Ildiz chegaralari shturm teoremmasi

Ildiz chegaralari, Shturm teoremasi.


Biror haqiqiy sonlar chekli ketma-ketligini, masalan,
2, 4, 5, 3, 1 (1)
ni olaylik. Bu ketma-ketlikdagi sonlarni ishoralari quyidagicha navbatlashadi:
, +, , , +,
va demak, uch marta o’zgaradi, ya’ni avval minusdan plyusga, so’ngra plyusdan minusga, va nihoyat, minusdan yana plyusga o’tadi. Shunday qilib, (1) ketma-ketlikda uchta ishora almashinish bor.

Agar
8, 2, 1, 3, 2, 6, 7, 5
ketma-ketlikni olsak, oltita ishora almashinish borligini ko’ramiz.
haqiqiy sonlar maydoni ustidagi ko’phad bo’lsin.
Bu ko’phadni o’zining hosilasi bilan o’zaro tub deb, ya’ni va ning eng katta umumiy bo’luvchisi o’zgarmas songa teng deb faraz qilamiz.
Bu holda ko’phad karrali haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi. Chunki, aks holda, ning , karrali ildizi uchun karrali ildiz bo’lib, va ko’phadlar ga bo’linadi, va shu sababli, ular o’zaro tub bo’lmaydi.
Endi va ko’phadlarga Yevklid algoritmini tatbiq etamiz. Ammo bunda har gal qoldiqning ishorasini o’zgartiramiz. Masalan, ni ga bo’lishdan qoldiq chiqsa, biz uning o’rniga ko’phadni olamiz. Buni nazarda tutib, quyidagilarni hosil qilamiz:
(2)
Bunda nolinchi darajali ko’phad, chunki bu qoldiq va ko’phadlarning eng katta umumiy bo’luvchisini ifodalaydi.
1-ta’rif. Ushbu
(3)
ko’phadlar Shturm ko’phadlari deyiladi, bu ko’phadlarning birinchisi va oxirgisidan boshqa har biri oraliq ko’phad deb ataladi.













Misol. ko’phadni olamiz. Bu ko’phad va uning hosilasi ga Yevklid algoritmini tatbiq etgandan keyin bu ko’phadlarning eng katta umumiy bo’luvchisi nimaga tengligi ma’lum bo’ladi. Agar eng katta umumiy bo’luvchi darajasi noldan yuqori darajali ko’phad bo’lib chiqsa, bu hol ning karrali ko’paytuvchilari borligini ko’rsatadi. Bunday vaqtda ning karrali ko’paytuvchilarini ajratib, o’rniga shu ko’paytuvchilarni tekshiramiz. ni topamiz:

Endi ni ga bo’lamiz. Bunda ko’phadlarning ishoralari ahamiyatlidir. Shu sababli kasr koeffitsientlarning bo’lmasligini istasak, bo’linuvchi yoki bo’luvchini faqat musbat sonlargagina ko’paytiramiz. Shunday qilib, ni 2 ga va ni ga ko’paytirib, bo’lishni bajaramiz:

Qoldiqning ishorasini o’zgartirib, quyidagilarni hosil qilamiz:

ni ga bo’lamiz:

Demak, ; ni ga bo’lamiz:

Bunda deb (ya’ni 12 ga qisqartirib va ishorani o’zgartirib) olamiz. Natijada quyidagi Shturm ko’phadlarini hosil qilamiz:
(4)
Shturm ko’phadlarining xossalarini ko’rib o’tamiz.