдырылмасы интервалларыны
188
эюстярмямякля
)
solve( функсийасы бир сыра щалларда
0
)
x
(
f
тянлийинин бцтцн
кюклярини тапмаьа имкан верир.
Мисал 7.2. Тутаг ки, ашаьыдакы тянлийин кюклярини тапмаг лазымдыр:
0
3
x
4
2
x
.
Тянлийин щялли програмы вя нятиъя белядир:
>> y=solve('2.^x-4*x+3=0')
y =
1.418
3.413
Тянлийин щяр ики кюкц тапылмышдыр.
)
solve( функсийасы
0
)
x
(
f
тянлийинин няинки щягиги, щям дя комплекс
кюклярини тапмаьа имкан верир. Буну мисал цзяриндя эюстяряк.
Мисал 7.3. Тутаг ки, тянлик
0
1
e
x
ln
x
sin
x
шяклиндядир вя онун кюклярини тапмаг лазымдыр.
Програм белядир:
>> y=solve('sin(x)+log(x)+exp(x)
1=0')
Enter
клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы щялли алырыг:
y =
-3.055-1.71447 i
)
solve(
функсийасынын ашаьыдакы мянфи ъящяти вар. Бу функсийа
x
-ин
башланьыъ гиймятлярини вя йа кюклярин локаллашдырылмасы интервалларыны
эюстярмяйи тяляб етмир. Буна эюря дя бир сыра щалларда трансендент тянлийинин
бцтцн кюклярини тапмыр.
7.2. zero() funksiyasının köməyi ilə tənliklərin
həqiqi köklərinin tapılması
)
fzero( функсийасынын ян чох истифадя олунан ашаьыдакы реализасийалары вар:
)
fzero(
x
,
)'
x
(
f
'
)
fzero(
]
2
x
,
1
x
[
,
)'
x
(
f
'
Функсийанын ифадяляриндя ашаьыдакы ишаряляр гябул едилмишдир:
)'
x
(
f
'
тяк дырнаглар арасында йазылмыш щялл едиляъяк тянлик;
x
ахтарылан кюкцн башланьыъ йахынлашмасы (гиймяти);
]
2
x
,
1
x
[
кюклярин локаллашдырылмасы интервалыдыр.
Мисал 7.4. Тутаг ки,
0
x
sin
x
x
4
2
x
189
тянлийинин кюкляринин
1
x
вя
4
x
гиймятляриня йахын олмасы мялумдур вя
бу кюкляри тапмаг лазымдыр.
Щялли:
>> y=fzero('2.^x-4.*x+x.*sin(x)',1)
y =
0.3478
>> y=fzero('2.^x-4.*x+x.*sin(x)',4)
y =
4.4761
Мисал 7.5. Тутаг ки,
)
fzero(
]
2
x
,
1
x
[
,
)'
x
(
f
'
функсийасындан истифадя етмяк-
ля
0
3
x
3
x
2
3
тянлийинин щягиги кюклярини тапмаг лазымдыр.
Бу тянлийин кюкляринин локаллашдырылмасы интервалларыны тяйин едяк.
>> x=-2:0.1:2;
>> y=x.^3+3*x.^2-3;
>> plot(x,y), grid
Шякил 7.1-дя функсийанын графики эюстярилмишдир.
Шякил 7.1.
3
x
3
x
2
3
функсийасынын графики
Шякилдян эюрцндцйц кими, верилмиш тянлийин кюкляри
]
2
;
3
[
,
]
1
;
5
,
1
[
,
]
1
;
5
,
0
[
интервалларында йерляшир.
Онда кюклярин тапылмасы програмы вя мясялянин щяллинин нятиъяляри
ашаьыдакы шякилдя олаъаг:
190
>> x1=fzero('x.^3+3*x.^2-3',[-3,-2]);
>> x2=fzero('x.^3+3*x.^2-3',[-1.5,-1]);
>> x3=fzero('x.^3+3*x.^2-3',[0.5,1]);
>> x=[x1 x2 x3]
x =
-2.5321 -1.3473 0.8794
7.3. roots() funksiyasının köməyi ilə coxhədlinin
köklərinin tapılması
)
roots( функсийасы ашаьыдакы шякилдя тясвир едилир:
)
roots(z
,
бурада:
z
чохщядлинин ямсалларындан ибарят олан вектордур.
Мясялянин щялли технолоэийасыны мисал цзяриндя эюстяряк.
Мисал 7.6.Тутаг
ки,
)
roots(
функсийасындан
истифадя
етмякля
3
x
3
x
y
2
3
чохщядлисинин кюклярини тапмаг лазымдыр.
Чохщялдидя
k
x
щядди иштирак етмяйян щалда
0
a
k
эютцрцлцр.
Мясялянин щялли ашаьыдакы шякилдядир:
>> y=roots([1 3 0 -3])
y =
-2.5321
-1.3473
0.8794
Çalışmalar- 7.1
1) MatLAB мцщитиндя
]
b
,
a
[
интервалында
)
x
(
f
функсийасынын (ъядвял 7.1)
191
графикини гурмалы вя тянлийин кюклярини тяхмини мцяййян етмяли.
2) MatLAB мцщитиндя
)
solve(
,
)
fzero( функсийаларын кюмяйи иля
0
)
x
(
f
тянлийини щялл етмяли.
Ъядвял 7.1
№
)
x
(
f
]
b
,
a
[
1
x
x
3
1
x
e
]
1
,
0
[
x
2
)
x
6
,
3
sin(
3
1
x
]
1
,
0
[
x
3
3
x
3
,
0
1
x
arccos
]
1
,
0
[
x
4
x
arcsin
x
4
,
0
1
2
]
1
,
0
[
x
5
2
x
x
25
,
0
3
]
2
,
0
[
x
6
1
x
cos
2
,
1
x
2
2
]
1
,
0
[
x
7
x
1
x
1
sin
2
x
2
cos
]
2
,
1
[
x
8
x
ln
x
x
1
,
0
2
]
2
,
1
[
x
9
x
x
1
x
1
arccos
2
2
]
3
,
2
[
x
192
Ъядвял 7.1-ин davamı
№
)
x
(
f
]
b
,
a
[
10
5
x
ln
4
x
3
]
4
,
2
[
x
11
2
x
x
e
e
]
1
,
0
[
x
12
)
x
1
ln(
x
sin
x
1
]
2
,
0
[
x
13
2
,
0
x
x
5
]
2
,
1
[
x
14
4
,
0
x
arctg
x
]
2
,
1
[
x
15
x
ln
2
)
x
cos(ln
)
x
sin(ln
]
3
,
1
[
x
16
x
x
1
tg
]
1
,
0
[
x
17
40
)
3
x
ln(
15
x
3
]
7
,
6
[
x
18
7
x
16
x
ln
)
20
x
10
(
]
4
,
2
[
x
19
2
x
)
1
x
(
2
e
]
1
,
0
[
x
20
195
x
10
x
e
3
x
]
7
,
5
[
x
21
11
x
sin
x
10
x
25
3
]
1
,
0
[
x
22
8
,
3
x
35
,
0
x
sin
3
]
3
,
2
[
x
23
x
2
x
ctg
2
x
tg
]
2
,
1
[
x
24
8
.
1
x
x
ln
]
3
,
2
[
x
25
2
x
1
sin
x
]
2
,
1
[
x
26
x
10
x
ln
e
x
]
4
,
3
[
x
27
2
e
1
e
x
2
x
]
0
,
1
[
x
28
1
x
sin
x
]
3
,
0
[
x
29
7
x
2
x
ln
]
5
,
4
[
x
30
30
x
6
e
x
]
5
,
3
[
x
|