Kompleks o’zgaruvchili funksiyaning integrali va uning xossalari

Integralning mavjudligi.

Yuqorida keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, (1) integral egri chiziqqa hamda unda berilgan f(z) funksiyaga bog’liq bo’ladi.

Faraz qilaylik, egri chiziq

ko’rinishda berilgan bo’lsin. Bunda x(t), y(t) funksiyalar segmentda aniqlangan, uzluksiz hamda, uzluksiz hosilalarga ega . parametr dan ga qarab o’zgarganda z=z(t) nuqta A dan B ga qarab ni chiza boradi.

egri chiziqda funksiya aniqlangan va uzluksiz bo’lsin segmentni nuqtalar yordamida n ta bo’lakka ajratamiz. z=z(t) funksiya bu nuqtalarni egri chiziq nuqtalariga aylantiradi. nuqtalarning dagi akslarini

deylik.

Natijada bu nuqtalar yordamida egri chiziq bo’laklarga ajraladi, har bir da ixtiyoriy nuqtani olamiz . Ravshanki,

bo’ladi. Endi ushbu

yig’indini qaraymiz. Bu yig’indida

bo’lishini e’tiborga olib quyidagini topamiz:

(3)

Bu tenglikning o’ng tomonidagi har bir yig’indi u(x,y) va v(x,y) funksiyalarning egri chiziqni integrallari uchun integral yig’indilaridir.

Qaralayotgan funksiya egri chiziqda uzluksiz. Binobarin, u(x,y) va v(x,y) funksiyalar ham da uzluksiz. Demak, bu funksiyalarning egri chiziq bo’yicha integrallari mavjud va …………

..

bo’ladi.

(3) da da limitga o’tib topamiz:

Bunda esa da yig’indi chekli limitga ega va

bo’lishi kelib chiqadi.

Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.