H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov



Yüklə 7,81 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə18/48
tarix22.05.2020
ölçüsü7,81 Mb.
#31344
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   48
Ar2015-665


2.  Manrisin  ranqi-  xətti  aslı  olmayan  sətirlərinin  və  ya  sütunlarının 

sayı.Başqa tərif: determinantı sıfra bərabər olmayan ən böyük minorun tərtibi- 

rank(A)

 

 

Bu halda birinci üç vektor üçün  



 

172 


 



































0

0

0



1

8

3



1

3

2



1

2

1



3

2

1



c

c

c

 

münasibətini ödəyən c



i

-lər mövcud olduğundan (vektorların əttilik xassəsi) A 

matrisinin birinci üç sütunu xətti asılıdır. Doğrudan da bu tənliklər sistemini 

vektor şəkildə deyil, koordinat formasında yazsaq alariq: 

.

0

,



0

8

3



2

,

0



3

2

3



2

1

3



2

1

3



2

1









c

c

c

c

c

c

c

c

c

 

      Həll: c



1

=c

2



 +c

3

, c



2

=-2c


3

. Bu səbəbdən sistemin sonsuz həlli mövcuddur. 

Onlardan buru:

 

c



1

=1, c


2

=2, c


3

=-1. 


Sonuncu sütun isə bunların istənilən biri ilə xətti asılı olmadığından 

matrisin ranqı 2-yə bərabərdir: 



3.Matrisin xarakteristik çoxhədlisi (polinomu), 



)

det(



A

I

p

, 



poly(A). D=λI-A matrisi xarakteristik matris adlanır. 

 

     



 

 

     Nəticədə  xarakteristik  polinomun  əmsalları  alınır.Polinomun  özü  isə



.

21

4



8

2

3









p

Və ya 


 

 

 

4.Matrisin məxsusi ədədləri (xarakteristik tənliyin kökləri), λ

i

- eig(A)

egi- alman sözü “ eigen” olub “məxsusi” deməkdir. 


 

173 


 

     


 

      Burada  λ

1

=-21.68,  λ



2

=10.92,  λ

3,4

=-1.62±1.15i.  Re(λ



i

)<0  şərti  ödənilən 

matris  Hurvis  matrisi  adlanır  və  əks  əlaqəli  idarəetmə  sistemlərinin 

dayanıqlığını təyin etmək üçün istifadə olunur. 

     Məxsusi  ədədlərin  məcmusu  matrisin  spektri  adlanır.Adətən  məxsusi 

ədədlər diaqonal matris formasında təqdim edilir: S=diag(λ

1

,..., λ


n

). 


5.Matrisin  məxsusi  vektorlaru  v

i

-    məxsusi  λ

i

  ədədinə  uyğun  gələn  və 



aşağıdakı tənliyi ödəyən məxsusi v

vektorudur: 



                                        Av

i



i

 v

i



.                     i=1,2,...,n 

     Və ya  



D

i

v



i

=0.                                              (7.1)  

     Burada  

D

i



i

İ-A,  v

i

= (v



i1

, v


i2

,..., v


in

)



– məxsusi vektor, İ-n×n ölçülü vahid matrisdir. 

     (7.1) tənliklər sisteminin determinantı detD

i

=0 olduğundan tənliklərdən biri 



digərilərinin  xətti  kombinasiyasıdır.  Bu  “artıq”  tənliyi  nəzərdən  atsaq  v

i

 



vektoru sərbəst əmsal dəqiqliyində tapılır.Matlabda bu sabil hər bir v

i

 üçün elə 



seçilir ki, onun uzunluğu vahidə bərabər olsun, yəni 

.

1



)

(

2



/

1

2





j

ij

i

v

v

 

     Fərz edək ki, 



.

2

3



2

1







A

 

 

     Bu matrisin məxsusi əddləri :  λ

1

=-1,  λ


2

=4.    

     Birinci v

1

 məxsi vektoru  təyin etmək üçün (7.1) matris tənliyi: 



 

174 


 

.

0



0

3

3



2

2

12



11















v



v

 

 



      Buradan 

.

0



3

3

,



0

2

2



12

11

12



11





v



v

v

v

 

 

     Bu  tənliklər  yalnız  sabit  vuruq  ilə  fərqlənirlər.Ekvivalent  tənlik 

.

0



12

11





v

v

v

11



=1 qəbul etsək v

12

=-1 alarıq. Beləliklə v



1

=(1 -1)


T



     Analoji  olaraq  v

2

  =(v


21

,  v


22

)

T



  vektoru  üşün  v

21

=2  qəbul  etsək  v



22

=3 


alarıq.Bu halda v

2

=(2  3)



T

. Və ya normallaşdırma aparsaq v

2

=(1   3/2)



T



      Bu məsələni Matlabda həll edək. 

      Eyni  zamanda  bütün  məxsusi  vektorları  (V  matrisinin  v

i

  sütunları  )və 



məxsusi  ədədləri  (S-diaqonal  matris  şəklində)  hesablamaq  üçün  iki  giriş 

arqumentli 

[V,S]=eig(A)  funksiyasından istifadə olunur. 

 

     



 

 

     Burada  V=  [v

1

  v



2

]-məxsusi  vektorlar  matrisi  (

1

,

1



2

1





v

v

),  S-məxsusi 

ədədlərdən ibarət olan diaqonal matrisdir (matrisin spektri). 

6. Matrisin izi-matrisin diaqonal elementlərinin cəmi,Tr(A) (və ya Sp(A)).  

Trace(A)=a

11

+a



22

+...+a

nn 

 

     Sintaksis:  



tr=sum(diag(A))

 

175 


 

 

 



7. Matrisin sinqulyar (baş) ədədləriA

*

A və AA

*

 matrislərinin ortaq 

məxsusi λ

i

 ədədlərinin kvadrat kökünün qiymətləridir,



|



|

i

i



  σ

i

=svd(A). 

     Normal    matrislər  üçün  AA

*

  =  A



*

A  və  təbii  ki,bu  matrislərin  məxsusi 

ədədləri eyni olur.  

 

     

 


 

176 


 

     

 

      Göründüyü kimi, C1=AA* və C2=A*A matriclərinin  müxtəlif olmalarına 

baxmayaraq  məxsusi  ədədləri  eynidir:  Lyamda1=Lyamda2.  Sinqulyar  ədədlər 

isə bunlardan kv. kök alınıb azalma sırasına gərə düzülməklə əldə edilmişdir. 

Sinqulyar ədədlərin hasili matrisin determinantının moduluna bərabərdir: 

|det(A)|=σ

1

 σ

2



...σ

n



8.  Matrisin  şərtləşmə  ədədi-  µ.Cəçri  Ax=b  tənliyjnjn  həll  etdikdə  həllin 

birqiymətli olması və Ab parametrlərinin kiçik dəyişmələrinə həssas olmaması 

(dayanıqlı olması)praktiki məsələlərin həlli zamanı çox önəmlidir.Həllin (yəni 

x-in)  hesablama  korrektliyi  A  matrisinin  şərtləşmə  ədədindən  asılıdır.Bu  ədəd 

həllin  həssaslığını  təyin  edir  və  dayanıqlıq  göstəricisidir.Şərtləşmə  ədədi  A 

matrisinin cırlaşan matrisə 

0

)

det(





A

 yaxınlığını da xarakterizı edir. 

     Misal 6.3. Aşağıdakı xətti cıbri tənliklər cicteminə baxaq: 

 

.



999

.

7



4

999


.

3

2



2

1















y

x

 

 

177 


 

     

Həll 


.

1

2













y

x

 

     

Sistemin sağ tərəfinə (b-yə)azacıq dəyişiklik edək: 

 

.

998



.

7

001



.

4

999



.

3

2



2

1















y

x

 

     Yeni həll: 

.

000


.

4

999



.

3













y

x

 

 

     

İndi sistemin əmsallarına (A-ya) azacıq dəyişiklik edək: 

 

.

999



.

7

4



998

.

3



001

.

2



001

.

2



001

.

1

















y

x

 

     

Həll: 


.

001388


.

0

994



.

3













y

x

 

 

Görqndqyü kimi, sistemin əmsallarının və sağ tərəfinin azacıq dəyişməsi həldə 

böyük  dəyişiklərə  səbəb  olur.Buna  səbəb  sistemin  “pis  şərtləşməsidir”.  p=2 

evklid norması üçün A-nın şərtləşmə ədədi 

 

     


 

     Şərtləşmə  ədədinin 

1

24992






olması  sistemin,yəni  A  matrisinin,  “pis 

şərtləşmiş”  olmasını  göstərir. 

001

.

0



)

det(




A

olduğundan  A  cırlaşan  matrisə 


 

178 


 

çox  yaxındır.  Lakin  bu  göstərici  sistemin  “pis  şərtləşən”  olmasını  tam 

xarakterizə etmir. 

     Pis  şərtləşmiş  matrisə  aid  Hilbert  matrisini  göstərmək  olar.  Bu  matris  belə 

təyin olunur:H(i,j)=1/(i+j-1). 

     Misal. 

 

     Göründüyü  kimi,  şərtləşmə  ədədi  µ=4.766*10



5

  çox  böyük  olduğundan 

Hilbert matrisi pis şərtləşmiş matrisdir. 

     Adətən  adaptiv  (özü  sazlanan)  sistemlərdə  cari  informasiya  əsasında  A 

parametrini  qiymətləndirdikdə  müxtəlif  təsadüfi  küylərin  mövcud  olması 

səbəbindən tapılmış A matrisi “pis şərtləçən “ olur. 

     Həllin  A  və  b  parametrlərinin  kiçik  dəyişmələrinə  qarşı  həssaslığını  

azaltmaq üçün “requlyarizasiya” üsüllarından istifadə olunur. 

      Ümumi  şəkildə  cırlaşan  olmayan  kvadratik  A  matrisinin  şərtləşmə  ədədi 

aşağıdakı şəkildə təyin olunur: 

.

1





A



A



 

Burada 



A



matrisin  verilmiş  normasıdır.  Əgər



A



spektral  norma 

şəklində verilərsə istənilən kvadratik matris üçün şərtləşmə dərəcəsi: 

.

min


max





 

Burada λ

max 


və λ

min


 A matrisinin ən böyük və ən kicik məxsusi ədədləridir. 

Simmetrik matris üçün 

.

|

|



max

i





 

 

179 


 

Xatırladaq ki, spektral norma

),

max(


)

max(


i

i

A





 yəni matrisin ən 

böyük  sinqulyar  ədədinə  bərabərdir.  Matlabda  matrisin  şərtləşmə  ədədini 

təyin etmək üçün µ=cond (A,p) funkciyasıdan istifadə olunur.Burada p ədədi 

mtrisin normasının tipini göstərir, p=1,2, inf və s. verilə bilər.p yazılmayanda 

avtomatik olaraq p=2, yəni evkilid norması götürülür. 

 

9. Matrisin normaları . 

 

Düzbucaqlı  n×m  ölçülü    matrislərüşün  aşağıdakı  normalardan  geniş 

istifadə olunur.  

9.1.p=1,1-norma-hər-bir  sütunun  elementlərinin  modullarının  cımi 

içərisində ən ən böyük (max) olanı: 

;

max


1

1

1







n



i

ij

m

j

a

A

 

A1=max(sum(abs(A),1)). 

 

9.2. p=2, evklid norması-bütün elementlerin kvadratları cəminin kv. Kökü: 

;

)



(

2

/



1

1

1



2

2











 

n

i

m

j

ij

a

A

 

A2=sqrt(sum(sum(A.^2))). 



 

9.3.  p=∞,  ∞-norma-hər-bir  sətrin  elementlərinin  modullarının  cəmi 

içərisində ən böyük (max) olanı: 

;

max


1

1







m



j

ij

n

i

a

A

 

Ainf=max(sum(abs(A),2)). 

 

Misal 6.4. A matrisinin ∞- normasını hesablayaq: 

 

.

5



1

5

6



1

.

2



3

0

7



10











A

 

.

17



]

11

,



1

.

11



,

17

max[



)]

5

1



5

(

),



6

1

.



2

3

(



),

0

7



10

max[(












A



 

9.4. spektral (sinqulyar) norma- matrisin ən böyük sinqulyar ədədi                     

 

180 


 

);

max(



)

max(


i

i

s

A





 

As=max(eig (A)). 

 

Aşağıda verilmiş A matrisi üçün iki yol ilə şərtləşmə ədədini hesablayaq. 



p=∞ (p=inf) normasından istifadə edəcəyik. 

 

 



 

 

 



 

181 


 

 

Göründüyü  kimi,  ümumi 



1





A

A

  ifadəsi  və  c=cond(A,p)  Matlab 



funksiyasının köməyi ilə alnmış nəticələr eynidir. 

Deyd  edək  ki,  həmişə 

1





100


1



intervalında  olarsa  matris  yaxşı 

şərtləşmiş hesab olunur.  

Matlabda  matrisin  normasını  hesablamaq  üçün  xüsusi  N=norm(A,p) 

funksiyası da mövcuddur. Məsələn, 

 

 



 

10. Vektorun norması. 

)

,...,



,

(

2



1

n

x



(vektor sətir) üşün norma: 



 

1

;



/

1

1











p

x

p

n

k

p

k

p



 



 

Bu norma p göstəricisi ilə Helder norması adlanır.Helder normalarının ən 

geniş yayılmış formaları p=1, p=2, p=∞ qiymətləri üçün nəzərdə tutulmuşdur: 

 

.



max

;

;



1

2

/



1

1

2



2

1

1



k

n

k

n

k

k

n

k

k

x

x

x

















 

 

p=2 qiymətinə uyğun gələn norma evklid norması adlanır və bəzi hallarda 



E

x

kimi işarə olunur. 

 

 

Matlabda realizasiya 



 

 

182 


 

 

 



Matlabda xüsusi n=norm(x,p) funksiyası da mövcuddur.Məsələn, 

 

 



  11. Matrisin diaqonal formaya gətirilməsi. İdarəetmə nəzəriyyəsində və 

başqa sahələrdə  matrisin diaqonal şəklə gətirilmısi bir-şox riyazi əməliyyatları, 

məsələn, əvvəldə baxdığımız keçid matrisinin hesablanmasını, aslaşdırır. 

     Kvadratik  A  matrisi  üçün  elə  başqa  kvadratyik  P  matrisi  tapmaq  tələb 

olunur ki, aşağıdakı matris tənliyi ödənilsin: 

.

1





AP

P

 

Burada  Λ  diaqonal  matrisdir:  Λ=diag(λ



1

2



,  ...,λ

n

).  λ



i

-  A  matrisinin  məxsusi 

ədədləridir. P matrisinin sütunları isə A matrisinin məxsusi vektorlarıdır. 

     Misal 6.5. Fərz edək ki, 



 

183 


 

.

7



14

8

1



0

0

0



1

0













A

 

Xarakteristik tənlik: 

.

0

8



14

7

)



det(

2

3











A

I

 

Buradan məxsusi ədədlər: 



.

4

,



2

,

1



3

2

1









 

Məxsusi  v

i

 vektorları aşağıdakı tənliklər sisteminin həllindən tapmaq olar: 



.

3

,



2

,

1



,

v

v





i



A

i

i

i

 



Bu tənliklər sistemini birləşdirib aşağıdakı matris tənliyinə gətirmək olar: 

 

.



V

)

(



V



D



A

 



 

).

(



)

(

,



,...,

,...,


]

v

...



v

v

[



V

3

2



1

1

1



11

2

1







diag

D

v

v

v

v

nn

n

n

n













Yüklə 7,81 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   48




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin