H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

 

214 

 

FƏSİL 9 

 

TÖRƏMƏ VƏ İNTEQRALLARIN  

HESABLANMASI 

_________________________________________________

  

 

 

      

9.1. Törəmələrin analitik (simvollu) hesablanması  

 

        Ali riyaziyatdan məlum olduğu kimi f(x) funksiyasının x-a görə törəməsi 

arqumentin  artımı  sifra  yaxınlaşdıqda  funksiyanın  ∆f(x)  artımının 

arqumentin ∆x artımına olan nisbetine deyilir: 

 

.

)

(

lim

)

(

0

x

x

f

dx

x

df

x











 

 

        Burada 













)

(

)

(

)

(

x

f

x

x

f

x

f

funksiyanın artımıdır. 

Sadə bir misala baxaq. Fərz edək ki, f(x)=x

2

. Onda

).

2

(

2

)

(

)

(

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f































 

İndi yazmaq olar: 

.

2

)

2

(

lim

)

2

(

lim

)

(

0

0

x

x

x

x

x

x

x

dx

x

df

x

x



























 

  

MatLABda функсийаларын тюрямяляри ашаьыдакы гурашдырылмыш функсийа иля 

щесабланыр: 

)

n

,

x

,

(f

diff

 

бурада: 

 

f

 



 диференсиалланан функсийа; 

 

x

 



 функсийанын аргументи (диференсиаллама дяйишяни); 

 

n

 



 тюрямянин тяртибидир (сусмайа эюря мм 

1

n



). 

Тюрямялярин щесабланмасы технолоэийалары: 

1. 

syms

функсийасынын кюмяйи иля символ дяйишянляринин тяйин едилмяси. 

2. Диференсиалланан 

f

 функсийасынын дахил едилмяси. 

3. 

x

  вя 

n

-нин  конкрет  гиймятляри  иля 

)

n

,

x

,

(f

diff

  функсийасынын  дахил 

едилмяси. 

4. 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра щяллин алынмасы. 

Методиканы мисалларла айдынлашдыраъаьыг. 

Мисал  9.1.  Тутаг  ки, 

x

2

sin

x

y



  функсийасынын    1-ъи,  2-ъи  вя  3-ъц 

 

215 

 

тюрямялярини тапмаг лазымдыр. Matlabda tюрямялярин щесабланмасы проседуру 

ашаьыдакы кимидир: 

>> syms x n; 

>> y=x*sin(2*x); 

>> z=diff(y,x) 

  

z = 

  

sin(2*x)+2*x*cos(2*x) 

 

>> z=diff(y,x,2) 

  

z = 

  

4*cos(2*x)-4*x*sin(2*x) 

>> z=diff(y,x,3) 

  

z = 

  

-12*sin(2*x)-8*x*cos(2*x) 

 

)

n

,

x

,

(f

diff

  функсийасы  символ  дяйишянляри  олан  функсийаларын  да 

тюрямялярини аналитик щесабламаьа имкан верир. 

Мисал 9.2. Тутаг ки,  

 

4

1

ax

y



,  

x

an

)

x

a

lg(

e

y

a

n

ax

2

2











  

функсийаларынын 1-ъи вя 2-ъи тюрямялярини щесабламаг лазымдыр. 

Тюрямялярин щесабланмасы проседуру ашаьыдакы кимидир: 

  

>> syms a x n; 

>> y1=a*x^4; 

>> y2=exp(-a*x^2)+log10(a^n+x^a)-a*n/x; 

>> z1=diff(y1,x,1) 

  

z1 =  

4*a*x^3 

>> z2=diff(y2,x,1)  

z2 =  

-2*a*x*exp(-a*x^2)+x^a*a/x/(a^n+x^a)/log(10)+a*n/x^2 

 

>> z12=diff(y1,x,2)  

z12 =  

12*a*x^2 

 

>> z22=diff(y2,x,2) 

 

216 

 

z22 =  

-2*a*exp(-a*x^2)+4*a^2*x^2*exp(-

a*x^2)+x^a*a^2/x^2/(a^n+x^a)/log(10)-

x^a*a/x^2/(a^n+x^a)/log(10)-

(x^a)^2*a^2/x^2/(a^n+x^a)^2/log(10)-2*a*n/x^3 

f

  функсийасы  вектор  вя  йа  матрис  шяклиндя  дя  ола  биляр.  Беля  щалларда 

ъаваб елементляри илкин функсийаларын тюрямяляри олан вектор вя матрис олаъаг. 

Мисал  9.3. 

T

x

e

x

x

)

),

3

sin(

,

2

(cos

2







vektorunun   

(vektor  sütun) 

тюрямяsini тапаг. 

>> syms x n; 

>> v=[cos(2*x); sin(3*x); exp(-x^2)]; % Vektir sütun 

>> diff (v,x) 

  

ans = 

  

    -2*sin(2*x) 

     3*cos(3*x) 

 -2*x*exp(-x^2) 

   

>> syms x n; 

v=[cos(2*x)  sin(3*x)  exp(-x^2)];% Vektor sətir 

>> diff (v,x) 

  

ans = 

  

[    -2*sin(2*x),     3*cos(3*x), -2*x*exp(-x^2)] 

    

Misal 9.4. f=sin(ax)funksiyasının a-ya görə törımısini tapaq. 

 

 

     Misal 9.5. Aşağıdakı matrisin törımısini tapaq: 

 

.

)

cos(

)

sin(

)

sin(

)

cos(

















ax

ax

ax

ax

A

 

 

 

 

217 

 

     

 

     Xüsusi törəmənin hesablanması 

     Bu halda iki arqument üçün f=z=φ(x,y). 

     Sintaksis  

     Dzdx=diff(z, x); Dzdy=diff(z, y); 

    Misal. Fərz edək ki, z=x

2

+y

3

. 

.

3

,

2

2

y

y

z

x

x

z













 

     

 

 

     

9.1.1. 

Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi 

 

     Funksiyalar bir-neçə formada verilə bilər: 

     a) aşkar forma- y=f(x);                  y=sin(x) 

     b) qeyri-aşkar forma-F(x,y)=0;     x

2

+y

2

-1=0 

     c) parametrik forma 











).

(

),

(

t

y

t

x





 

     

Məsələn, tsikloidanin tənliyi 















).

cos(

1

(

),

sin(

(

t

a

y

t

t

a

x







 

     

 

 

 

218 

 

     

 

     

Sikloidanın qrafiki şəkil 9.1-də göstərilmişdir

. 

 

 

Şəkil 9.1. 

 

     Burada  t-dəyişənləri  əlaqələndirən  parametrdir.  Məsələn,  dinamik 

sistemlərdə-zaman. 

     Parametrik funksiyanın 



dx

dy /

 törəməsi: 

.

t

t

x

y

dt

dx

dt

dy

dx

dy









 

     

Misal 9.6. 

     

 

 

219 

 

     Şəkil 9.2-də y

x

=dy/dx torəməsinin t-dən asılılıq qrafiki göstırilmişdir. 

 

     

 

 

Şəkil 9.2 

 

     Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın ikinci törəməsi: 

 

.

)

(

3

2

2

t

t

t

t

t

x

x

y

x

y

dx

y

d















 

 

     9.1.2. 

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi 

 

     Bu tip funksiya aşağıdakı şəkildə verilir: 

)].

(

),

(

[

)

(

t

y

t

x

t

z





 



dt

t

dz

/

)

(

törəməsini tapmaq tələb olunur. 

     Qaydaya əsasən mürəkkəb funksiyanın t-yə gərə törəməsi: 

 

.

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz













 

Vı ya  

.

t

y

t

x

y

z

x

z

dt

dz









 

     

Misal 9.7. Fərz edək ki, x=sin(t), y=cos(t), z=ax

2

+by

2

. Bu halda  

z

x

=2ax, z

y

=2by, x

t

=cos(t), y

t

=-sin(t) olduğundan

 

 

220 

 

).

cos(

)

sin(

)

(

2

)

sin(

)

cos(

2

)

cos(

)

sin(

2

)

sin(

2

)

cos(

2

t

t

b

a

t

t

b

t

t

a

t

by

t

ax

dt

dz

















 

      

Matlab proqramı. 

 

     

 

 

     Praktiki  realizasiyada  küylənmiş  siqnalı  diferensialladıqda  küylər 

“güclənərək”  şıxış  siqnalının  dispersiyasını  əhəmiyyətli  dərəcədə  artırır  (bax, 

şəkil  9.3).  Bu  səbəbdən  küylənmiş  siqnalı  süzgəcliyib  sonra  diferensiallamaq 

lazımdır. 

 

 

 

Şəkil 9.3. 

 

     Şəkildə y- küylənmiş faydalı siqnal, dy- differensiallayıcının çıxış siqnalı. 

 

     

 

221 

 

  9.2.  Mцяййян интегралларын ядяди цсулларла 

              щесабланмасы  

 

     Ali  riyaziyyatdan  məlum  olduğu  kimi,  inteqral  həndəsi  olaraq  f(x) 

funksiyası ilə absis oxu arasında qalan sahəni təyyin  edir. 

     Sahəni  

]

;

[ b

a

x



  intervalında eni h olan düzbucaqlılar ilə n-hissəyə bölsık  

yazmaq olar: 

).

...

(

1

2

1











n

y

y

y

h

S

 

     Bu cəm Darbu cəmi adlanır.h enini sıfra yaxınlarsaq sahə S-in yaxınlaşdığı 

hədd inteqral adlanır və



simvolu ilə işarə olunur: 

F(x)=

.

)

(

lim

0







b

a

h

dx

x

f

S

 

       İnteqrallama nəticəsində  alınmış funksiyanın  diferensialı  dF(x)=f(x)dx  və 

ya dF(x)=f(x)dx. Yəni inteqral ilə törəmə (diferensial) biri-birini qarışılıqlı ləğv 

edirlər.  Müəyyən  inteqralı  açdıqdan  sonra  onun  qiyməti  Leybnis  qaydasına 

əsasən belə tapılır: 

).

(

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







 

       

     Matlab  sistemi    inteqralaltı  ifadə  analitik  ifadə  şəklində  verildikdə  qeyri-

müəyyən  və  müəyyən  inteqralları  təqribi  hesablama  üsullarının  köməyi  ilə 

hesablamağa  inkan  verir.  Müxtəlif  ədədi  inteqrallama  üsulları  mövcuddur. 

Bütün  bu  üsullarda  hesablamalar  kvadratura  adlanan    təqribi  formulaların 

köməyi ilə aparılir. 

Буz мцяййян интегралларын щесабланмасы цчцн düzbucaqlılar, трапесийалар 

və Simpson цсулlarının reılizə olnmasına baxacağıq. 

1. 

Düzbucaqlılar  üsulu.  Bu  halda  toplanan  cəmlər  düzbucaqlılardan 

ibarət  olur.Bir  (k-ınıcı)  düzbucaqlının  sahəsi  s

k

=hy

k

  olduğundan,  bütöv  sahə 

üçün yazmaq olar: 

 

.

)

...

(

)

(

1

0

1

2

1

0























n

k

k

n

b

a

y

h

y

y

y

y

h

dx

x

f

 

2.  Trapesiyalar  üsulu.  Bu  halda  toplanan  cəmlər  trapesiyalardan 

ibarətdir. Trapesiyanın sahəsi oturacaqlarının cəmi ilə (y

k

+y

k+1

) hündürlüyü (h) 

hasilinin yarısına bərabər olduğundan , yazmaq olar: 

 

222 

 

.

2

2

)

2

...

2

(

)

(

1

1

0

1

2

1

0













































n

k

n

k

n

n

b

a

y

y

y

h

y

y

y

y

y

h

dx

x

f

  

3.  Simpson  (parabolalar)  üsulu.  Bu  halda  kvadratur  düsturu  aşağıdakı 

çəkildıdir: 

   

. 

]

)

...

(

4

         

          

)

...

(

2

[

3

)

(

1

5

3

1

2

6

4

2

0

n

n

n

b

a

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

h

dx

x

f

































 

Бу дцстурларда: 

  h  



 интеграллама аддымы; 

 

k

y



 интегралалты функсийанын  

k

x  (

n

,

,

2

,

1

,

0

k





) аргументиндя 

гиймяти; 

 

h

a

b

n





  



   

]

b

,

a

[

 интегралаллама парчасынын бюлцндцйц бюлэц 

нюгтяляринин сайыдыр. 

MatLAB  мцщитиндя  трапесийалар  вя  Симпсон  цсуллары  иля    мцяййян 

интегралларын щесабланмасы технолоэийасыны тясвир едяк. 

 

        9.2.1. Трапесийалар цсулу 

 

MatLAB  мцщитиндя  трапесийалар  цсулу  бир  нечя  функсийаларла 

реаллашдырылмышдыр.  Бунлардан  йалныз 

)

y

,

x

(

trapz

  функсийасына  бахаъаьыг. 

)

y

,

x

(

trapz

 

)

x

(

y

  функсийасынын  интегралыны  трапесийалар  цсулу  иля  щесаблайыр. 

Аргумент вя функсийа векторлар шяклиндя, йахуд да 

x

 



 вектор шяклиндя,  y  



 

матрис шяклиндя верилир. 

Мисал 9.8. Тутаг ки, 

x

 аргумент вя 

)

x

(

y

 функсийасы ашаьыдакы  векторлар 

шяклиндя верилмишдир: 

     х = [1 3 7 9 10],  y = [1 3 5 7 9]. 

Трапесийалар цсулу иля интегралын гиймятини щесабламаг тяляб олунур. 

Щялли: 

>> x = [1 3 7 9 10]; 

>> y = [1 3 5 7 9]; 

>> trapz (x,y) 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра щялли алырыг: 

ans = 

 

    40 

Мисал 9.9. Тутаг ки, 

)

x

(

y

 функсийасынын аргументи 

 

223 

 

х = [1 3 7 9 10] 

вектору, 

)

x

(

y

 функсийасынын юзц ися  

y = [1 3 5; 3 5 8; 8 6 3; 5 10 7; 4 7 6] 

матрисидир. 

)

y

,

x

(

trapz

  функсийасындан  истифадя  етмякля  интегралын  гиймятини 

тяляб олунур. 

Щялли: 

>> x = [1 3 7 9 10]; 

>> y = [1 3 5; 3 5 8; 8 6 3; 5 10 7; 4 7 6]; 

>> trapz (x,y) 

ans = 

   43.5000   54.5000   51.5000 

Мисал 9.10. Тутаг ки, интегралалты функсийа  

 

1

x

ln

xe

)

x

(

y

x







  

шяклиндядир.  0,1  аддымы  иля 



8

1

dx

)

x

(

y

  мцяййян  интегралыны  щесабламаг 

лазымдыр.  

Щялли: