Kompleks dəyişənli funksiya haqqında anlayış. Tərif

W= f(z) funksiyasının qarşılıqlı birqiymətli və ya birvərəqli olması üçün f(z) və Φ (W) funksiyalarının birqiymətli olması zəruri və kafi şərtdir.

Fərz edək ki, funksiyası E çoxluğunu N çoxluğuna, funksiyası isə N çoxluğunu M çoxluğuna inikas etdirir. Onda E çoxluğunu M çoxluğuna inikas etdirən funksiyasına mürəkkəb funksiya buna uyğun olan Φ inikasina isə f və ψ inikaslarının superpozisiyası deyilir. Oblastların inikasina aid misal göstərək.

Misal .W

= z² funksiyası z müstəvisi üzərində merkezi koordinat başlanğıcında olan və radiusu Vahidə bərabər olan E dairəsinin daxilini W müstəvisi üzərində merkezi koordinat başlanğıcında və radiusu Vahidə bərabər olan N dairəsinin daxilinə inikas etdirir.

Bu birqiymətli inikasdır. E dairəsinin hər bir z nöqtəsinə N dairəsinin ancaq bir W nöqtəsi uyğundur.

Lakin bu inikas qarşılıqlı birqiymətli inikas deyil. Doğurdan da , E dairəsinin hər bir z nöqtəsinə N dairəsinin ancaq bir W nöqtəsi uyğun olduğu halda ,N dairəsinin W= 0 nöqtəsi müstəsna olmaqla hər bir W nöqtəsinə E dairəsinin iki nöqtəsi uyğundur. z²₁ olduqda nöqtəsi üçündə münasibəti ödənilir. Bu göstərir ki, N dairəsini E dairəsinə inikas etdirən funksiyası ikiqiymətlidir.

3. Fərz edək ki , funksiyası z₀ nöqtəsinin müəyyən ətrafında təyin edilib. Tutaq ki ixtiyarı ədədi üçün elə var ki, funksiyası z₀ nöqtəsinin δ ətrafında yerləşən bütün nöqtələrini( z₀ müstəsna olmaqla) W₀ -ín ε ətrafında inikas etdirir. Onda W₀ ədədi şərtində f(x) funksiyasının limiti adlanır. Və

və ya

kimi işarə olunur.

W₀ və z₀ ədədləri sonlu olduqda bu tərifi bele ifadə etmək olar .W₀ ədədi şərtində funksiyasının limitidirsə , onda ixtiyari ədədi üçün elə var ki,

bərabərsizliyini ödəyən bütün nöqtələri üçün ( - dan )

Münasibəti ödənir.

W₀ və z₀ ədədlərinin biri və ya hər ikisi olarsa , yuxarıda verilən tərifi başqa ekvivalent şəkildə söyləmək olar. Məsələn və W₀ sonlu kompleks ədəd olduqda (2) münasibətinin varlığı o deməkdir ki , ixtiyarı ədədi üçün elə N ədədi var ki , münasibətini odəyən bütün z noqtəleri üçün

bərabərsizliyi ödənir.

Funksiya limitinin tərəfindən çıxır ki ,

Olduqda z₀ nöqtəsinə yığılan istənilən zₙ ardıcıllığı üçün

Olar.

Kompleks dəyişənli funksiyanín limitinin tərifi həqiqi deyişənli funksiyanın limitinin tərifi kimidir. Buna görə də funksiya limiti haqqında məlum olan təkliflər uyğun şəkildə kompleks dəyişənli funksiyaların limiti haqqında da doğrudur.

4. Verilmiş z ₀ nöqtəsində və onun ətrafında təyin olunmuş funksiyasının

şertinde sonlu limiti varsa və bu limit f(z) funksiyasının z ₀ nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdirsə yəni

Münasibəti ödənilərsə ,onda funksiyasına nöqtəsində kəsilməyən funksiya deyilir. Funksiya limitindən istifadə etsək kesilməzliyin tərifini bele söyləmək olar . funksiyanın nöqtəsində kəsilməyən olması üçün ixtiyari ədədi üçün elə seçmək mümkün olmalıdır ki, münasibətini ödəyən z nöqtələrində

ε. (3)

bərabərsizliyi ödənilsin.

Funksiyası ilə onun həqiqi və xəyali hissəsinin kəsilməzliyi arasında müəyyən əlaqə vardır. f(z) funksiyası nöqtəsində kəsilməyəndirsə ,onun həqiqi və xəyali hissəsi olan və funksiyaları uyğun nöqtəsində kəsilməyən olar.

Doğurdan da ,

olduğundaan

Olar. f(x) funksiyası z₀ nöqtəsində kəsilməyəndirsə

Bərabərsizliyini ödəyən bütün z=x+iy nöqtələrində (3) münasibəyi ödənilir. ( 3) münasibətindən

Bərabərlisizliyini ödəyən bütün x,y nöqtələrində

Bərabərsizliklərinin doğruluğu alınar ki , Buda U(x,y) və V(x,y) funksiyalarının ( x₀,y₀) nöqtəsində kəsilməzliyini göstərir.

Bu təklifin tərsidə doğrudur. funksiyaları ( x₀,y₀) nöqtəsində kəsilməyəndirsə , funksiyası da uyğun olaraq ,

nöqtəsində kəsilməyəndir.

Funksiyanın kəsilməzliyinin tərifini artım vasitəsilə də söyləmək olar.

Verilmiş G oblastının hər bir nöqtəsində kəsilməyən funksiyasına həmin oblastda kəsilməyən funksiya deyilir.