Kompleks o’zgaruvchili funksiyaning integrali va uning xossalari

Integralni xisoblash.

Aytaylik, C da egri chiziq ushbu

tenglama bilan berilgan bo’lib, x(t), y(t) funksiyailar segmenda aniqlangan, uzluksiz hamda uzluksiz hosilarga ega bo’lsin. Bu egri chiziqda f(z) funksiya berilgan va uzluksiz bo’lsin, u holda

(*)

bo’ladi. Bu formula integralni hisoblash formulasi.

Izoh. (*) tenglik bilan berilgan integralni kompleks argumentli funksiya integrali ta’rifi sifatida qarash mumkin.

Misol.

intengralni hisoblang, bu yerda .

Yechish. – aylananing tenglamasi quyidagicha

Agar bo’lsa

Agar

Demak,

Koshi teoremasi.

Demak, biz bilamiz: – polinom. Savol tug’iladi “Golomorf funksiyadan olingan integral nolga tengmi yoki yo’q?”.

Bunga Koshi teoremasi javob beradi.

Javob salbiy. Agar f faqat ni ustida golomorf bo’lsa.

Masalan:

demak yuk.

1). Koshi teoremasi.

Teorema: Agar funksiya bir bog’lamli sohada golomorf bo’lsa, u holda funksiyaning sohada yotuvchi har qanday silliq, (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’yicha integrali nolga teng bo’ladi:



Isbot: 1-hol. uchburchak chegarasi bo’lgan xol. Bu uchburchakni perimetri P ga teng bo’lsin. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni teorema shartlari bajarilsinu, lekin

bo’lsin.

-uchburchakni, uning tomonlari o’rtalarini birlashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmalari yordamida 4 ta

uchburchaklarga ajratamiz.