H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

Çalışmalar -7.2 

 

MatLAB  мцщитиндя  roots  функсийасынын  кюмяйи  иля 

)

x

(

p

  чохщядлисинин 

(ъядвял 7.2) кюклярини тапмалы. 

 

Ъядвял 7.2 

  

№ 

)

x

(

p

 

1  

20

 

 

12x

 

x

 

2x

 

x

2

3

4









  

2  

19

 

 

11x

 

x

 

5x

3

4







 

3  

60

 

4x

 

x

 

 

6x

 

x

2

3

4









  

4  

67

 

40x

 

14x

 

7x

2

4







 

5  

14

 

 

10x

 

x

 

x

 

3x

2

3

4









2

  

6  

25

 

3x

 

x

 

 

6x

2

3







 

7  

26

 

3x

 

x

 

 

6x

 

4x

2

3

4









  

8  

77

 

41x

 

13x

 

x

2

4







 

9  

75

 

 

16x

 

7x

 

x

 

6x

2

3

4









 

10  

10

 

 

x

 

x

 

13x

 

8x

2

3

4









 

11  

192

 

 

15x

 

x

 

x

2

3







12

 

12  

184

 

71x

 

27x

 

3x

2

4







 

13  

19

 

 

11x

 

x

 

x

 

5x

2

3

4









 

14  

140

 

71x

 

29x

 

x

 

x

2

3

4









 

15  

241

 

73x

 

29x

 

3x

 

4x

2

3

4









 

 

 

 

 

 

 

 

194 

 

Ъядвял 7.2-нин davamı 

 

№ 

)

x

(

p

 

16  

30

 

 

13x

 

 

9x

 

 

7x

 

 

x

2

3

4









 

17  

150

 

 

55x

 

23x

 

3x

 

x

2

3

4









 

18  

170

 

32x

 

25x

 

3x

 

2x

2

3

4









 

19  

75

 

 

10x

 

 

4x

 

 

6x

 

x

2

3

4









 

20  

175

 

 

12x

 

  

6x

 

14x

3

4







 

21  

100

 

 

45x

 

17x

 

x

 

 

x

2

3

4









 

22  

200

 

 

17x

 

3x

 

 

2x

2

3

4







 

23  

50

 

 

15x

 

x

 

 

5x

 

x

2

3

4









 

24  

150

 

 

5x

 

x

 

 

15x

 

3x

2

3

4









2

 

25  

25

 

 

20x

 

2x

 

4x

2

3

1







 

26  

25

 

 

20x

 

2x

 

4x

 

 

x

2

3

4









 

27  

20

 

 

7x

 

 

7x

 

 

5x

 

 

x

2

3

4









 

28  

100

 

 

5x

 

7x

 

7x

 

x

2

3

4









 

29  

75

 

70x

 

36x

 

10x

 

 

x

2

3

4









 

30  

60

 

59x

 

 

31x

 

 

9x

 

 

x

2

3

4









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

195 

 

FƏSIL 8  

 

XƏTTİ  VƏ QEYRİ-XƏTTİ TƏNLİKLƏR SİSTEMİNİN 

HƏLLİ  

_________________________________________________

  

 

      

8.1. Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli 

  

  

MatLAB  мцщитиндя  хятти  тянликляр  системинин  щяллинин  ашаьыдакы 

цсулларына бахаг:  

  детерминантларын щесабланмасы цсулу (Крамер гайдасы); 

  матрис цсулу; 

 

)

solve(

 функсийасынын кюмяйи иля. 

 

        8.1.1.  Xятти тянликляр системинин dетерминант (Kramer) 

                 цсулу ilə щялли  

 

 

Fərz  edək  ки, 

D

 



  тянликляр  системинин  ямсаллар  матрисинин  баш 

детерминанты, 

k

d  



  баш  детерминантда  k -ъы  мяъщулун  нюмрясиня  уйьун 

сцтундакы  ямсалларын  сярбяст  щядляр  сцтуну  иля  явяз  олунмасындан  алынан 

детерминантдыр. Онда 

k

x  мяъщулу 

D

d

x

k

k



 ифадяси иля щесабланыр. 

Хятти  тянликляр  системинин  детерминантларын  щесабланмасы  цсулу  щялл 

едилмясиня мисал эюстяряк. 

Мисал  8.1.  Тутаг  ки,  ашаьыдакы  хятти  тянликляр  системини  щялл  етмяк 

лазымдыр: 

 





























3

x

x

5

x

7

18

x

2

x

x

1

x

3

x

x

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

 

Детерминантларын  щесабланмасы  цсулу  иля  хятти  тянликляр  системини  щялли 

ашаьыдакы шякилдядир: 

 



D

1

5

7

2

1

1

3

1

2





,  



1

d

1

5

3

2

1

18

3

1

1





,                                       



2

d

 

196 

 

1

3

7

2

18

1

3

1

2



, 



3

d

3

5

7

18

1

1

1

1

2



. 

D

d

x

1

1



,  

D

d

x

2

2



,  

D

d

x

3

3



. 

Инди детерминатлары матрис шяклиндя эюстяряк: 

D = [2,  1,  -3;  1,  -1,  2;  7,  5,  1] 

dx1 = [1,  1,  -3; 18,  -1,  2;  3,  5,  1] 

dx2 = [2,  1,  -3; 1,  18,  2;  7,  3,  1] 

dx3 = [2,  1,  1; 1,  -1,  18;  7,  5,  3]

 

Мяъщулларын щесабланмасы програмы белядир: 

>> D = [2, 1, -3; 1, -1, 2; 7, 5, 1] 

D = 

     2     1    -3 

     1    -1     2 

     7     5     1 

>> dx1 = [1, 1, -3; 18, -1, 2; 3, 5, 1] 

dx1 = 

     1     1    -3 

    18    -1     2 

     3     5     1 

>> dx2 = [2, 1, -3; 1, 18, 2; 7, 3, 1] 

dx2 = 

     2     1    -3 

     1    18     2 

     7     3     1 

>> dx3 = [2, 1, 1; 1, -1, 18; 7, 5, 3] 

dx3 = 

     2     1     1 

     1    -1    18 

     7     5     3 

>> x1=det(dx1)/det(D); 

>> x2=det(dx2)/det(D); 

>> x3=det(dx3)/det(D); 

>> X = [x1, x2, x3] 

 

197 

 

X =  6.7111    7.3778    1.1333 

     

       8.1.2. Xятти тянликляр системинин tərs mатрис  

                цсулу иля щялли 

 

     Xətti tənliklər sisteminin matris formada yazılışı: 

Ax=b. 

  

Burada 

A

 



  тянликляр  системинин  ямсаллар  матриси,  b



  сярбяст  щядляр 

вектору, x



 мяъщуллар векторудур. 

Tənliyin hər tərəfini soldan A

-1

 tərs matrisinə vursaq alarıq: 

A

-1

Ax=A

-1

b. 

 A

-1

A=İ vahid matris olduğundan   həll x=A

-1

b. 

Bu həlli Matlabda  ашаьыдакы ифадяlərdən  бири иля tapmaq olar: 

x=A

-1

*b, 

x=A\b, 

x=inv(A)*b. 

Мисал 8.2. Яввялки мисалдакы   

 





























3

x

x

5

x

7

18

x

2

x

x

1

x

3

x

x

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

 

хятти тянликляр системини щялл еdək. Bu halda 



A

























1

5

7

2

1

1

3

1

2

,  b=[1 18 3], x=[x

1

 x

2

 x

3

]. 

Matlabda hялл:  

>> A = [2, 1, -3; 1, -1, 2; 7, 5, 1]; 

>> B = [1; 18; 3]; 

>> X = inv(A)*B 

 

X = 

 

    6.7111 

   -9.0222 

    1.1333

 

       8.1.3. 

)

solve(  функсийасынын кюмяйи иля хятти 

 

                  тянликляр системинин щялли  

 

Хятти  тянликляр  системинин  щялли  щалында 

)

solve(

  функсийасы  ашаьыдакы 

 

198 

 

шякилдядир: 

)

solve(

'

f

'

,

,

'

f

'

,

'

f

'

n

2

1



 

)

solve(

n

2

1

n

2

1

x

,

,

x

,

x

,

'

f

'

,

,

'

f

'

,

'

f

'





 

бурада: 

 

'

f

'

i

 



 системин и-ъи тянлийи, 

n

,

,

2

,

1

i





; 

 

i

x  



 и-ъи мяъщулдур, 

n

,

,

2

,

1

i





. 

Системин щяр бир тянлийи тяк дырнаглар арасында йазылыр вя яввялки тянликдян 

верэцлля айрылыр. 

)

solve(

  функсийасындан  габаг 

syms

  функсийасынын  кюмяйи  иля  символ 

дяйишянлярини тяйин етмяк лазымдыр. 

Тянликляр системинин щялли технолоэийасына мисал цзяриндя бахаг. 

Мисал 8.3. Тутаг ки, ашаьыдакы тянликляр системини щялл етмяк лазымдыр: 

 































5

.

0

z

y

x

1

z

4

y

3

x

5

3

z

y

x

3

 

Тянликляр системинин щялли програмы ашаьыдакы шякилдядир: 

>> syms x y z; 

>> Y=solve('3*x+y-z=3','-5*x+3*y+4*z=1','x+y+z=0.5')

 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы шякилдя алырыг: 

 

Y =  

 

    x: [1x1 sym] 

    y: [1x1 sym] 

    z: [1x1 sym] 

Програм  мясяляни  щялл  етмишдир.  x, y, z  мяъщулларынын  гиймятини  алмаг 

цчцн 

k

.

Y

  ямриндян  истифадя  етмяк  лазымдыр,  бурада  k  



 мяъщулун  адыдыр. 

Бизим щалда щялл ашаьыдакы шякилдя олаъаг: 

>> Y.x 

  

ans = 

  

-.10714  

 

>> Y.y 

  

ans = 

  

1.96428   

 

 

199 

 

>> Y.z 

  

ans = 

  

-1.35714 

 

n)

vpa(Y.k,

 функсийасындан да истифадя етмяк олар.  

Бурада:   

  k  



 ахтарылан мяъщул; 

 

n

 



 ъавабын ишаряляринин сайыдыр. 

Ишарялярин сайы 

6

n



 олан щялляри алаг. 

>> vpa(Y.x, 6) 

ans = 

 -.107143 

 >> vpa(Y.y, 6) 

  

ans = 

  

1.96429 

>> vpa(Y.z, 6) 

  

ans = 

  

-1.35714 

 

        8.2. Matlab мцщитиндя гейри-хятти тянликляр  

                системинин щяллi  

 

MatLAB  мцщитиндя  гейри-хятти  тянликляр  системинин  щялли 

)

fsolve(

 

функсийасынын  кюмяйи  иля  щяйата  кечирилир. 

)

fsolve(

  функсийасы  ашаьыдакы 

шякилдядир: 

)

fsolve(

0

x

,

'

file

'

 

бурада: 

 

file

 



 m-faylda сахланылмыш тянликляр системи; 

 

0

x

 



 башланьыъ йахынлашмалар векторудур. 

Мисал  8.4.  Тутаг  ки,  ашаьыдакы  гейри-хятти  тянликляр  системини  щялл  етмяк 

лазымдыр: 























1470

x

x

x

167

x

x

x

5

.

6

x

x

x

3

6

2

1

3

2

2

1

3

2

1

 

 

200 

 

Верилмиш  тянликляр  системини  myfun адлы  истифадячи  функсийасы  шяклиндя 

тясвир едяк вя ону 

myfun.m

 файлында сахлайаг. 

Тутаг ки, файлын тяркиби ашаьыдакы шякилдядир: 

function

 F=myfun (x) 

F=[x(1)*x(2)+x(3)-6.5; x(1)*x(2)^4+x(3)-167; 

  x(1)*x(2)^6+x(3)-1470];  

Тянликляр системинин щялли програмы вя нятиъяляр ашаьыдакы шякилдядир: 

  

>> x0 = [1; 1; 1]; 

>> X = fsolve('myfun', x0) 

X = 

 

    2.1512 

    2.9678 

    0.1157 

 

 

8.3. Xətti tənliklər sisteminin Simulinkdə həlli 

 

Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılışı: 



Ax

b.                                                 (8.1) 

Burada  A=(a

ij

)  , 

n

,

1

j

,

i



  –  əmsallarından  təşkil  olunmuş  ədədi  matris; 

b=(b

1

, b

2

,...,b

n

)

T

 – sağ tərəf, x=( x

1

, x

2

,..., x

n

)

T

 – axtarılan (naməlum) həlldir. 

Simulink  paketində  realizasiya  etmək  üçün  (8.1)  tənliyini  belə  yazmaq 

lazımdır: 

.

b

Ax

dt

/

dx





                                             (8.2) 

 

Xətti  (8.1)  tənliklər  sisteminin  həlli  (8.2) xətti  diferensial  tənliyin  həllinə 

gətirilir.  Bu  tənliyin  qərarlaşmış  qiyməti  (8.1)  tənliyinin  həllidir.  Keçid 

proseslərinin qərarlaşması  üçün  A matrisi  müsbət  müəyyən matris olmalıdır. 

Yəni,  Silvester  şərtinə  görə  bu  matrisin  diaqonal  minorları  sıfırdan  böyük 

olmalıdır.  Scope  cihazının  ekranında  və  ya  displeydə  qərarlaşmanı  görmək 

üçün simulyasiya vaxtı kifayət qədər böyük götürülməlidir. 

Misal 8.5. Fərz edək ki,  

.

5

14

b

,

5

2

2

4

A































 

Şəkil 8.1-də modelləşdirmə sxemi (a) və həllin nətijələri (b) göstərilmişdir. 

Şəkil  8.1  b-dən  göründüyü  kimi,  qərarlaşmış  qiymətlər  x

1

=5  və  x

2

=-3  (8.1) 

tənliyinin həllidir. Qərarlaşmış qiymətləri displeydə də görmək mümkündür. 

 

201 

 

  

a) 

     

 

 

                                                             b) 

Şəkil 8.1. Xətti tənliklər sisteminin həll sxemi 

 

 

8.4. Ma

tris tənliklərin həlli 

 

Matris tənləklərində axtarılan həll matris şəklində olur. 

 

8.4.1. Cəbri matris tənliyi  

 

Bu tənlik: 

.

B

AX



 

A,B-məlum matrislər, X=[x

ij

]  -axtarılan nəməlum matris. A matrisinin 

sütunlarının sayı B matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olmalıdır. 

 

202 

 

Bu tənliyi hər tərəfini soldan A

-1

 tərs matrisinə bursaq A

-1

A=İ vahid matris 

olduğundan  həll X=A

-1

B.