H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

Misal 8.6. 

 

Avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsində və praktikasında matris eksponensası, 

Lyapunov və Rikkati matris tənliklərindən geniş istifadə olunur. 

 

8.4.2. Matris eksponensası ,e

At

 

(keçid matrisi) 

 

 

Əvvəldə deyd edildiyi kimi bu matris xətti diferensial tənliklər sisteminin  

həllinə daxildir: 









t

t

A

At

d

Bu

e

x

e

t

x

0

)

(

0

.

)

(

)

(







 

e

At

-matris funksiyası aşağıdakı matris diferensial tənliyin həllidir: 

 

.

)

0

(

,

/

0

I

x

x

Ax

dt

dx







 

Burada  x=x

ij

(t),  i,j=1,2,...,n-həllər  matrisi,  A-n×n  ölçülü  kvadratik 

matrisdir. Başlanğıc şərt  vahid matris İ şəklində götürülür. 

Həlli Simulink paketində alaq.  

Şəkil 8.2 a)-da həllin Simulink sxemi və həllər çoxluğu b) göstərilmişgir. 

 

203 

 

Misal 8.7. Fərz edək ki,  



































1

0

0

1

)

0

(

,

9

.

0

4

.

0

1

0

A

. 

Şəkil 2.78-də modelləşdirmə sxemi (a) və həllin F

ij

(t) nətijələri (b) qrafik 

şəklində göstərilmişdir.  

 

    

 

 

                               a)                                                           b) 

        

Şəkil 8.2. Keçid matrisinin təyin olunması 

 

8.4.3. Lyapunov tənliyi 

 

 Bu matris tənlik xətti (bəzi hallarda qeyri-xətti)  obyektlərin dayanıqlı 

olub- olmamasını təyin etmək üçün istifadə olunur.      Obyektin sərbəst 

hərəkəti aşağıdakı xətti differensial tənliklə yazılır: 

dx/dt = Ax,             x(0) = x

0                                                    

(8.3)

             

 

Lyapunov funksiyası adlanan kvadratik  forma daxil edilir: 











n

1

i

n

1

j

ij

ij

T

x

q

Qx

x

V

.                                        (8.4)              

Burada Q = (q

ij

) - simmetrik matrisadır, q

ij

 = q

ji

 və ya matris formada  Q

T

 

= Q. 

Dayanıq şərti (indikatoru) dV/dt<0 münasibətidir. 

Lyapunov funksiyasının zamana görə törəməsi: 

                                        





.

x

QA

Q

A

x

QAx

x

Qx

A

x

QAx

x

Qx

)

Ax

(

Ax

x

Qx

x

dt

Qx

dx

dt

dV

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T



































                (8.5)         

 

204 

 

Mötərizənin  daxilindəki  ifadə  mənfi  müəyyən  matris  olarsa  dV/dt<0 

dayanıqlıq  şərti  ödənilir.  Bu  səbəbdən    elə    Q  matrisi  mövcud  olmalıdır  ki,    

A

T

  Q+QA

<0  şəti  ödənilsin.  Əgər  belə  matris  mövcud  olarsa  (8.3)  sistemi 

dayanıqlıdır. 

İfadə (8.5)-da mötərizənin daxlindəki ifadəni –P ilə işarə edək: 

A

T

Q + QA = -P.                                           (8.6)          

Bu tənlik  Lyapunovun cəbri matrisi tənliyi adlanır. 

     P müsbət müəyyən matrisolarsa

 (8.5)-ya əsasən 

                                                   dV/dt = - x

T

Px < 0   

törəməsi mənfi işarənin hesabına mənfi müəyyən funksiya olacaqdır. 

     P  matrisi  müsbət  müəyyən  ,  məsələn  vahid  matris,  şəklində  verilərsə  Q 

matrisi də müsbət müəyyən matris olacaqdır (əgər həll mövcuddursa). 

Misal  8.8.  Şəkil  8.3-də  göstərilmiş  xətti  ATS-in  dayanıqlığını  tədqiq 

edək.  

 

       

 

 

           

Şəkil 8.3. ATS-in struktur sxemi 

 

Uyğun tənlik: 

.

x

x

dt

/

dx

,

x

x

dt

/

dx

2

1

2

2

1

1













 

Burada  





















1

1

1

1

A

. 

P  =  I  = 













1

0

0

1

  vahid  matris  qəbul  edib  (8.6)  Lyapunov  tənliyini  tərtib 

edək: 















































































1

0

0

1

1

1

1

1

q

q

q

q

q

q

q

q

1

1

1

1

22

21

12

11

22

21

12

11

.             (8.7)         

 

205 

 

q

12

  =  q

21

  olduğundan  üç  q

11

,  q

12

,  q

22

  dəyişəni  tapmaq  kifayətdir.  Matris 

(8.7) tənliyini açaq. Onda 

2q

11

 + 2q

12           

=1, 

q

11

 -  2q

12

 – q

22 

=0, 

- q

12

 + 2q

22

 =      1. 

Alınmış xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli: q

11

 = 0.5, q

12

 = 0,        q

22

 = 

0.5  Beləliklə axtarılan matris    















5

.

0

0

0

5

.

0

Q

 

müsbət müəyyən matris olduğundan baxılan ATS asimptotik dayanıqlıdır.

 

Lyapunov tənliyinin Matlabda həlli.

 

Matris  cəbri  tənlikləri həll etmək 

üçün Matlabda xüsusi funksiyalar mövcuddur. 

Q = lyap(A,P) funksiyası 

A

T

Q + QA + P = 0. 

şəklində  olan  Lyapunov  tənliyini  həll  etməyə  imkan  verir.  Burada  A,  P  eyni 

ölçülü  verilmiş  kvadratik  matrislərdir.  Əgər  P  simmetrik  matris  şəklində 

verilərsə,  məsələn,  P  =  I  vahid  matris  şəklində,  onda  axtarılan  Q  matrisi  də 

simmetrik  matris  şəklində  alınacaqdır.  P-nin  vahid  matris  şəklində  verilməsi 

sistemin dayanıqlığına və ya dayanıqsızlığına xələl gətirmir. 

Misal 8.9. Aşağıdakı tənlik ilə verilmiş obyektin dayanıqlığını lyap(A,P) 

funksiyasının köməyi ilə yoxlayaq. 

x

1

1

1

4

.

5

dt

/

dx





















. 

          

















1

0

0

1

I

P

- qəbul edək. 

Aşağıda müvafiq Matlab proqramı və həll (Q matrisi) göstərilmişdir. 

 

 

206 

 

 

Həll 















4463

.

0

0537

.

0

0537

.

0

1025

.

0

Q

simmetrik  matris  şəklində  alınmışdır.  Bu 

matrisin  məxsusi  ədədləri  λ=eig(Q)  funksiyasının  köməyi  ilə  təyin 

olunmuşdur. λ

1

 = 0.0943 > 0, λ

2

 = 0,4545 > 0 olduğundan Q müsbət müəyyən 

matrisdir  və  deməli  müvafiq  sistem  dayanıqlıdır.  Qeyd  edək  ki,  Q  matrisinin 

məxsusi  ədədlərini  yoxlamamaq  da  olardı.  Cünki  P=I  olduğundan  həll  

mövcuddursa,  o  hökmən  simmetrik    şəklində  alınacaqdır.  Yuxarıda  deyildiyi 

kimi belə matris müsbət müəyyən matrisdir! 

Sistem dayanıqlıq sərhəddində və ya dayanıqsız olarsa, məsələn 

 

.

2

,

1

1

1

1

;

2

,

0

,

1

1

1

1

2

,

1

2

1

















































A

A

 

qiymətlərində,  Lyapunov  tənliyinin  həlli  mövcud  deyil.  Belə  hallarda 

proqramm  həllin  olmaması  haqqında  “???  solution  does  not  exist  or  not 

unique”  məlumatını  verir.  Bu  nəticə  baxılan  obyektin  dayanıqsız  (və  ya  

dayanıqlıq sərhəddində) olmasını göstərir. 

 

8.4.4. Pikkati tənliyi 

 

 İdarəetmə sistemlərində optimal xətti-kvadratik məsələnin qoyuluşu: 

,

min

)

(

2

1

0

)

(











x

u

T

T

dt

Ru

u

Qx

x

J

 

.

)

0

(

,

/

0

x

x

Bu

Ax

dt

dx







 

Vəziyyətə görə əks əlaqəli optimal idarə qanunu aşağıdakı şəkildə alınır: 

).

(t

Kx

u





 

Burada ğücləndirmə əmsalı 

.

1

P

B

R

K

T





 

P matrisi cəbri matris Rikkati tənliyinin həllindən tapılır: 

.

0

1











Q

P

B

PBR

P

A

PA

T

T

 

Burada A, B,Q, R məlum, P isə axtarılan matrisdirş. 

Matlabda cəbri  Rikkati tənliyini həll etmık üçqn 

)

,

,

,

(

]

,

,

[

R

Q

B

A

care

K

L

P



funksiyasından istifadə olunur.Burada L qapalı 

sistemin xarakteristik D=A-BK matrisinin məxsusi ədədləridid: L=eig(D). 

Dayanıqlı sistem üçün Re(L)<0. 

Misal 8.10. 

 

207 

 

  

 

 

L

1

=-3.44, L

2

=-1.57 olduğundan qapalı sistin dayanıqlıq şərti ödənilir. 

 

 

Çalışmalar - 8.1  

 

 

Верилмиш  тапшырыг  вариантларына  уйьун  олараг  хятти  (ъядвял  8.1)  вя  гейри-

хятти  тянликляр  системини  (ъядвял  8.2)  MatLAB  вя  мцщитиндя  йухарыда 

эюстярилян  бцтцн  цсцлларла  щялл  етмяли.  Тапылмыш  щяллярин  доьрулуьуну 

йохламалы. 

Гейд:  Гейри-хятти  тянликляр  системинин  щяллиндя  башланьыъ  йахынлашмалары 

ъядвялдян эютурмяли. 

 

 

208 

 

Ъядвял 8.1 

  

№1 

 

№2 

 

 

















































8

10

3

5

4

2

12

5

3

7

6

2

7

6

2

5

9

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

















































18

2

4

3

34

2

5

12

2

2

3

17

4

 

4

3

2

1

4

2

1

4

3

2

1

4

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№3 

№4 















































14

2

11

5

12

9

12

7

3

0

7

5

1

6

5

7

5

 

4

3

2

1

4

3

2

1

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 













































12

5

2

5

3

4

4

7

2

16

4

 

4

3

2

1

3

2

1

4

3

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№5 

№6 

 

















































78

81

2

10

6

30

5

3

17

2

4

3

8

2

3

4

3

2

1

4

3

2

4

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

х

x

x

x

   













































30

5

2

4

19

4

18

5

5

2

3

23

2

5

3

4

3

2

4

3

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№7 

№8 

 













































2

2

6

5

2

21

4

5

5

2

3

4

3

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

















































2

6

7

4

2

2

2

7

6

3

4

5

2

4

3

2

1

4

3

2

4

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№9 

№10 

















































8

7

16

4

7

9

7

4

8

9

5

6

16

4

7

9

3

 

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 















































2

2

3

10

5

2

4

3

4

3

2

14

3

4

 

4

3

2

1

4

2

1

4

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

,

x

x

x

x

x

x

 

 

209 

 

Ъядвял 8.2-нин davamı 

 

 

№11 

№12 















































15

4

3

4

2

4

4

2

9

3

3

3

1

2

 

4

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 



















































3

2

2

2

5

18

5

5

5

2

15

4

3

4

2

 

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

4

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

,

x

x

x

x

x

x

 

№13 

№14 















































8

2

2

3

2

14

5

3

12

3

3

1

 

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 











































32

2

13

11

7

5

9

14

5

7

4

31

10

5

9

9

 

4

3

2

3

2

1

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№15 

№16 

 



















































10

4

11

7

13

5

7

3

6

4

3

9

33

8

7

5

4

3

2

3

2

1

4

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 













































5

7

50

5

3

5

5

2

11

3

12

40

12

3

9

5

 

3

2

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№17 

№18 

 

















































38

4

13

5

5

6

5

5

3

6

2

3

9

6

51

8

11

7

5

4

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 













































14

6

7

7

10

51

8

9

9

9

6

4

9

5

7

4

3

7

 

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№19 

№20 











































10

10

3

5

1

5

9

6

6

5

3

11

4

3

7

 

4

3

2

3

2

1

4

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 





















































0

4

3

5

4

1

2

13

7

4

3

3

4

1

4

11

3

 

4

3

2

1

4

3

2

1

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

 

210 

 

Ъядвял 8.1-ин davamı 

 

№21 

№22 

















































35

2

3

5

4

20

8

13

7

9

25

2

5

7

10

6

5

5

3

 

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

,

x

x

x

x

x

x

x

 















































4

4

3

7

6

11

12

8

3

7

4

7

2

5

3

5

4

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№23 

№24 















































1

2

3

5

22

2

4

20

17

2

2

3

 

4

3

2

1

4

2

1

3

1

4

3

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 













































5

6

3

40

2

5

7

5

10

5

9

6

20

5

5

 

4

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№25 

№26 













































5

7

3

6

0

3

5

3

35

6

5

8

80

6

9

5

7

 

3

2

1

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 















































3

4

4

3

2

7

3

2

2

3

1

3

2

9

3

2

4

 

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№27 

№28 

















































11

3

4

0

4

4

13

3

4

3

2

 

4

3

2

4

3

2

1

4

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 



















































12

8

7

5

8

2

7

7

2

8

5

7

2

2

8

3

3

4

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

№29 

№30 

 

5

8

1

6

3

2

4

3

2

5

2

3

2

2

3

2

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1















































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

1

9

9

20

10

4

5

2

3

3

7

5

5

3

4

4

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1









































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

211 

 

 Ъядвял 8.2 

 

 

№ 

Тянликляр системи 

Башланьыъ 

йахынлашмалар 

Ъаваб 

1 

















1

1

0

24

1

2

2

2

1

2

2

1

x

x

.

x

.

)

x

x

sin(

 

74

0

1

.

x



 

67

0

2

.

x



 

7159

0

1

.

x



 

6982

0

2

.

x



 

 

2 

















1

2

6

0

2

0

2

2

2

1

2

1

2

1

x

x

.

x

)

.

x

x

(

tg

 

8

0

1

.

x



 

5

0

2

.

x



 

8765

0

1

.

x



 

5192

0

2

.

x



 

 

3 















3

0

3

3

3

2

1

2

2

1

2

1

.

x

sin

x

sin

x

sin

x

sin

 

5

0

1

.

x



 

5

0

2

.

x



 

4108

0

1

.

x





 

7750

0

2

.

x



 

4 

















1

2

0

4

2

2

2

1

1

2

1

x

x

x

)

x

x

(

tg

 

1

1





x

 

1

2



x

 

5275

0

1

.

x





 

6007

0

2

.

x



 

5 





















0

4

0

3

3

2

3

1

2

2

4

1

x

x

x

x

 

1

1



x

 

0

2



x

 

4215

1

1

.

x



 

0408

1

2

.

x



 

6 

















82

0

3

1

1

2

2

1

.

x

x

cos

.

x

x

sin

 

5

0

1

.

x



 

1

2



x

 



1

x

7693

1.

 



2

x

3196

0.



 

7 

















2

2

2

1

1

1

2

1

2

x

cos

x

.

x

)

x

sin(

 

0

1



x

 

1

2



x

 

2018

0

1

.

x





 



2

x

5102

0.

 

8 

















3

5

0

1

1

2

1

2

x

cos

x

.

x

)

x

cos(

 

1

1



x

 

2

2



x

 



1

x

2451

0.

 



2

x

9701

3.

 

9 

















0

1

0

1

1

2

2

1

)

x

ln(

x

x

x

 



1

x

1 



2

x

1 



1

x

1.2400

 



2

x

0.8065

  

10 



















2

0

1

2

1

2

1

x

x

x

lg

)

x

lg(

 



1

x

5

1.

 



2

x

1 

2.7549

1



x

 



2

x

0.5698

 

 

 

212 

 

Ъядвял 8.2-нин davamı 

 

 

№ 

Тянликляр системи 

Башланьыъ 

йахынлашмалар 

Ъаваб 

11 

















0

2

1

2

2

1

2

2

1

x

)

x

(

x

x

x

 



1

x

5

0.



 



2

x

1 

2.7549

1



x

 



2

x

0.5698

 

12 

















1

5

0

2

5

0

2

1

2

1

)

.

x

sin(

x

.

)

x

x

cos(

 



1

x

0 



2

x

0 

5157

0

1

.

x



 



2

x

0.5315

 

13 















2

0

2

2

2

1

2

1

x

x

x

x

ln

 



1

x

1 



2

x

0 

1.3775

1



x

 



2

x

0.3203

 

14 



















7

0

1

2

2

2

1

2

2

1

.

)

cos(

sin(

x

x

x

)

x

 



1

x

1 



2

x

0  



1

x

1.364

 



2

x

1.297



   

15 

















1

0

2

1

2

2

1

x

x

sin

x

x

 



1

x

0  



2

x

0

 



1

x

0.6367

 



2

x

0.4054

   

16 



















0

2

1

1

2

2

1

2

1

x

)

x

)(

x

(

x

e

x

 



1

x

0  



2

x

0

 



1

x

0.7861



 



2

x

5444

0.



   

17 























0

1

5

2

0

3

1

2

1

2

1

2

1

1

1

x

x

x

x

x

x

lg

x

 



1

x

10

 



2

x

3

 



1

x

3.7568

 



2

x

  

2.7798

   

18 















1

2

1

3

2

2

1

2

1

x

x

x

)

x

(

 



1

x

3

 



2

x

1 



1

x

2.2523

 



2

x

1.5970

   

19 















5

0

3

2

3

2

1

3

2

1

2

1

.

x

sin

x

sin

x

sin

x

sin

 

5

0

1

.

x



 

3

0

2

.

x



 

1.0140

1



x

 

0.0504

2



x

 

20 























2

6

0

3

6

2

3

2

2

1

1

3

2

3

1

x

x

x

x

x

x

 



1

x

0 



2

x

0

 



1

x

0.5185

 



2

x

3054

0.



   

 

 

 

 

 

 

 

 

213 

 

Ъядвял 8.2-нин davamı 

 

№ 

Тянликляр системи 

Башланьыъ 

йахынлашмалар 

Ъаваб 

21 





















0

2

1

0

1

2

1

1

2

1

x

)

x

)(

x

(

)

x

ln(

x

 



1

x

0  



2

x

0  



1

x

0.8031



 



2

x

0.5520



   

22 















2

0

2

2

2

1

1

2

x

x

e

x

x

 



1

x

1 



2

x

1 

1.3775

1



x

 



2

x

0.3203

 

23 















2

3

1

3

2

2

1

2

1

x

x

x

)

x

(

 



1

x

2  



2

x

2  



1

x

2.7137

 



2

x

1.7505

   

24 















3

1

2

2

2

1

2

1

x

x

x

x

ln

 



1

x

2 



2

x

0 

1.6604

1



x

 

4929

0

2

.

x





 

25 



















0

2

1

1

2

2

2

1

2

1

x

)

x

)(

x

(

x

e

x

 



1

x

1 



2

x

2  



1

x

1.9528 



2

x

3.0242   

26 

















1

1

2

5

0

2

1

2

1

)

x

sin(

x

.

)

x

x

cos(

 



1

x

1 



2

x

2  

9083

0

1

.

x



 



2

x

1.9555