Ikki (yoki bir necha) sonni ularning yig`indisi va ayirmasiga ko`ra topishga doir masalalar

IKKI (YOKI BIR NECHA) SONNI ULARNING YIG`INDISI VA AYIRMASIGA KO`RA TOPISHGA DOIR MASALALAR

O`rta umum ta`lim maktabi kursida matematika o`qitish dasturini tahlil qilar ekanmiz, matematika kursida xususan, 5-sinf matematika o`quv dasturida shunday tipik masalalar uchraydiki, bu masalalarni yechish uchun o`quvchi boshlang`ich ta`lim ostonasidanoq tipik arifmetik masalalarni yechish ko`nikmasiga ega bo`lishini taqazo etadi. Shunday masalalarning bir ko’rinishi ikki sonni ularning yig’indisi va ayirmasiga ko’ra topihsga doir masalalardiir. Quyida mazkur masalalarni tahlil qilinb bermoqchimiz.
Bunday ko`rinishdagi masalalarning xususiy holi boshlang`ich sinf matematika darsligida ko’p uchraydi. Boshlang’ich sinf o’quvchilarni bunday masalalarni yechishga o’rgatish orqali ularni yuqori sinf matematika kursida uchraydigan murakkab tipik arifmetik masalalarni yechishga tayyorlab boramiz.
Masala: Lola bilan Alining jami 970 so`m puli bor.Lolaning puli Alining pulidan 30 so`m kam.Ularning har birida qanchadan pul bor?
Bunday masalalar tashqi tomondan qaralganda 2 noma`lumli 2ta chiziqli
tenglamalar sistemasi

ifodasida (bu yerda a – Alining pullari, b – Lolaning pullari) bo`lib, bunday
tipdagi masalalarning o`ziga xos yechim yo`llari mavjud.
Yuqoridagi masalani o`quvchilar bilan mulohaza yuritib yechamiz.

• 
  O`quvchilar masalada nima haqida gap borayapti?
  
• 
  Lola va Alining pullari haqida gap borayapti.
  
• 
  Lola va Alining birga qancha puli borligi masalada berilgan-mi?
  
• 
  Ha
  
• 
  Qancha?
  
• 
  970 so`m
  
• 
  Yana masalada nima berilgan?
  
• 
  Lolaning puli Alining pulidan 30 so`m kamligi berilgan.
  
• 
  Masala savoli bizdan nimani topishni talab qilayapti?
  
• 
  Lolada hamda Alida qanchadan pul borligini?
  

Kuzatishlarimiz natijasi sifatida shuni ta`kidlaymizki, ko`pchilik o`qituvchilar ushbu tipdagi masala muhokamasiga qiynalishadi. Chunki, hozirgi muhokama tarzida savol-javobni davom ettirib, quyidagi: “Masala savoliga qanday javob beramiz?”, “Uni qanday topamiz?” kabi o`rinsiz savollar o`quvchi tomonidan o`zlashtirilmagan yangi tipdagi masalalarning o`ziga xos xususiyatlarini tushunishga to`sqinlik qiladi, noto`g`ri yechimlarni aytishga sabab bo`ladi; ya`ni o`quvchi quyidagi javoblarni aytishi mumkin. “970 dan 30ni ayiramiz” yoki “970 ga 30ni qo`shamiz”. Ammo bu amallarni nima uchun tanlaganini asoslab bera olmaydi. Xuddi masalada berilgan ikkita son ustida albatta qaysidir amalni bajarishi kerakday.
Bu o`rinda o`qituvchi quyidagi yo`llanmani berishi joiz. Ya`ni yo`naltiruvchi savol-javoblardan so`ng “O`quvchilar masala matnini diqqat bilan qayta o`qing. Kimda pullar ko`p? (Alida). Kimda pullar kam (Lolada). Shartli ravishda Loladagi pullarni biror a kesma bilan, Alidagi pullarni boshqa uzunroq b kesma bilan belgilaymiz, ya`ni masalaga grafik shart beramiz:”
a
970 so`m
Lola va Alidagi pullar 970 so`m bo`lgani uchun ularni birga 970 so`m deb belgilaymiz. Loladagi pullar miqdori Alidagi pullar miqdoridan 30 so`m kam. Bu model masala yechimini izlashda muhim vosita hisoblanadi. Endi masala muhokamasini davom ettiramiz.

• 
  Lolada Alidagidek pul bo`lganida ikkalasida qancha pul bo`lar edi?
  
• 
  (970+30) so`m
  
• 
  Endi Alida qancha pul borligini topsa bo`ladimi?
  
• 
  Ha
  
• 
  Qanday qilib, 970 va 30 sonlar yig`indisini 2ga bo`lib
  
• 
  Lolada qancha pul borligini topsa bo`ladimi? - Ha qanday qilib, Alidagi pullardan 30 ni ayirib - Demak masala necha ish bilan yechiladi?
  
• 
  3 ish bilan (Birinchi qo`shish, ikkinchi bo`lish, uchinchi ayirish amallari bilan) Masala yechimini quyidagicha tasvirlaymiz:
  

1)970+30 = 1000(so`m)

2. 
   1000:2=500(so`m)
   
3. 
   500-30=470(so`m)
   

Javob: Alida 500 so`m,Lolada 470 so`m pul bor.
Bu masalani ikki usul bilan yechish mumkinligini aytib, 2-usul bilan yechish o`quvchilar tomonidan mustaqil bajarilishi talab qilinsa,o`quvchilarning mustaqil fikrlashi oshadi.Masala yechimini bu usulda savol qo`yib savolga javob topish tarzida muhokama yuritamiz. Buning uchun masalaning grafik shartini quyidagicha ifodalaymiz:

1. 
   Alining pullari Loladagidek bo`lganida ikkalasida qancha pul bo`lar edi?
   

970-30=940(so`m)

2. 
   Lolada necha so`m bo`lgan?
   

940:2=470(so`m) 3) Alida qancha pul bo`lgan?
470+30=500(so`m).
Javob:Lolada 470 so`m, Alida 500 so`m.
O`quvchilar diqqatini masalani to`g`ri yechganliklariga jalb qilib, har ikki usulda ham Alining 500 so`m,Lolaning 470 so`m puli borligi topilganini aytish bilan birga masala shartini qanoatlantirishi ya`ni,500+470=970 va 500-470=30 so`m ekanligi ta`kidlanishi zarurdir.
Shuni ta`kidlash joizki, bunday, ikki son yig`indisi va ayirmasiga ko`ra ularni topishga doir masalalarga tayyorgarlik ishi ancha oldin ya`ni maktabga endi qadam qo`ygan o`quvchilar 1-sinfda 10 ichida qo`shish va ayirishni o`rganish davridanoq boshlanadi.
Keyinchalik o`quvchilar 10 ichida qo`shish va ayirishni o`rganib, polotnoning 1qatorida 5 ta qizil olma, 3 ta sariq olma rasmini qo`yib, ularni taqqoslab, barcha olmalar nechta ekanligini bilib olishadi: 5+3=8 olma.

Asta-sekinlik bilan o`quvchilar birinchi tokchada 3ta anor rasmini, ikkinchi tokchada esa shuncha usti yopiq anor yana yonida 2 ta olma rasmini qo`yishadi. Ikkinchi tokchada nechta anor borligini bilib olishadi. Ikkala tokchada nechta anor borligini aniqlashadi. Bunday ish o`quvchilarda obrazlilikdan, shartli noto`la ko`rgazmalilikka o`tish orqali “qancha bo`lsa, o`shancha” tushunchasi mustahkamlanib,10 ichida qo`shishga oid bilim malakalar mustahkamlanadi. Bunday topshiriqlar ustida ishlashni 2-sinfda ham davom ettirib,3sinfda o`quvchilar 100ichida shunday ko`rinishdagi topshiriqlarni bajarishlari maqsadga muvofiqdir. 3 sinf o`quvchilari jadvalli ko`paytirish va jadvalli bo`lishni o`rgangan bo`ladilar. Shu sababli 3- sinf 1-choragida ko`rgazmalilikdan foydalangan holda 20 ichida (dastlab 10 ichida) qo`shish va ayirish amallaridan foydalangan holda quyidagi masala o`quvchilar muhokamasiga beriladi.
Masala. Ikki tokchada 8 ta kitob bor. Birinchi tokchadagi kitoblar soni ikkinchi tokchalardagidan 2 ta ko’p. Har bir tokchada nechta kitob bor?

Bunday masalani yechish uchun imkon qadar kom’yuter texnologiyalaridan foydalanib bajarilsa, yoxud namoyish qilish vositasida bajarilishi maqsadga muvofiq bo’ladi. Birinchi
8 та
tokchadagi kitoblar soni ikkinchi tokchalardagidan 2ta ko`p. Har bir tokchada nechta kitob bor?
Bunday masalani yechish uchun imkon qadar kompyuter
texnologiyalaridan foydalanib bajarilsa,yoxud namoyish qilish vositada bajarilishi maqsadga muvofiq bo`ladi.
Ushbu masalani yechilishi muhokamasi yuqorida qayd etilganidek yuritiladi.Masalani 2 usulda yechish lozimligi o`quvchilarga etkaziladi. Bu bilan o`quvchilar yangi “Tipik” arifmetik masala,”ikki son yig`indisi va ayirmasiga ko`ra shu sonlarni topishga doir masala bilan tanishadilar.(Tip nomini o`quvchilar bilishi talab etilmaydi,ammo o`qituvchi bilishi shart.)
Asta-sekinlik bilan o`quvchilar bunday tipdagi masalalarni 100 ichidagi sonlar bilan bajarishni o`rganishadi. 4-sinfda o`quvchilar uchta son yig`indisi va bu sonlar ayirmalari yordamida shu sonlarni topishga doir masalalar bilan tanishishlari mumkin.
Quyida havola etiladigan masala o`quvchilarga qiziqish baxsh etadi:
Masala: Ona, opa-singillarning har biridan 20 kg dan ortiq paxta terdi. Ona va qizlar birgalikda 140 kg paxta terishgan bo`lsa, opa-singillar har biri necha kilogrammdan paxta terishgan?
Ushbu masala muhokamasini o`tkazish uchun masalaning grafik modeli muhim ahamiyat kasb etadi.Ona opa-singillarning har biridan 20 kgdan ortiq paxta

tergani sababli, opa-singillar bir xil miqdorda paxta terganliklarini bilib olish mumkin. Shu bois, ular tergan paxtani bir xil o`lchamdagi kesmalarda ifodalash o`rinli. Ona ularning har biridan 20 kg ortiq paxta tergani uchun, chiziladigan 3-kesma 1 va 2kesmalardan uzunroq bo`ladi. Ular birgalikda 140 kg paxta terganliklarini bildiruvchi yozuv shartida o`z muhokamani davom ettiramiz. Ona opa-singillar terganidek paxta terganida, jami terilgan paxta 20kg kamayar edi va ularning uchchalasi bir xil miqdorda paxta tergan bo`lar edi.Demak 140 kgdan 20 ni ayirib,3 ga bo`lsak, har bir opa-singil tergan paxta kelib chiqadi.
Yechish:1) 140-20=120 (kg)
2)120:3=40 (kg)
Javob: Opa singillarning har biri 40 kgdan paxta terishgan.
Endigi qadam uchta son yig`indisi va bu sonlar juft-juftlari ayirmalariga ko`ra shu sonlarni topishga doir masalalar bilan tanishib chiqamiz.
Masala. 3 ta vazada (taqsimcha) da 62 ta olma bor. 2- taqsimchadagi olmalar 1- taqsimchadagi olmalardan 8 ta ko`p 3-taqsimchadagidan 10 ta kam. Har bir taqsimchada nechta olma bor?
Ushbu masala matni o`quvchilar tomonidan o`zlashtirilsa, uchta qismdan iborat grafik modelini tuzamiz. Eng kam olma 1-taqsimchada bo`lib, u ikkinchi taqsimchadagidan 8 ta kam yoki 2-taqsimchada 1-taqsimchadagidan 8 ta ko`p olma bor. Shu sababli eng kam olma hisoblangan 1- taqsimchada olmalar sonini 1- kesma bilan shartli ifodalaymiz. 2- taqsimchada undan 8 ta ko`p olma bo`lgani uchun 2-kesmani 1- kesmadan uzunroq qilib chizamiz. 3- taqsimchada olmalar 2-sidagidan 10 ta ko`p bo`lgani uchun 3-kesma 2-kesmadan uzunroq bo`ladi. Ular jami 62 ta olmani tashkil etadi.
Ushbu masalani 3 usulda yechib ko`rsatamiz.
1-usul: Birinchi taqsimchadagidek 2- va 3-taqsimchalarda bo`lganida jami

olmalar soni nechta bo`lar edi?
62-10-8-8=36 (ta)

2. 
   Birinchi taqsimchada nechta olma bor?
   

36:3=12 (ta)

2. 
   Ikkinchi taqsimchada nechta olma bor?
   

12+8=20

2. 
   Uchinchi taqsimchada nechta olma bor?
   

20+10=30 (ta)
Javob: 12 ta, 20ta, 30ta.
2-usul: 1- va 3-taqsimchalarda 2-taqsimchadagidek olmalar bo`lganida uchala tarelkalarda nechta olma bo`lar edi?

1. 
   62-10+8=60(ta)
   
2. 
   2-taqsimchada nechta olma bor?
   

60:3=20 (ta)

3. 
   1-taqsimchada nechta olma bor?
   

20-8=12(ta)

4. 
   3-taqsimchada nechta olma bor?
   

20+10=30(ta)
Javob:12 ta, 20 ta, 30 ta
3- usul: 1) 1- va 2-taqsimchalarda 3-taqsimchadagidek olmalar bo`lganida uchala tarelkalarda nechta olma bo`lar edi?
62+8+10+10=90(ta)

2. 
   3- taqsimchada nechta olma bor?
   

90:3=30(ta)

2. 
   2-taqsimida nechta olma bor?
   

30-10=20(ta)

2. 
   1-taqsimida nechta olma bor?
   

20-8=12(ta)
Javob: 12ta, 20ta, 30ta.
Quyidagi masalani qaraymiz.
Shaharni ko`kalamzorlashtirish ishiga maktabning ikkinchi, uchinchi va to`rtinchi sinf o`quvchilari ishtirok etib, jami 912 tup ko`chat o`tqazishdi. 3-sinf o`quvchilari 2sinf o`quvchilaridan 30 tup ortiq, 4-sinf o`quvchilari 3-sinf o`quvchilaridan 27 tup ortiq ko`chat o`tqazdilar. Shaharni ko`kalamzorlashtirish uchun har bir sinf necha tupdan ko`chat o`tqazishgan?
Shartni berish uchun quyidagicha fikr yuritamiz.Masala shartidan ayonlashdiki, eng ko`p ko`chat o`tqazgan 4-sinf, undan keyin 3-sinf va undan kam ko`chat o`tqazgan 2-sinf o`quvchilari bo`lgani sababli har bir sinf o`quvchilari o`tqazishgan ko`chatlarni ifodalovchi kesmalarni chizamiz.
912 tup
Ushbu masalani 3 usulda yechish mumkinligini o`quvchilar bilishadi.
Oldingi masalaga binoan masalani yechishning qulayroq usuli bu-“ikkinchi va to`rtinchi sinf o`quvchilarining o`tqazgan ko`chatlar soni 3-sinfdagidek bo`lganida uchala sinf o`quvchilari birga nechta ko`chat o`tqazgan bo`lar edi?” degan savolga javob izlash orqali amalga oshirilishi maqsadga muvofiq.
Chizmadan ayonlashadiki, ikkinchi va to`rtinchi sinf o`quvchilari uchinchi sinf o`quvchilaridek ko`chat o`tqazganida jami ko`chatlar soni (912+30-27) ta bo`lar edi.
Yechish: 1) 912+30-77=915 (ta)
2)915:3=305 (ta) 3-sinf o`quvchilari o`tqazgan ko`chatlar soni.
3)305-30=275 (ta) 2-sinf o`quvchilari o`tqazgan ko`chatlar soni.
4)305+27=332 (ta) 4-sinf o`quvchilari o`tqazgan ko`chatlar soni.
Javob 275,305,332 ta.
“Ikki (yoki bir necha) sonlarning yig`indisi va ayirmasiga ko`ra shu sonlarni topish” tipidagi masalalarning o`ziga xos xususisiyatlari sifatida quyidagilarni keltirish mumkin:

• 
  masalada doimo ikki yoki bir necha sonlarning yig`indisi yoki ayirmasi beriladi va shu sonlarning o`zini topish talab qilinadi.
  
• 
  masalaning qisqa shartini grafik shaklda tasvirlash qulay bo`ladi.
  
• 
  yechim shartli qabul qilingan ixtiyoriy uzunlikdagi kesmalarni tenglashdan boshlanadi.
  
• 
  Shartli qabul qilingan ixtiyoriy uzunlikdagi kesmalar soni, noma`lumlar soniga teng bo`ladi.
  
• 
  Masalada nechta noma`lum qatnashsa,masala shuncha echim usuliga ega bo`ladi. Shu tipga taalluqli quyidagi masalalarni boshlang`ich sinf o`quvchilariga yechishga tavsiya qilish mumkin.
  

1-masala. Nodir va Akmal birga 18ta gul rasmini chizishdi. Nodir chizgan gullar Akmal chizgan gullardan 4 ta ko`p. Nodir nechta gul rasmini chizdi? Akmalchi?
2-masala. 2-“A” va 2-“V” sinflarida 82 ta o`quvchi o`qiydi. 2”A”sinfdagi o`quvchilar soni 2”V”ga qaraganda 2ta kam. Har qaysi sinfda nechta o`quvchi o`qiydi?. 3-masala. Salima va Nafisa birgalikda o`qigan ertaklari soni 23ta. Salima Nafisaga qaraganda 3ta ko`p ertak o`qidi. Nafisa nechta ertak o`qigan?
4-masala. Ikki jo`yakdan 98kg sabzi olindi. Birinchi jo`yakdan ikkinchisiga qaraganga 10kg kam sabzi olindi. Har bir jo`yakdan necha kgdan sabzi olingan?
5-masala. Daraxtning ikki shoxida 14 ta chumchuq qo`ngan. Birinchi shoxdagi chumchuqlar ikkinchi shoxdagiga qaraganda 2 ta ortiq. Har bir shoxda nechtadan chumchuq qo`ngan?