Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar

IKKINCHI TARTIBLI
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.
dotsent. А.Суюнов
Тoshkent - 2023
REJA:

• Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar.

2. Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsentli bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar.

IKKINCHI TARTIBLI O‘ZGARMAS KOEFFITSIENTLI CHIZIQLI BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.

(1)
p, q – haqiqiy sonlar
(1) tenglamaning umumiy yechimi
(1) - tenglamaning yechimlari
- ixtiyoriy sonlar.
(2)

Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.

EYLER metodi
- nomalum son
Bularni (1) ga qo’ysak:
yechimni quyidagicha izlaymiz:
Xarakteristik tenglamasi
(3)
1-hol:
(3) ning ikkita har xil haqiqiy yechimlari
(1) - tenglamaning yechimlari
(4)
2-hol:

• (3) tenglamaning yechimi

(1) tenglamaning yechimi
(5)
3-hol:
(3)-tenglamaning yechimlari:

• (1) tenglamaning yechimi

(6)

Misol

Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar.

- (1) ning xususiy yechimi
- (1) ning bir jinsli qismi bo’lgan
(1)
p, q – haqiqiy sonlar
(1) ning umumiy yechimi
(2) tenglamaning umumiy yechimi
(2)
O’zgarmasni variasiyalash usuli
Faraz qilaylik
(2) Tenglamaning yechimlari bo’lsin
(3)
- nomalum funksiyalar
Qo’shimca talab qilamiz
(4)
Hosilslsrni hisoblaymiz
Bularni (1) tenglamaga qo’ysak
- (2) ning yechimlari,
U holda qavs ichidagi ifoda 0 ga teng
(5)
(4) va (5) larni bir sistemaga umumlashtirsak
(6)
(6) sistemaning yechimi:
topilgan c1(x) va c2(x) ni (3) ga qo’yib umumiy yechimni topamiz.
Bu yerda,-Vronskiy determinant.

Misol

- yechim
1) bir jinsli qismining yechimini topamiz

davomi

2) Xususiy yechimni topamiz
2) Aniqmas koefisientlar usuli
(1)
p, q – haqiqiy sonlar
(7)
- o’zgarmas sonlar

• n va m tartibli x ga bog’liq

ko’phadlar.

Xususiy yechimni quyidagicha izlaymiz:
Bu yerda, s-tartibli ko’phad, s- n va m tartiblarning kattasi, k- bir jinsli qismi
xarakteristik tenglamasining ga karrali bo’lishi.
Xususiy hollarni ko’raylik:
bo’lsa, u holda
2) agar bo’lsa, u holda
++;
3) agar bo’lsa, u holda ,
xususiy yechim
cos+.

Misol

Misol davomi

Bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning xususiy yechim
, k=n=0.