1-misol. Agar bir ehtimol blan bo’lsa, bo’ladi.
2-misol. Faraz qilaylik, tasodifiy miqdor uchun bo’lsin, u xolda
3- misol. O’zaro bog’liq bo’lmagan bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin va
Quyidagi yig’indini tuzamiz. U holda 3- xossaga ko’ra
Agar normallashtirilgan va markazlashtirilgan
Tasodifiy miqdorni olsak, u holda 2-xossaga asosan
4-misol. Faraz qilaylik, standart N(0,1) normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsin. U xolda
Agar tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda 2-xossaga asosan
Buni o’zingiz mustaqil isbotlashga urinib ko’ring.
Har bir tasodifiy miqdor uchun unga mos xarakteristik funksiya mavjudligini avvalgi paragrafda ko’rdik. Turli taqsimot funksiyalarga turli xarakteristik funksiyalar mos keladi hamda taqsimot funksiya xarakteristik funksiya orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Teorema. Agar funksiyalar mos ravishda tasodifiy miqdorning xarakteristik va taqsimot funksiyalari bo’lsa hamda va funksiyaning uzluksiz nuqtalari bo’lsa, u holda
Bu teoremadan quyidagi atijani isbotlash mumkin: agar absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u holda mavjud, uzluksiz, chegaralangan va
Isbot. Quyidagi integralni hisoblaymiz:
Agar integral ostidagi funksiyalarning oraliqda chegaralanganini e’tiborga olsak,
Matematik analiz kursidan ma’lumki,
Ushbu
ifoda c bo’yicha tekis chegaralangandir. Demak,
Bevosita ishonch hosil qilish mumkinki, va lar uchun
Natijada
Shu bilan birga dan va funksiyaning juftligidan
Agar va nuqtalarni funksiyaning uzluksiz nuqtalari ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan
ifoda hosil bo’ladi. Agar integralni
ko’rinishda ifodalash mumkinligini e’tiborga olsak, , lardan va oxirgi tenglikdan teorema isboti kelib chiqadi.
