Xarakteristik funksiyalar sinfi va taqsimot funksiyalar sinfi orasidagi uzluksiz moslik haqidagi teorema

XARAKTERISTIK FUNKSIYALAR SINFI VA TAQSIMOT FUNKSIYALAR SINFI ORASIDAGI UZLUKSIZ MOSLIK HAQIDAGI TEOREMA

Tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb haqiqiy o’zgaruvchining ushbu funksiyasiga aytiladi:

(1)
bu yerda t-haqiqiy son,  esa  ning taqsimot funksiyasi. Agar  tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi  mavjud bo’lsa, u holda

bo’ladi, bu esa  funksiya Fur’e almashtirishning o’zidir.
Umuman olganda,  xarakteristik funksiya  taqsimot funksiyaning Fur’e-Stilt’es almashtirishdir.
Ushbu

tengsizlikdan  ixtiyoriy  tasodifiy miqdorning  xarakteristik  funksiyasi mavjudligi kelib chiqadi.
Bog’liq  bo’lmagan  tasodifiy miqdorlar  yig’indisining  xossalarini o’rganishda  xarakteristik  funksiyalar  metodi  juda qulay  metodlardan  biri hisoblanadi.
Xarakteristik funksiyaning xossalari.
1. Ihtiyoriy  tasodifiy miqdor uchun va barcha t lar uchun  .
2.
Darhaqiqat,
3. Agar  o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar bo’lsa, u holda yig’indining xarakteristik funksiyasi ga teng.
Isbot.

4. xarakteristik funksiya  da tekis uzluksizdir.
Isbot.

Bu yerda berilgan  uchun N  ni tanlash  hisobiga  qilish mumkin,  so’ngra  ni shunday  tanlashimiz mumkinki, bo’ladi, natijada
5. bu year funksiya ustidagi chiziqcha kompleks qo’shmani bildiradi. Bu xossaning isboti

tenglikdan kelib chiqadi.
6. Poya teoremasi. Faraz qilaylik,  funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
a)
b) uzluksiz, juft va botiq, u xolda  biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo’ladi.
Bu teoremani isbotini keltirmaymiz.
7. Agar  bo’lsa,  xarakteristik funksiya n-tartibli uzluksiz hosilaga ega va quyidagi tengliklar o’rinli:

bu yerda  da  va barcha t larda

Isbot. Quyidagi ifodani qaraymiz:

Ma’lumki,  hamda shartga ko’ra  da 
U holda majorant yaqinlashish haqidagi teoremag a binoan

mavjud va ifodaga teng, shuning uchun

Shunga o’xshash,
tengsizlikdan foydalanib, formula isbotlanadi, hamda  dan  kelib chiqadi.
ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz, u holda haqiqiy y lar uchun

Shuning uchun

Bu yerda  va  -tasodifiy miqdorlar va 
Endi
hamda 
Funksiya uchun majorant yaqinlashish haqidagi teoremani e’tiborga olsak,  Shunday qilib,  ga asosan  kelib chiqadi.
Endi ko’p ishlatiladigan taqsimot funksiyalarning xarakteristik funksiyalarini hisoblaylik.