Ikki va uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi

1-misol. 
Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
3𝑥 − 𝑦
=
5
𝑥 + 2𝑦
=
4
 

---

Yechish: Determinantni hisoblaymiz: 
∆ = 3 −1
1
2
=
7, 
∆
𝑥
= 5 −1
4
2
= 14
, 
∆
𝑦
= 3 5
1 4
= 7
Kramer qoidasidan foydalanib 
𝑥
va 
𝑦
ni topamiz:
𝑥 =
∆
𝑥
∆
=
14
7
= 2
;
y =
∆
𝑦
∆
=
7
7
= 1. 
2-misol. 
Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
3𝑥 + 𝑦
=
2
6𝑥 + 2𝑦
=
3
 
Yechish. Determinantni hisoblaymiz: 

---

∆ = 3 1
6 2
= 0
, 
∆
𝑥
= 2 1
3 2
= 1
, 
∆
𝑦
= 3 2
6 3
= −3
Sistema birgalikda emas, yechimlari yo’q.
3-misol.
Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
3𝑥 − 𝑦
=
2
6𝑥 − 2𝑦
=
4.
 
Yechish. Determinantni hisoblaymiz: 
∆ = 3 −1
6 −2
= 0
, 
∆
𝑥
= 2 −1
4 −2
= 0
, 
∆
𝑦
= 3 2
6 4
= 0
Sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega. Agar ikkinchi 
tenglamani 2 ga qisqartirsak, sistema ushbu bitta 

---

tenglamaga keladi.
3𝑥 − 𝑦
=
2
. 
No‘ma’lum
𝑥
ga ixtiyoriy qiymatlar berib, 
𝑦
ning mos 
qiymatlarini hosil qilish mumkin.
(1) sistemada ozod hadlar nolga teng bo’lsa sistema bir
jinsli sistema deyiladi.
𝑎
11
𝑥 + 𝑎
12
𝑦
=
0
𝑎
21
𝑥 + 𝑎
22
𝑦
=
0
Bunda 
∆
𝑥
=
0 𝑎
12
0 𝑎
22
= 0
,
∆
𝑦
=
𝑎
11
0
𝑎
21
0 = 0

---

bo’lganligi uchun bunday sistema 
∆≠ 0
bo’lganda aniq 
yechimga ega yoki 
∆= 0
bo’lganda cheksiz ko’p yechimga 
ega.
2. Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi. 
Endi ushbu uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar 
sistemasini qaraymiz. 
𝑎
11
𝑥 + 𝑎
12
𝑦 + 𝑎
13
z
=
𝑏
1
𝑎
21
𝑥 + 𝑎
22
𝑦 + 𝑎
23
z
=
𝑏
2
𝑎
31
𝑥 + 𝑎
32
𝑦 + 𝑎
33
z
=
𝑏
3
(8) 
Ushbu belgilashlarni kiritamiz. 

---

∆=
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
13
𝑎
21
𝑎
22
𝑎
23
𝑎
31
𝑎
32
𝑎
33
,
∆
𝑥
=
𝑏
1
𝑎
12
𝑎
13
𝑏
2
𝑎
22
𝑎
23
𝑏
3
𝑎
32
𝑎
33
,
∆
𝑦
=
𝑎
11
𝑏
1
𝑎
13
𝑎
21
𝑏
2
𝑎
23
𝑎
31
𝑏
3
𝑎
33
,
∆
𝑧
=
𝑎
11
𝑎
12
𝑏
1
𝑎
21
𝑎
22
𝑏
2
𝑎
31
𝑎
32
𝑏
3
.
(8) sistema koeffitsientlaridan tuzilgan 
∆
determinantni 
sistema determinant deb ataymiz. 
∆
𝑥
, 
∆
𝑦
,
∆
𝑧
determinantlar 

---

∆
determinantdan unda mos ravishda birinchi, ikkinchi yoki 
uchinchi ustunni 
𝑏
1
,
𝑏
2
,
𝑏
3
ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil 
bo’ladi. 
∆≠ 0
bo’lsa, (8) sistema yechimi ushbu formula 
yordamida hisoblanadi. 
𝑥 =
∆
𝑥
∆
, 𝑦 =
∆
𝑦
∆
, 𝑧 =
∆
𝑧
∆
(9) 
(9) Formula uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasi uchun 
Kramer qoidasi
deyiladi.
4-misol. 
Ushbu tenglamalar sistemasini yeching: 
𝑥 + 2𝑦 + z
=
8
3𝑥 + 2𝑦 + z
=
10
4𝑥 + 3𝑦−2z
=
4

---

∆ , ∆
𝑥
, 
∆
𝑦
, 
∆
𝑧
determinantlarni hisoblaymiz: 
∆=
1 2
1
3 2
1
4 3 −2
= 14,
∆
𝑥
=
8
2
1
10 2
1
4
3 −2
= 14,
∆
𝑦
=
1
8
1
3 10
1
4
4
−2
= 28,
∆
𝑧
=
1 2
8
3 2 10
4 3
4
= 42.
Kramer qoidasidan foydalanib, 
𝑥
,
𝑦, 𝑧
larni topamiz. 
𝑥 =
∆
𝑥
∆
=
14
14
= 1, 𝑦 =
∆
𝑦
∆
=
28
14
= 2, 𝑧 =
∆
𝑧
∆
=
42
14
= 3

---

(8) tenglamalar sistemasiga qaytib, ozod hadlar nolga teng 
deb hisoblaymiz. Ushbu bir jinsli sistemani qaraymiz: 
𝑎
11
𝑥 + 𝑎
12
𝑦 + 𝑎
13
z
=
0
𝑎
21
𝑥 + 𝑎
22
𝑦 + 𝑎
23
z
=
0
𝑎
31
𝑥 + 𝑎
32
𝑦 + 𝑎
33
z
=
0
(10) 
Determinantlar 
∆
𝑥
= ∆
𝑦
= ∆
𝑧
= 0,
chunki ular nollardan 
iborat ustunga ega. Shu sababli bir jinsli sistema 
∆≠ 0
bo’lganda birgina nol yechim 
𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0
ga ega 
yoki 
∆= 0
bo’lganda cheksiz ko’p yechimlarga ega.