“Ilm-fan muammolari yosh tadqiqotchilar talqinida”
mavzusidagi 9-sonli respublika ilmiy konferensiyasi
88
−
GARMONIK FUNKSIYALAR UCHUN BLANCHET TEOREMASI
Raximova Sarvinoz Adilbekovna
Urganch davlat universiteti 2-bosqich magistranti
Annotatsiya:
Ushbu maqolada
n
Ј
dagi
−
garmonik funksiyalar uchun
Blanchet teoremasining analogi isbotlangan.
Kalit so‘zlar:
garmonik funksiya,
−
garmonik funksiya, differensial forma,
operatori.
Hozirgi kunda
-garmonik funksiyalar sinfi va ularning xossalari ko‘plab
matematiklar tomonidan o‘rganilgan, jumladan A.Sadullaev [2], M.Vaisova [6],
B.Abdullayev, S.Imomkulov, R.Sharipovlar [5] va boshqa olimlarning ishlarida
.
Ushbu ishda
n
Ј
kompleks fazodagi garmonik funksiyalar sinfini kengaytmasi va
funksiyalar nazariyasida muhim rol o‘ynaydigan
-garmonik funksiyalar uchun
Blanchet [3] teoremasining analogi o‘rganiladi.
Bizga
n
D
Ј
sohada ixtiyoriy yopiq, qat’iy musbat
(
)
1,
1
n
n
−
−
bidarajali
differensial
forma berilgan bo‘lsin:
( )
1
1
,
1
( )
,
( )
,
0,
2
n
n
jk
jk
j k
i
z dz j
dz k
z
C
D
d
−
=
=
=
bu yerda
1
1
1
...
...
j
j
n
dz j
dz
dz
dz
dz
−
+
=
,
1
1
1
...
...
k
k
n
dz k
dz
dz
dz
dz
−
+
=
.
1-ta’rif.
[6]. Agar
n
D
Ј
sohada ikki marta silliq
( )
( )
2
u z
C
D
funksiya uchun
0
c
dd u
=
tenglik bajarilsa, u holda
( )
u z
ga
D
da
−
garmonik funksiya deyiladi.
Endi
u
Laplas operatorni aniqlanishiga o‘xshab,
(
)
2
1
2
,...,
,
n
n
j
j
n j
x
x
z
x
ix
+
=
+
Ў
fazoda
u
operatorni haqiqiy forma ko‘rinishida aniqlaymiz. Istalgan ikki marta
silliq
2
( )
( )
u z
C D
funksiya uchun
c
dd u
operatorni quyidagi ko‘rinishda yozish
mumkin:
2
2
,
1
,
1
( )
( )
.
2
n
n
n
c
jk
jk
j
k
j
k
j k
j k
i
u
u
dd u
z
dz
dz
z
dV
z z
z z
=
=
=
=
“Ilm-fan muammolari yosh tadqiqotchilar talqinida”
mavzusidagi 9-sonli respublika ilmiy konferensiyasi
89
2
,
1
( )
n
jk
j
k
j k
u
u
z
z z
=
=
deb belgilash olib,
u
operatorni quyidagi
2
2
,
1
n
jk
j
k
j k
u
u
a
x x
=
=
ko‘rinishda yozib olamiz [1], bu yerda
,
,
,
( 1)
Re
( ),
1
,1
( 1)
Im
( ),
1
,
1
2
( 1)
Im
( ),
1
2 ,1
( 1)
Re
( ),
1
2 ,
1
2 .
j k
jk
j k
j k n
jk
j k
j n k
j k
j n k n
z
j
n
k
n
z
j
n n
k
n
a
z
n
j
n
k
n
z
n
j
n n
k
n
+
+
−
+
−
+
−
−
−
−
+
=
−
+
−
+
+
ga teng.
Bizga
2
( )
u
С D
va
2
( )
v
С D
funksiyalar berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi
2
,
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
n
jk
k
j
j
j k
u z
v z
v z
u z
u z
v z
a
z
v z
u z
x
x
x
=
−
=
−
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa Grin formulasi va
operator quyidagi
ko‘rinishga ega bo‘ladi (q. [1])
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
D
D
u
v
v z
u z
u z
v z dV z
a
v
u
d
m
m
−
=
−
(1)
bu yerda
(
)
1
2
2
( )
( ),
( ),...,
( )
n
m
m
m
m
=
-
D
chegaraga
nuqtadagi tashqi
normal,
u
m
va
v
m
-
u
va
v
funksiyalarning mos ravishda
m
normal yo‘nalishi
bo‘yicha hosilalari,
( )
a
esa funksiya quyidagi formula bilan aniqlanadi
1
2
2
2
2
1
1
( )
( )
( )
.
n
n
jk
k
j
k
a
a
m
=
=
=
Endi biz garmonik funksiyalarning
bartaraf qilinadigan maxsusliklari
haqidagi
Blanchet teoremasini umumlashtiruvchi asosiy teoremani keltiramiz.
1-teorema.
Bizga
n
Ј
,
2
n
da
D
soha va
D
ni ikkita
1
D
va
2
D
qism sohalarga
ajratuvchi
1
C
sinfdan
olingan
S
gipersirt
berilgan
bo‘lsin,
hamda
2
1
2
( )
(
)
u
C D
C D
D
U
U
funksiya
1
D
va
2
D
da
−
garmonik bo‘lsin. Agar
1
1
1
1
(
)
D
u
u
C D
S
U
,
2
1
2
2
(
)
D
u
u
C D
S
va
S
da
“Ilm-fan muammolari yosh tadqiqotchilar talqinida”
mavzusidagi 9-sonli respublika ilmiy konferensiyasi
90
1
2
( )
( )
k
k
u z
u z
m
m
=
tenglik bajarilsa (bu yerda
1
2
2
(
,
,...,
)
k
n
k
k
k
m
m m
m
=
-
k
D
(
1, 2)
k
=
chegarasiga tashqi
birlik nomal), u holda
( )
u z
funksiya
D
da
−
garmonik bo‘ladi.
Isbot.
Eslatib o‘tamiz,
1
(
)
t
C D
dan olingan
1
(
) (
1, 2)
t
C D
S t
=
U
funksiyalar sinfi
birinchi tartibli xususiy hosilalari uzluksiz ravishda
t
D
S
U
ga davom qiladi. Bu shuni
anglatadiki, agar
1
( )
(
) (
1, 2)
t
t
u z
C D
S t
=
U
bo‘lsa, u holda
t
D
S
U
da uzluksiz
( ),
1,..., 2
t
z
n
=
funksiyalar mavjudki,
t
D
da
1,..., 2
n
=
lar uchun
( )
( )
t
t
u z
z
x
=
tenglik bajariladi, bu yerda
1
( ,...,
)
n
n
l
z
z
z
D
=
Ј
,
j
j
n j
z
x
ix
+
=
+
,
1,...,
j
n
=
.
2
1
2
(
)
u
C D
D
U
funksiya
t
D
da
−
garmonik bo‘lgani uchun, ta’rif bo‘yicha
t
D
,
1, 2
t
=
da
0
t
c
dd u
=
bo‘ladi. Endi biz
( )
( ),
( )
0
z
F D
z
funksiyani qaraymiz.
Agar tashuvchi
supp ( )
z
S
=
I
bo‘lsa, u holda
1
supp ( )
z
D
yoki
2
supp ( )
z
D
bo‘ladi. Dastlab
supp ( )
,
1, 2
t
z
D t
=
bo‘lsin deb faraz qilamiz, u holda silliq
chegaraga ega
t
U
soha mavjudki,
supp ( )
t
t
z
U
D
munosabat bajariladi. Endi
D
da har qanday manfiy bo‘lmagan
( )
( )
z
F D
lar uchun biz quyidagiga ega bo‘lamiz
2
2
1
1
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
t
t
c
c
c
c
t
t
D
D
t
t
U
dd u z
z
u z
z
dd
z
u z
z
dd
z
u z
z
dd
z
=
=
=
=
=
va
2
2
1
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0.
t
l
c
c
c
t
t
D
D
U
t
t
z
z
dd u z
z
z
dd u z
z
z
dd u z
=
=
=
=
=
Endi quyidagi farqni ko‘rib chiqamiz
( )
( )( )
( ) ( )
( )
c
c
D
dd u z
z
z
z
dd u z
−
=
2
2
2
1
1
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
t
t
t
c
c
t
t
U
t
t
t
t
U
U
t
u z
z
dd
z
z
z
dd u z
u z
z
z
u z dV
=
=
=
=
−
=
−
Shuningdek
2
(
),
1, 2
t
t
U
t
u
C
=
ekanligidan, (1) formulaga ko‘ra
2
2
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ).
t
t
t
t
t
t
t
t
U
t
t
U
u
u z
z
z
u z dV
a
u
d
m
m
=
=
−
=
−
|