Iteratsion jarayonni qurish prinsiplari

Dastlabki ma'lumotlarni chiziqli bog'liqlik bilan yaqinlashtirish
(chiziqli regressiya)
Misol tariqasida chiziqli munosabat sifatida berilgan yaqinlashuvchi funktsiyani aniqlash usulini ko'rib chiqing. Eng kichik kvadratlar usuliga muvofiq, kvadrat og'ishlarning minimal yig'indisi uchun shart quyidagicha yoziladi:
Jadvalning tugun nuqtalarining koordinatalari;


Tugun nuqtalarida hisoblangan yaqinlashuvchi funktsiyaning qiymatlari,
Nodal nuqtalarda eksperimental ma'lumotlarning belgilangan qatori.
Kvadrat mezon bir qator "yaxshi" xususiyatlarga ega, masalan, differensiallik, ko'p nomli yaqinlashuvchi funktsiyalar bilan yaqinlashish masalasining yagona yechimini ta'minlaydi.
Masalaning shartlariga qarab, yaqinlashuvchi funktsiya m darajali ko'phaddir
Taxminlovchi funktsiyaning darajasi tugun nuqtalari soniga bog'liq emas, lekin uning o'lchami har doim berilgan eksperimental ma'lumotlar massivining o'lchamidan (nuqtalar soni) kichik bo'lishi kerak.
Eng kichik kvadrat usuli
Eng kichik kvadratlar usuliga asos solgan birinchi ishni 1805-yilda Legendre amalga oshirgan.“Kometalarning orbitalarini aniqlashning yangi usullari” nomli maqolasida u shunday yozgan edi: “Masalaning barcha shartlari toʻliq bajarilgandan keyin. foydalanilganda, koeffitsientlarni aniqlash kerak, shunda ularning xatolarining kattaligi mumkin bo'lmagan darajada bo'ladi. Bunga erishishning eng oddiy usuli - bu kvadratik xatolar yig'indisining minimalini topishdan iborat bo'lgan usul. "Hozirgi vaqtda bu usul ko'plab eksperimental o'qishlar bilan berilgan noma'lum funktsional bog'liqliklarni yaqinlashtirishda analitik ifodani olish uchun juda keng qo'llaniladi. to'liq miqyosli tajribaga eng mos keladi.
Tajriba asosida miqdorning funktsional bog'liqligini aniqlash talab qilinsin x ustida y : .Va olingan tajriba natijasida bo'lsinn qiymatlar yargumentning mos qiymatlari bilanx. Agar eksperimental nuqtalar rasmdagi kabi koordinata tekisligida joylashgan bo'lsa, u holda tajribada xatolar borligini bilib, biz bog'liqlikni chiziqli deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni.y= bolta+ b.Usul funktsiya shakliga cheklovlar qo'ymasligini unutmang, ya'ni. u har qanday funktsional bog'liqliklarga qo'llanilishi mumkin.

Muammo ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lgan chiziqli bog'liqlik koeffitsientlarini topishdir lekin va b  eng kichik qiymatni oladi. Ya'ni, ma'lumotlar berilgan lekin va b topilgan to'g'ri chiziqdan tajriba ma'lumotlarining kvadrat og'ishlari yig'indisi eng kichik bo'ladi. Bu eng kichik kvadratlar usulining butun nuqtasidir.

Shunday qilib, misolning yechimi ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumini topishga keltiriladi.
Buning uchun siz ushbu satrlardan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik og'ishlarining yig'indisini hisoblashingiz kerak

, kichikroq qiymat eng kichik kvadratlar usuli bo'yicha dastlabki ma'lumotlarni yaxshiroq yaqinlashtiradigan chiziqqa mos keladi.

dan beri, keyin chiziq y=0,165x+2,184 asl ma'lumotlarni yaxshiroq taxmin qiladi.