Jamiyat fikrining abstraktlanish jarayoni

Issiqlik balansi tenglamasi.

Issiqlik tarqalish jarayonining matematik modelini hosil qilishda energiya saqlanish qonunini qo‘llaymiz. Bunda modda ichki energiyasi faqatgina issiqlik o‘tkazuvchanlik mexanizmi asosida o‘zgaradi deb hisoblaymiz (masalan, modda ichki energiyasining kimyoviy reaksiyalar, bosim kuchi ishi va h.k. hisobiga o‘zgarishlari e’tiborga olinmaydi).
Issiqlik o‘tkazuvchi muhitda tomonli elementar kubni ajratib olamiz va vaqt o‘zgarishi davomida kubdagi issiqlik energiyasi o‘zgarishini hisoblaymiz.

Yuqoridagi cheklovlarga ko‘ra bu o‘zgarish kubning turli qirralari orqali kiruvchi va chiquvchi issiqlik oqimlari farqi tufayligina yuzaga keladi. Shunday qilib, o‘qi bo‘yicha oqimlar hajmining ichki energiyasi

miqdorga oshishiga yoki kamayishiga olib keladi, bu yerda o‘qiga perpendikulyar qirra hajmi. Xuddi shunday o‘qlar bo‘yicha ichki energiya o‘zgarishi hisoblanadi:


Umumiy energiya o‘zgarishi

ga teng.
Boshqa tomondan, kattalikni kubning temperaturasi o‘zgarishi va uning issiqlik sig‘imi orqali ham ifodalash mumkin.

Oxirgi ikki ifodani tenglashtirib, ni nolga yaqinlashtirgan holda issiqlik tarqalishining umumiy tenglamasini hosil qilamiz:
(5)
yoki yoyilgan holda
(6)
bu yerda .
Oxirgi (6) tenglama – parabolik tipdagi nostatsionar, uch o‘lchamli ( funksiya vaqtdan va fazoviy o‘zgaruvchilardan bog‘liq) tenglama. U bir jinsli emas, chunki issiqlik sig‘imi, issiqlik o‘tkazuvchanlik va zichlik moddaning turli nuqtalarida turlicha bo‘lishi mumkin, u chiziqlimas, negaki, va funksiyalar temperaturadan (ya’ni izlanayotgan yechimdan) ham bog‘liq bo‘lishi mumkin.
Ayrim qo‘shimcha shartlar yordamida (6) tenglamani soddalashtirish mumkin. Agar jarayon statsionar, ya’ni temperatura vaqtdan bog‘liq bo‘lmasa, (6) tenglama elliptik tipli tenglamaga aylanadi
(7)
agar , funksiyalar temperaturadan bog‘liq bo‘lmasa, u holda (6) chiziqli parabolik tenglamaga keladi, u ham o‘z navbatida bir jinsli muhitda chiziqli parabolik tenglamaga aylanadi ( , , funksiyalar o‘zgaruvchilarga bog‘liq emas)
(8)
bunda kattalik issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti deb ataladi. (8) tenglama uchun umumiy yechimni topish qiyin emas.
Bir o‘lchamli holda (temperatura faqatgina va dan bog‘liq) (6) dan quyidagini hosil qilamiz:
(9)
(9) tenglama quyidagi chiziqsiz issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasiga keltiriladi
(10)
bu yerda shartlar qo‘yilgan. Va nihoyat, agar bo‘lsa ( o‘zgarmaslar), u holda (10) dan quyidagi issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi (parabolik tipli tenglama)
(11)
hosil bo‘ladi.
Asosiy (6) tenglama yordamida issiqlik tarqalishining murakkabroq mexanizmlariga mos turli umumlashmalarini ham olish mumkin.
Bu bandda keltirilgan barcha tenglamalar energiya saqlanishining fundamental qonuni va Furye qonuni yordamida hosil qilindi. Berilgan , , funksiyalar va chegaraviy shartlar bilan birgalikda ular issiqlik tarqalish jarayonining matematik modelini tashkil etadi.