Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer va
Gauss ussullari yordamida yechish.
Reja:
1. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi.
2. Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi.
3. n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi.
4. Gauss usuli
1
.
Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi.
Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining
𝑎
11
𝑥 + 𝑎
12
𝑦
=
𝑏
1
𝑎
21
𝑥 + 𝑎
22
𝑦
=
𝑏
2
(1)
yechimini topish uchun determinantlar nazariyasidan
foydalanamiz. Bu yerda
𝑥
va
𝑦
noma’lum sonlar, qolgan
barcha sonlar esa ma’lum. Noma’lumlar oldidagi
ko’paytuvchilar sistema koeffitsientlari,
𝑏
1
va
𝑏
2
sonlar
esa
ozod hadlar deb ataladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish,
𝑥
va
𝑦
sonlarning
shunday to’plamiki, ularni sistema tenglamalarining o’rniga
qo’yilganda ular ayniyatga aylanadi. Bunday sonlar
to’plamini sistemaning yechimi deb ataymiz.
Kamida bitta yechimga ega bo’lgan sistema birgalikdagi
sistema deyiladi.
Bitta yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema
aniq
sistema
deyiladi.
Cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan birgalikdagi sistema
aniqmas sistema
deyiladi. Bitta ham yechimga ega
bo’lmagan sistema
birgalikda bo’lmagan sistema
deyiladi.
Sistema koeffitsientlaridan quyidagi ikkinchi tartibli
determinantni tuzib, uni
∆
bilan belgilaymiz va sistema
determinant deb ataymiz:
∆=
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
21
𝑎
22
So’ngra bu determinantda mos ravishda birinchi va ikkinchi
ustunlarni ozod hadlar bilan almashtirib,
∆
𝑥
, ∆
𝑦
bilan
belgilanadigan ushbu determinantni tuzamiz:
∆
𝑥
=
𝑏
1
𝑎
12
𝑏
2
𝑎
22
,
∆
𝑦
=
𝑎
11
𝑏
1
𝑎
21
𝑏
2
Agar
∆≠ 0
bo’lsa, (1) sistemaning yechimi
𝑥 =
∆
𝑥
∆
, 𝑦 =
∆
𝑦
∆
(2)
formula yordamida topiladi.
Isbot. (1) Sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini
(𝑎
22
) ga, ikkinchisini esa
(−𝑎
12
) ga ko’paytirib va so’ngra
olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz:
(𝑎
11
𝑎
22
− 𝑎
21
𝑎
12
)𝑥 = 𝑏
1
𝑎
22
− 𝑏
2
𝑎
12
(3)
Shunga o’xshash, (1) sistema birinchi tenglamasining ikkala
qismini
(−𝑎
21
) ga, ikkinchisini esa
(𝑎
11
)
ga ko’paytirib,
so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz:
(𝑎
11
𝑎
22
− 𝑎
21
𝑎
12
)𝑦 = 𝑎
11
𝑏
2
− 𝑎
21
𝑏
1
(4)
(3) va (4) formulalarda turgan ayirmalar biz yuqorida
kiritgan ikkinchi tartibli determinantlardir.
𝑎
11
𝑎
22
− 𝑎
21
𝑎
12
=
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
21
𝑎
22
= ∆,
𝑏
1
𝑎
22
− 𝑏
2
𝑎
12
=
𝑏
1
𝑎
12
𝑏
2
𝑎
22
= ∆
𝑥
,
𝑏
1
𝑎
21
− 𝑏
2
𝑎
11
=
𝑎
11
𝑏
1
𝑎
21
𝑏
2
= ∆
𝑦
Bu belgilashlarda (3) va (4) tenglamalar bunday yoziladi:
𝑥 ∙ ∆
=
∆
𝑥
𝑦 ∙ ∆
=
∆
𝑦
(6)
Uch hol bo’lishi mumkin. a) Agar sistema determinanti
∆≠ 0
bo’lsa, u holda (6) formulalardan (1) sistema
birgalikda
𝑥 =
∆
𝑥
∆
, 𝑦 =
∆
𝑦
∆
(7)
formulalar bilan aniqlanadigan bitta yechimga ega ekanligi
kelib chiqadi. (2) formula isbot bo’ldi. (7) qoidaga
Kramer
qoidasi
deyiladi.
b) Agar sistema determinanti
∆= 0,
lekin
∆
𝑥
va
∆
𝑦
determinantlardan kamida bittasi nolga teng bo’lmasa, u
holda (6) formulalardan (1) sistema birgalikda emas, ya’ni
bitta ham yechimga ega emasligi kelib chiqadi.
c) Agar sistema determinanti
∆= 0
va
∆
𝑥
= 0
,
∆
𝑦
= 0
bo’lsa
u holda (6) formuladan (1) sistema aniqmas, ya’ni cheksiz
ko’p yechimlarga ega ekani kelib chiqadi.
Dostları ilə paylaş: |