Ikkinchi tartibli elliptik operatorlarning manfiy bo’lmagan o’z-o’ziga qo’shma kengaytmasi. Karrali trigonometrik fur’ye qatorlarining sferik xususiy yig’indi bo’yicha tekis yaqinlashish shartlari

II BOB. IKKINCHI TARTIBLI ELLIPTIK OPERATORLARNING MANFIY BO’LMAGAN O’Z-O’ZIGA QO’SHMA KENGAYTMASI. KARRALI TRIGONOMETRIK FUR’YE QATORLARINING SFERIK XUSUSIY YIG’INDI BO’YICHA TEKIS YAQINLASHISH SHARTLARI.

Reja

1. 
   Ikkinchi tartibli operatorlarning manfiy bo’lmagan o’z-o’ziga qo’shma kengaytmasi.
   
2. 
   Fur’ye qatorlari.
   
3. 
   Karrali trigonometrik Fur’ye qatorlarining sferik xususiy yig’indi bo’yicha tekis yaqinlashish shartlari.
   
4. 
   Foydalanilgan adabiyotlar.
   

Tayanch iboralar
Misol 1. Ushbu
(1)
Chegaraviy masalaning xos qiymatlari, ortonmallangan xos funksiyalarini va spectral funksiyasini topamiz.
Yechish. Avvalo ushbu

Tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
y (x, )= cos x +
So’ngra , quyidagi
, =h
Boshlang’ich shartlarni qanoantlantiruvchi yechimni aniqlaymiz:
=cos x +
Topilgan bu yechim chegaraviy shartlardan birinchis qanoantlantirishi ravshan. Bu yechimni chegaraviy shartlardan ikkinchisiga qo’yib, xarakatetik tenglamani keltirib chiqaramiz:
= - sin x+h cos x
- sin +cos = h{cos +h = 0
- ( + ) = 0
Oxirgi xarakatetik tenglamadan xos qiymatlarni topamiz:
+ = 0 = -
sin = 0 = , n=1,2,3,….
Bu xos qiymatlarga quyidagi xos funkisyalar mos keladi
=
= cosnx + h , n=1,2,3,….
Endi esa, normallovchi o’zgarmaslarni hisoblaymiz


== = = = ( -1)
Ya’ni | = ( -1)
= = =
=
=
= , n=1,2,3,……

Ya’ni = , n=1,2,3,……

Demak (1) Shturm- Liuvil chegaraviy masalasining normallovchi o’zgarmasllari
= ( -1) , = , n=1,2,3,……(2)
Bo’ladi va ortonormallangan xos funksiyalari quyidagi funksiyalardan iborat:


(ncosnx+hsinnx )
Ta’rif . Monoton o’suvchi, chapdan uzluksiz ushbu
{ 0, = 0
= { - , < 0
{ , > 0 (3)
funksiyaga Shturm- Liuvill chegaraviy masalasining spectral funksiyasi deyiladi.
Ta’rifga ko’ra spectral funksiyani topamiz.
Agar h bo’lsa (1) Shturm- Liuvill chegaraviy masalasining spectral funksiyasi ushbu
= , -
=0 - < 1
= > 1
formula bilan aniqlnadi.
Ushbu
(1)
Chegaraviy masalaning xos qiymatlari, ortonmallangan xos funksiyalarini va spectral funksiyasini topamiz. Avvalo ushbu
Misol 2. Xususan, h=0 bo’lganda,(1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi q
uydagi ko’rinishni oladi:
Ushbu
(4)
Chegaraviy masalaning xos qiymatlari, ortonmallangan xos funksiyalarini va spectral funksiyasini topamiz.
Yechish. Avvalo ushbu

Tenglamaning umumiy yechimini topamiz

K=± =±i
y(x)= y (x, )= cos x +
Tenglamaning umumiy yechimidan foydalanib chegaraviy masalaning xos qiymatlarini topamiz


Shartlarga ko’ra
= - sin 0+ cos 0= =0
= - sin =0, .
Demak Sin( )=0, | =n, | = , n=0,1,2,…
Bu chegaraviy masalaning xos qiymatlari = , n=0,1,2,… bo’lib,
ularga mos keladigan xos funksuyalar
=1
= cosnx +, n=1,2,3,….
va ortonormallangan xos funksuyalar

bo’ladi.
Normallovchi o’zgarmaslar ketma-ketligi esa
,
bo’ladi .
(3)formuladan foydalanib,(4) Neyman chegaraviy masalasining
spectral funksiyasini topamiz;

Buni quydagicha yozish mumkin

Bu yerda belgilash a sonning butun qismini bildiradi.

Adabiyotlar.

1. 
   Салохиддинов М.С. Математик физика тенгламалари. Т., «Ўзбекистон», 2002, 448 б.
   

2. 
   A.B.Hasamov, Shturma – Liuvill chegaraviy masalalari nazariysiga kirish.T.,”Turon-iqbol’’2016,584b.
   

3. И.В.Колоколов и др. Задачи по математическим метода физики Эдиториал УРСС.Москва. 2000
Internet materiallari.

3. 
   www.lib.homelinex.org/math/
   

4. www.eknigu.com/lib/Mathematics/