20. Ikki karrali integralning mavjudligi. Endi ikki karrali integralning mavjud bo’lishining zarur va etarli shartini (kriteriysini) keltiramiz.
1-teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lishi uchun, olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari
(17.8) tengsizlikni qanoatlantirilishi zarur va etarli.
Zarurligi. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra
bo’ladi, bunda
,
olinganda ham, ga ko’ra shunday topiladiki, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashiga nisbatan Darbu yig’indilari uchun (17.7) munosabatlarga ko’ra
,
bo’lib, undan
bo’lishi kelib chiqadi.
Etarliligi. olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari uchun
bo’lsin. Qaralayotgan funksiya sohada chegaralangani uchun, uning quyi hamda yuqori integrallari
,
mavjud va
bo’ladi. Ravshanki,
.
Bu munosabatdan
bo’lishini topamiz. Demak, uchun
bo’lib, undan bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi.
Agar funksiyaning sohadagi tebranishini bilan belgilasak, u holda
bo’lib, teoremadagi (17.8) shart ushbu
ya’ni
ko’rinishlarni oladi.
4-§. Integrallanuvchi funksiyalar sinfi Ushbu paragrafda ikki karrali integralning mavjudligi haqidagi teoremadan foydalanib, ma’lum sinf funksiyalarining integrallanuvchi bo’lishini ko’rsatamiz.
