Kirish. Qatorlarning absalyut va shartli yaqinlashuvchiligi. Ishorasi almashinuvchi qatorlar

2.Ishorasi almashinuvchi qatorlar.

2.1-ta`rif.Ushbu (bunda ) yoki qator ishorasi almashinuvchi yoki Leybnis qator deyiladi.

(2.1)
2.1-teorema.(Leybnis alomati) Agar ishorasi almashinuvchi (2.1) qatorning hadlari absalyut qiymati bo`yicha manoton kamayuvchi ya `ni
( ) (2.2)
va
(2.3)
bo`lsa, (2.1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
2.1-eslatma.Abalyut yaqinlashuvchi qatorlar uchun Leybnis alomatining shartlari bajarimasa ham ishorasi almashinuvchi qator yaqinlashuvchi bo`lishi mumkin.
2.2-eslatma.Absalyut yaqinlashuvchi bo`lmagan ishorasi almashinuvchi, hadlari manoton kamayuvchi qatorlar yaqinlashuvchi bo`lishi uchun Leybnis alomatidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli.
2.3-eslatma.Leybnis alomatidagi uchchala shart ham, ya`ni qatorning hadlarini ishora almashinuvchiligi, absalyut qiymati bo`yicha manotonligi va ularning nolga intilishi absalyut yaqinlashuvchi bo`lmnagan qatorlarning yaqinlashishi uchun muhim shart bo`lib hisoblanadi.Shulardan birortasi buzilsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Bundan keyin, Leybnis alomati shartlarini qanoatlantiruvchi qatorlarni Leybnis tipidagi qatorlar deb ataymiz.
Natija.Leybnis tipidagi qatorlarda uchun quidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi .
2.2-teorema.(Direxli alomati). Agar qatorning qismiy yig`indisi chegaralangan, ya`ni monoton kletma-ketlik bo`lib, ya`ni yoki bo`lsa, (2.2) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
2.3-teorema(Abel alomati). Agar ketma-ketlik monoton va chegaralangan bo`lib qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (2.2) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
2.4-eslatma.Direxli alomatidan xususiy holda Abel alomati kelib chiqadi.
Abel alomatiga ko`ra ketma-ketlik chekli limitga ega.(2.2) qatorni
ko`rinishda yozib olsak, yig`indidagi ikkinchi qo`shiluvchi qator shart bo`yicha yaqinlashuvchi, birinchi qatorga Direxli alomatini qo`llaymiz.
2.5-eslatma.Direxli alomatidan xususiy holda Leybnis alomatini olish mumkin.Buning uchun deb olish kifoya.
2.4-teorema(Riman teoremasi).Agar ixtiyoriy ishorali qator shartli yaqinlashuvchi bo`lsa, har qanday A (chekli yoki cheksiz son) olimganda ham berligan qator hadlarining o`rinlarini shunday almashtirish mumkinki hosil bo`lgan qatorning yig`indisi huddi shu A songa teng bo`ladi.