H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

 

6. 

3

x

ln

arctg

y



 

7. 

4

1

2





x

tg

ln

y

 

 

8. 

3

3

3

x

x

ln

x

y





 

9. 

4

4

4

x

tg

x

cos

y





 

 

10. 

)

x

e

ln(

y

x

3

2









 

11. 

)

e

cos(

)

e

sin(

e

y

x

x

x











   

12. 

2

5

3

arctgx

x

y





 

13. 

x

sin

)

x

e

ln(

y

x









1

2

4

   

14. 

5

3

5

3

x

x

sin

y





 

15. 

x

cos

x

e

y

x











3

2

3

1

 

 

16. 

1

2





x

e

x

y

 

17. 

)

x

x

ln(

e

y

x

5

2

2











 

 

18. 

)

x

sin(

x

y

3

2

3

2







 

19. 

x

)

x

x

lg(

y









1

5

3

2

 

 

20. 

)

x

cos(

x

y

2

3

3







 

21. 

x

)

e

x

x

ln(

x

y

x

2

2









 

 

22. 

1

2

3

3







x

e

x

x

y

  

23. 

1

2

2







x

e

x

x

y

 

 

24. 

1

3

3

2











x

x

e

x

x

e

y

 

25. 

x

)

x

x

lg(

y









2

3

5

2

 

 

26. 

)

x

sin(

x

y

2

3

2

3







 

27. 

x

sin

x

y







3

3

4

 

 

28. 

4

3

1

4







x

x

cos

y

 

 

 

 

 

Çalışmalar - 9.2 

 

Тапшырыг  вариантларына  уйьун  олараг  мцяййян  интеграллары  йухарыда 

 

280 

 

эюстярилян ядяди цсулларла MatLAB системляриндя щесабламалы. 

 

 

Тапшырыг вариантлары 

 

1.  

dx

x

,

,





6

1

8

0

2

1

2

1

 

2.  

dx

x

)

x

sin(

)

x

(

,







1

5

0

2

1

 

3.  

dx

x









0

2

1

 

4.  

dx

e

x

)

,

x

(

tg

x

,







1

5

0

5

0

 

5.  

dx

x









0

2

2

1

 

6.  

dx

x

)

x

cos(

,





1

5

0

2

2

 

7.  

dx

e

x

x





1

0

3

2

 

8.  

dx

e

x

x

cos

x

,







1

5

0

2

1

 

9.  

dx

e

x

x





1

0

2

2

 

10.  

dx

e

x

)

x

ln(

x







1

0

1

 

11.  

dx

)

x

(

xtg

,





6

0

0

2

1

 

12.  

dx

e

x

)

x

(

ln

x







1

0

2

1

 

13.  

dx

e

x

x

x









1

0

2

1

1

 

14.  

dx

e

x

)

x

ln(

x

2

1

0

1







 

15.  

dx

)

x

sin(

x

x









1

0

2

4

1

 

16.  

dx

)

x

ln(

)

x

(

xtg

,







5

0

0

2

1

1

 

17.  

dx

)

x

cos(

x

x









1

0

2

4

1

 

18.   

dx

)

x

(

arctg

x

x







1

0

2

4

1

 

19.  

dx

)

x

cos(

x

x









1

0

2

2

4

1

 

20.  

dx

e

)

x

cos(

x

x

x











1

0

2

4

1

 

21.  

dx

x

arctgx





1

0

2

1

 

22.  

dx

x

x

ln

x

x

,











5

1

0

2

2

2

2

4

1

 

 

281 

 

23.  







1

2

1

dx

)

x

ln

(

x

x

ln

 

24.  









75

0

0

1

2

2

1

,

)

x

(

dx

e

x

x

sin

 

25.  







1

0

3

1

3

1

3

dx

)

ln(

x

x

x

 

26.  



1

0

dx

tgx

x

x

x

 

27.  





2

3

0

2

1

dx

x

x

arcsin

 

28.  







1

0

1

1

dx

x

)

x

ln(

x

x

x

x

 

29.  



2

1

0

13

,

dx

)

x

arccos

cos(

 

30.  





5

2

0

1

,

x

x

dx

)

x

ln(

x

 

FƏSIL 10  

 

ADI DİFERENSİAL TƏNLİKLƏRİN  HƏLLİ  

________________________________________________________  

 

10.1. Dinamik sistemlərin diferensial tənliklərlə  

             

yazılışı 

Dinamik  obyektlərin  koordinatları  zamana  görə  dəyişdiyindən  onların 

modellərinə giriş  və çıxış  dəyişənlərinin  sürəti,  təcili və s.,  yəni  zamana  görə 

birinci, ikinci və daha yüksək tərtibli törəmələri daxil olur. Axtarılan funksiya, 

yəni məchulun törəmələrinin daxil olduğu tənlik diferensial tənlik adlanır.  

      Diferensial  tənliklər  ingilis  alimi  İsaak  Nyuton  (1642



1727)  tərəfindən 



ixtira



 olunmuşdur. O, deyirdi: 



təbiətin qanunları diferensial tənliklərlə ifadə 

olunmalıdır



. 

       Məchul  bir  dəyişənli  funksiya 

)

t

(

y

  olarsa,  diferensial  tənlik 

adi 

diferensial  tənlik,  çoxdəyişənli  funksiya 

)

t

,

,

x

,

x

(

y

2

1



  olduqda  isə 



 

xüsusi 

törəməli və ya paylanmış parametrli diferensial tənlik adlanır. Aşağıda uyğun 

tənliklər göstərilmişdir: 

);

,

(

)

(

t

y

f

dt

t

dy



  

).

,

,

(

)

,

(

)

,

(

t

x

y

f

t

t

x

y

x

t

x

y















   

    Naməlum (məchul) 

)

t

(

y

 və 

)

t

,

x

(

y

 funksiyaları bu tənliklərin həlli nəticə-

sində tapılır. Biz adi diferensial tənlikləri öyrənəcəyik. 

 

10.2. Diferensial tənliklərin tərtib olunmasına 

         aid misallar 

 

282 

 

     1. Əgər isti cisim tez, soyuq cisim isə gec soyuyursa, onda soyuma sürəti, 

yəni  temperaturun  zamana  görə  dəyişməsi  cismin  baxılan  anda 

)

t

(

x

 

temperaturundan asılı olacaqdır. Onda soyuma tənliyi: 

,

)

t

(

kx

dt

)

t

(

dx





                                         (10.1) 

burada 

0

k





 mütənasiblik əmsalıdır. Mənfi işarəsi temperaturun azalmasını 

göstərir. Bu halda tənliyin həllindən tapılacaq məchul 

)

t

(

x

-dir. 

2. Fərz edək ki, nohurdakı balıqların artım sürəti onların ümumi sayı x ilə 

düz mütənasibdir. Onda artım tənliyi:  

kx

dt

dx



.                                                  (10.2) 

    Əgər  artım  sürəti  fərdlərin  ümumi  sayına  yox,  cütlərin  (dişi-erkək)  sayına 

mütənasibdirsə, bu daha təsirli faktor olduğundan artım sürətinin 

2

х

  kəmiy-

yətindən asılılığını daha adekvat (uyğun) hesab etmək olar:  

2

kx

dt

dx



.                                                  (10.3) 

Bu tənlik həm də ona görə daha adekvatdır ki, 

х

-in böyük qiymətlərində 

artım daha sürətlə (partlayış), kiçik qiymətlərində isə 



 olduqca yavaş gedir. 

3. Nyutonun  birinci  qanununa  (ətalət  qanunu)  əsasən  kənar  qüvvələrin 

təsirinə məruz qalmayan maddi nöqtənin təcili sıfıra bərabərdir:   

0

dt

x

d

2

2



.                                              (10.4) 

Bu halda 

)

t

(

x



 məsafəni xarakterizə edir. 

4. Nyutonun  ikinci  qanununa  əsasən  hərəkət  tənliyini  aşağıdakı  şəkildə 

yazmaq olar:    

 

      

         

F

dt

x

d

m

2

2



. 

                                (10.5) 

4.1. Əgər cismin cazibə qüvvəsi altında sərbəst düşməsinə baxılırsa, onda 

Qalileyə görə qüvvə 

mg

F





 olduğundan hərəkət tənliyi 

g

)

t

(

x









. Bu tənliyi 

inteqrallasaq,  sürətin  dəyişməsini 

1

C

gt

)

t

(

x









,  bir  dəfə  də  inteqrallasaq  

hündürlüyün dəyişmə tənliyini alarıq: 

 

         

2

1

2

C

t

C

t

2

g

)

t

(

x

)

t

(

h











. 

Burada 

1

C   və 

2

C   inteqrallama  sabitləri  olub  ilkin 

0

t



  anında  cismin 

vəziyyətindən,  yəni  hündürlüyün 

0

h

)

0

(

h



  və  sürətin 

0

h

)

0

(

h







  başlanğıc 

qiymətlərindən  asılıdır.  Fərz  edək  ki,  başlanğıc  sürət   

0

h

0





.  Bu  qiymətləri 

 

283 

 

yuxarıdakı  ifadədə  yerinə  yazıb  alınmış tənliklər sistemini həll etsək, taparıq: 

0

C

1



, 

0

2

h

C



. Bu halda hündürlüyün dəyişmə qanunu 

                                       

2

0

t

2

g

h

)

t

(

h





, 

0

h

h

0





. 

4.2. Havanın  müqavimətini  nəzərə  alıb,  fərz  edək  ki,  müqavimət  qüvvəsi 

cismin düşmə sürətinə mütənasibidir:  

v

F

m





, 

const





 



  havanın  müqavi-

mətini nəzərə alan sabit əmsaldır. Bu qüvvənin qravitasiya 

mg

F

q



 qüvvəsinin 

əksinə yönəldiyini nəzərə alsaq, yekun qüvvə: 

              

 

    

v

mg

F

F

F

m

q











. 

Baxılan hal üçün cismin hərəkətinin sürətin dəyişməsinə nəzərən yazılmış 

diferensial tənliyi:  

               

                            

v

mg

dt

dv

m







 .     

Və ya 

          

g

av

dt

dv







,   

m

a





,   

const

g



             (10.6) 

Şəkil 10.1-də 4.1 və 4.2 halları üçün cismin 

  düşmə   diaqramları     göstərilmişdir.   Cazibə  

qüvvəsinin təsiri altında sürətartdıqca havanın 

da  müqaviməti  artaraq  cismi  tormozlamağa  

başlayacaq.       Yəni       

const

v



 olacaqdır. 

Qərarlaşma  sürətini  tapmaq  üçün burejimdə  

 

0

v





   lduğunu nəzərə    alıb,  onu     (10.6) 

 tənliyində               yerinə    yazaq.      Onda 

  

                                                   

0

g

av







. 

Buradan 





mg

v

. Bu ifadə           

0

v

)

t

(

v



 sürətinin dəyişməsindən asılı 

olmayıb sabitdir.Fərz edək ki, 

kq

10

m



,  

s

/

kq

2





 və məlum olduğu kimi, 

sərbəstdüşmə 

təcili 

2

s

/

m

8

,

9

g



. 

 

Onda 

qərarlaşma 

sürəti   

s

/

m

49

2

/

8

,

9

10

v

q







.  Cisim  müəyyən  vaxtdan  sonra  sabit    sürəti  ilə 

düşməyə  başlayacaqdır.  Əlbəttə,  əgər  cisim  bu  vaxta  qədər  yerin  səthinə 

çatmazsa.  Göstərilən  xüsusiyyət  paraşutçuya  və  cismin  mayedə  batmasına  da 

aiddir (Stoks qanunu).  

Şəkil  10.2-də  (10.6)  diferensial  tənliyinin  müxtəlif  başlanğıc 

0

v

)

0

(

v



 

şərtlərində 

)

t

(

v

  həllər  ailəsi  göstərilmişdir.  Şəkil  10.3-də  Simulinkdə  həll 

sxemi göstərilmişdir. 

m 

mg 

m 

mg 



v 

a) 

b)