Ikki karrali integral ta’riflari 10. Integralning ta’rifi

2-teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq sohada beril­gan va uzluksiz bo’lsa, u shu sohada integrallanuvchi bo’ladi.
 funksiya sohada tekis uzluksiz bo’ladi. U holda Kantor teoremasining natijasiga asosan (12-bob, 6-§), olinganda ham, shunday topiladiki, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashida

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya sohada integ­ral­lanuvchi.
sohada nol yuzli chiziq berilgan bo’lsin.
1-lemma. olinganda ham, shunday topiladiki, sohaning diametri bo’lgan bo’laklashi olinganda bu bo’laklashning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo’lgan bo’laklari yuzlarining yig’indisi dan kichik bo’ladi.
Shartga ko’ra - nol yuzli chiziq. Demak, uni shunday ko’pbo’rchak bilan o’rash mumkinki, bu ko’pburchakning yuzi bo’ladi.
chiziq bilan ko’pbo’rchak chegarasi umumiy nuqtaga ega emas deb, chiziq nuqtalari bilan ko’pburchak chegarasi nuqtalari orasidagi masofani qaraylik. Bu nuqtalar orasidagi masofa o’zining eng kichik qiymatiga erishadi. Biz uni orqali belgilaymiz. Agar sohaning diametri bo’lgan bo’laklashi olinsa, ravshanki, bu bo’laklashning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo’lgan bo’laklari butunlay ko’pburchakda joylashadi. Demak, bunday bo’laklar yuzlarining yig’indisi dan kichik bo’ladi.
3-teorema. Agar funksiya sohada chegaralangan va bu sohaning chekli sondagi nol yuzli chiziqlarida uzilishga ega bo’lib, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, funksiya sohada integrallanuvchi bo’ladi.
 funksiya sohada chegaralangan bo’lib, u shu sohaning faqat bitta nol yuzli chizig’ida uzilishga ega bo’lib qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz bo’lsin.
sonni olib, chiziqni yuzi dan kichik bo’lgan ko’pburchak bilan o’raymiz. Natijada soha va sohalarga ajraladi.
Shartga ko’ra, funksiya da uzluksiz. Demak, olinganda ham shunday topiladiki, diametri bo’lgan bo’laklashning har bir bo’lagidagi funksiyaning tebranishi bo’ladi.
Yuqoridagi lemmaning isbot jarayoni ko’rsatadiki, shu ga ko’ra, shunday topiladiki, sohaning diametri bo’lgan bo’laklashi olinsa, bu bo’laklashning ko’pburchak bilan umumiy nuqtaga ega bo’lgan bo’laklar yuzlarining yig’indisi dan kichik bo’ladi.
Endi deb, sohaning diametri bo’lgan bo’laklashini olamiz. Bu bo’laklashga nisbatan funksiyaning Darbu yig’indilarini tuzib, quyidagi
(17.9)
ayirmani qaraymiz.
Bu (17.9)yig’indining ko’pburchakdan tashqari joylashgan bo’laklarga mos hadlaridan iborat yig’indi

bo’lsin.
(17.9) yig’indining qolgan barcha hadlaridan tashkil topgan yig’indi

bo’lsin. Natijada (17.9) yig’indi ikki qismga ajraladi:
(17.10)
sohadagi bo’laklarda bo’lganligidan
(17.11)
bo’ladi.
Agar funksiyaning sohadagi tebranishini bilan belgilasak, u holda

bo’ladi. ko’pburchakda butunlay joylashgan bo’laklashning bo’laklari yuzlarining yig’indisi dan kichik hamda ko’pburchak chegarasi bilan umumiy nuqtaga ega bo’lgan bo’laklar yuzlarining yig’indisi ham dan kichik bo’lishini e’tiborga olsak, unda

bo’lishini topamiz. Demak,
. (17.12)
Natijada, (17.10), (17.11) va (17.12) munosabatlardan

ekanligi kelib chiqadi. Demak,
.
Bu esa funksiyaning sohada integrallanuvchi bo’lishini bildiradi.
funksiya sohaning chekli sondagi nol yuzli chiziqlarida uzilishga ega bo’lib, barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, uning da integrallanuvchi bo’lishi yuqoridagidek isbot etiladi.