H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

Şəkil 10.8 

 

1.  Vav-der-Pol tənliyi.  

Qeyri-simmetrik  rəqslərin  generasiyasında  istifadə  olunan  Van-der-Pol 

tənliyinin həllini tapaq: 

0

y

y

)

1

μ(y

у

2















. 

0

μ



 



  dinamik  sistemin  qeyri-xəttilik  dərəcəsini  təyin  edən  parametrdir.     

y=x

1

 , y' =x

2

  qıbul etsək uyğun tənliklər sistemi: 

                                                

1

2

1

f

x

x







 

                    

2

1

2

2

1

2

f

x

x

)

1

x

(

x















,  

 

y

x

1



, 

y

x

2





 

 

Fərz edək ki, 

2





,  

2

x

10



, 

0

x

20



 . 

Şəkil  10.9-da 

45

ode

  funksiyasından  istifadə  etməklə  həll  proqramı 

göstərilmişdir. 

 

302 

 

 

                     

 

        

 

        

 

303 

 

 

 

Şəkil 10.9. Van-der-Pol tənliyinin həlli 

3. Yaşamaq yğrunda mübarizə (Yırtıcı-qurban məsələsi). 

Bu  prosesin    Lotk-Volter  modeli  aşağıdakı  qeyri-xətti  əlaqəli  diferensial 

tənliklər sistemi ilə yazılır:  

.

,

2

1

2

2

2

1

1

1

y

ry

Ry

y

y

py

Py

y















 

Burada 

)

t

(

у

1

, 

)

t

(

у

2

 uyğun olaraq qurbanların və yırtıcıların sayıdır. 

P sabiti qurbanlarin sayı sıfra bərabər olduğu halda yırtıcıların sayını təyin 

edir.Yırtıcı tırəfindın qurbanın yeyilməsi ehtimalı y

1

y

2

 hasilinə uyğundur.Belə 

ki, py

1

y

2

 yırtıcıların sayının azalmasına uyğun gəlir.Eyni zamanda ry

1

y

2

 hasili 

qurbanları  yeyən  yırtıcıların  sayını  xarakterizə  edir.  P,p,R,r  parametrlərinin 

müəyyən  qiymətlərində  yırtıcıların  və  qurbanların  sayının  zaman  üzrə 

dəyişməsi xarakter daşıyır. 

Parametrlər P=3,R=2,p=r=1. Başlanğıc şərtlər y=(y

10

;y

20

)

T

=(3;4)

T.

  

Şəkil  10.10-da

23

ode

s  funksiyasının  köməyi  ilə  alınan  ədədi  həll  və 

nəticələr  göstərilmişdir. 

 

 

304 

 

 

Şəkil 10.10. Lotk-Volter tənliyinin həlli 

 

10.5. Diferensial tənliklərin Simulink 

         

paketində həlli 

 

Diferensial  tənliyin  həll  sxemini  Simulink-də  qurmaq  üşün  ilkin  tənliyi 

tənliklər sistemininə gətirmək lazımdır.  

1.  Qeyri-xətti tənliklər. Əgər 



giriş-çıxış



 formasında yazılmış birölçülü 

obyektin tənliyini yüksək tərtibli törəməyə nəzərən, yəni aşkar formada 

)

u

,

y

,...,

y

(y,

y

1)

(n

(n)









                                 (10.19) 

yazmaq  mümkündürsə,  belə  tənliyi  həmişə  tənliklər  sisteminə  gətirmək 

mümkündür.  

 

305 

 

Yeni dəyişənlər                                   

                               

  

y



1

х

,  

y



2

x

, ... , 

)

1

(

x





n

n

y

 

daxil  etsək,  (10.19)  tənliyini  aşağıdakı  normal  tənliklər  sistemi  şəklində 

yazmaq olar: 

                                  

.

y

     

,

x

x

,

x

x

1

2

1

3

2

2

1

x

,u),

,...,x

,x

(x

x

n

n



















                                       (10.20 

Burada 

)

(





 



 qeyri-xətti funksiyadır. 

Avtomatik  tənzimləmədə  x

i

  dəyişənləri  vəziyyət  dəyişənləri  ,  Uyğun 

sistem tənlik isə vəziyyət dəyişənlərində yazılmış tənlik adlanır. 

Misal 10.6. Əvvəldə baxdığımız qeyri-simmetrik rəqslərin generasiyasında 

istifadə olunan Van-der-Pol tənliyinin “giriş-çıxış” forması: 

0

y

y

)

1

μ(y

у

2















. 

0

μ



 



  dinamik  sistemin  qeyri-xəttilik  dərəcəsini  təyin  edən  parametrdir. 

y=x

1

, 

y

x

2





=x

2

 işarə etsək uyğun tənliklər sistemi 

.

)

1

(

,

1

2

2

1

2

2

1

x

x

x

x

x

x

















 

                                           y =x

1

. 

     Şəkil  10.11,a-da  Van-der-Pol  tənliyinin 

mu=5,  x0=(5;0)  başlanğıç 

şərtlərində həll sxemi, b-də y=x1-ə nəzərən keçid prosesi, c-də isə faza portreti 

göstərilmişdir. 

 

a) 

 

306 

 

    

 

b)                                                    c) 

Şəkil 10.11 

 

2.Xətti  tənliklər.  Burada 



giriş-çıxış



  formasında  verilmiş  xətti 

modellərin  vəziyyət  dəyişənlərində  ifadə  olunan  tənliklər  sisteminə 

gətirilməsi (çevrilməsi) üsullarına baxacağıq. 

1. Obyektin modeli: 

,

u

b

y

a

...

y

a

y

a

0

n

)

1

n

(

1

)

n

(

0











              

0

m



 

 

n

)

1

n

(

2

1

x

y

,...,

x

y

,

x

y











işarə  etsək  uyğun  vəziyyət  modelini 

aşagidakı şəkildə yazmaq olar: 

.

x

y

,

u)

b

x

a

...

x

(a

a

1

x

1

n

,...,

2

,

1

i

,

x

x

1

0

n

1

1

n

0

n

1

i

i

























                          (10.21)         

Burada qeyri-stasionar obyektlər üçün 

)

t

(

a

а

i

i



 zaman funksiyası da 

ola bilər.  

Uyğun matris tənliyi: 

.

d

C

,

b

A

dt

d

u

x

y

u

x

x









 

 

307 

 

       























































0

1

0

1

n

0

n

a

a

a

a

a

a

1

0

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

0

0

1

0

A









, 



































0

0

a

b

0

0

b

 ,  





0

0

1

C





, 

0

d



. 

Belə yazılış forması Frobenius forması adlanır. 

Şəkil  10.12-də  normal  formada  yazılmış  (10.21)  sisteminin  analoq 

modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir. 

 

 

 

 

Şəkil 10.12. Tənlik (10.21)-in modelləşdirmə sxemi 

 

     İnteqrallıyıcıların sayı tənliyin sətirlərinin sayı n-ə bərabərdir. 

 

10.5.1.Qeyri-

xətti və qeyri- stasionar tənliklərin  

           Simulink-

də həlli 

 

     

Bu  halda  analoq  (fasiləsiz)  qeyri-xətti  və  zamandan  asılı  olan  qeyri-

stasionar əmsalları  Simulinkin “User-Defined Functions” bunkerində yerləşən 

 

blokunun  köməui ilə realizə etmək olar. Qeyri-xəttiliklər kəsilən və  ya qeyri-

hamar olarsa Simulinkin müvafiq bloklarından istifadə etmək lazımdır. 

     Zaman  funksiyasını  realizə  etdikə  Fcn  blokunun  girişinə  ”Clock” 

blokundan zaman t siqnalı vermək lazimdir. Məsələn, 

 

308 

 

 

 

     Fcn bloku gırış siqnallarını yuxarıdan-aşağıya doğru u(1), u(2),... kimi qəbul 

edir. Blokun daxilinə yazılan ifadə parametrlər pəncərəsindən daxil edilir. Bir-

neçı giriş olduqda Mux (multepleksor) blikundan istifadə olunur. Məsələn, 

 

     Diferensial  tənlikdə  f(t,x

1

,x

2

,...)  şəkilli  qarışıq  həddlər  mövcuddursa  onları 

aşağıdakı şəkildə realizə etmək bəzi hallarda sxemin  sadələşməsinə gətirir. 

 

 

     

Misal  10.7.

 

Fərz  edək  ki.  ilkin  tənlik  aşağıdakı  qeyri-xətti  tənliklər 

sisteminə gətirilmişdir:

 

.

4

2

,

4

2

/

,

3

2

/

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

x

x

y

x

x

x

dt

dx

x

x

x

dt

dx



















 

     Başlanğıc şərtlər: x

1

=0, x

2

=1. 

       Şəkil  10.13-də  bu  tənliklər  sisteminin  Simulinkdə  həll  sxemi 

göstərilmişdir: 

 

309 

 

 

 

Şəkil 10.13. Obyektin modelləşdirmə sxemi 

 

     

Şəkildə 

.

4

2

,

3

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

x

x

f

x

x

f











 

     Səkil 10.14–də y(t)-çıxış və x1(t),x2(t) vəziyyət dəyişənləri göstərilmişdir. 

 

 

 

Şəkil 10.14 

      

10.5.2. Diferensial tənliklərin vektor modelləşdirilməsi 

 

Bu  üsul  sxemlərin  qurulma  metodikasını  sadələşdirir  və  istifadə  edilən 

qurğuların  sayını  əhəmiyyətli  dərəcədə  azaltmağa  imkan  verir.  Üsul 

Simulinkdə  inteqrallayıcı,  gücləndirici  və  s.  qurğuların  vektor  şəklində  (bir 

kanal  ilə  bir  neçə  siqnalın  ötürülməsi)  olan  siqnalları  qəbul  edib  əməliyyat 

apara bilməsinə əsaslanır.Bu halda yalnız bir ədəd inteqrallayıcı, gücləndirici 

və s. qurğulardan istifadə edilir! 

 

310 

 

Fərz edək ki, ümumi halda qeyri-xətti tənliklər sistemi verilmişdir: 

 

,

)

,

,

,

,

(

)

(

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

,

)

,

,

,

,

(

)

(

,

)

,

,

,

,

(

)

(

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

t

x

x

x

f

t

x

t

x

x

x

f

t

x

t

x

x

x

f

t

x

n

n

n

n

n



















 

                           (10.22)            

Burada 

dt

dx

x

i

i

/





; f

i

-funksiyaları  xətti şəkildə də ola bilər. 

Məsələ  verilmiş

 

)

0

(

x

,

),

0

(

x

),

0

(

x

n

2

1



  başlanğıc  şərtlərində 

)

t

(

x

i

, 

n

,

,

2

,

1

i





  həllərinin  qrafiki  şəkildə    tapılmasından  ibarətdir.  Lazım  gələrsə 

bu qiymətləri cap etmək də olar. 

Şəkil  10.15-də  (10.22)  tənliyinin  ümumiləşdirilmiş  həll  sxemi 

göstərilmişdir.  Fcn  bloklarına  (10.22)  tənliyinin  sağ  tərəfindəki  f

1

,  f

2

,...,  f

n

 

funksiyaları daxil edilir. Matlabda Fcn blokunun girişləri u(1),u(2),..., u(n) ilə 

işarə olunduğundan daxilinə yazılan f

i

(.) ifadələrində də bu işarələrdən istifadə 

etmək lazımdır! 

 

 

Şəkil 10.15. Qeyri-xətti sistemin həll sxemi 

 

Clock  (taymer)  blokunun  çıxış  siqnalı  t,    Fcn  blokuna  u(n+1)  şəklində 

yazılır.n=2 olarsa – u(3) şəklində olur. 

Misal 10.8.  «Qurban – yırtıjı» prosesinin modeli: 

).

(

),

(

2

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

1

t

b

x

rx

Rx

x

t

b

x

px

Px

x























                              (10.23)           

Burada x

1

, x

2

 – qurban və yırtıjıların sayıdır. 

P=3, R=2, p=r=1, b

1

=0.04, b

2

=0.01. Başlanğıj şərt x

10

=3, x

20

=4.  

 

311 

 

v

1

(t)=1-sin(0.2t), v

2

(t)=1-cos(0.2t). 

Şəkil 10.16- a,b və j-də həll sxemi, x

1

(t), x

2

(t) həlləri (keçid prosesləri) və 

faza portreti göstərilmişdir. Ədədi  inteqallama üsulu kimi  ode23s seçilmişdir. 

v

1

 və v

2

 idarə təsirləri kənardan olan «müdaxiləni» xarakterizə edir.  

 

a) 

             

 

                                          b)                                                     c) 

 

Şəkil 10.16. Tənlik (10.23)-nın həll sxemi və alınmış nətiçələr 

 

Misal 10.9. Vəziyyət dəyişənlərində verilən obyektin tənliyi: 

                                  

.

)

(

)

(

]

)

(

[

)

(

,

)

(

)

(

)

(

,

)

(

)

(

)

(

t

t

z

c

t

x

b

t

z

t

ay

t

x

t

y

t

z

t

y

t

x



























            

(10.24)

 

 

İdarə

t

e

t

4

.

0

)

(







.  Parametrlər 

2

.

0

b

a





, 

7

.

5

c



.  Başlanğıc  şərtlər 

0

)

0

(

z

)

0

(

y

)

0

(

x







.  

Şəkil 10.17-də obyektin modelləşdirilməsinin vektor sxemi göstərilmişdir.  

 

f1

f2

x1,x2

x1

x2

t=u(3)

XY Graph

1

s

xo

3*u(1)-u(1)*u(2)+0.04*(1-sin(0.2*u(3)))

-2*u(2)+u(1)*u(2)+0.01*(1-cos(0.2*u(3)))

(3  4)

 

312 

 

 

 

Şəkil 10.17. Həllin vektor sxemi  

 

Şəkil 10.18-də (10.24) sisteminin dinamik xarakteristikaları (a) və 

)

Y

,

X

(

 

görə faza portreti (b) göstərilmişdir.  

 

 

      a)                                                    b) 

 

Şəkil 10.18. Dinamik xarakteristikalar (a) və faza portreti (b) 

 

 

 

X'

Z'

U(t)

(X,Y,Z)

f3

f1 f2

Y'

XY Graph1

Scope2

Scope1

1

s

Integrator2

exp(-0.4*u)

Fcn7

u(2)

Fcn6

u(1)

Fcn5

-u(2)-u(3)

Fcn4

u(1)+0.2*u(2)

Fcn3

0.2+(u(1)-5.7)*u(3)

Fcn2

Clock1

 

313